18 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Giải hệ phương trình và một số ý phụ

Câu 1:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} (a + 1) x - y = a + 1 \begin{matrix} (1) \end{matrix} \\ x + (a - 1) y = 2 \begin{matrix} \begin{matrix} (2) \end{matrix} \end{matrix} \end{cases}$ ( a là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi a=2.

Xem đáp án

a) Khi a=2 hệ phương trình có dạng: $\{\begin{cases} 3 x - y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 x = 5 \\ y = 2 - x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{4} \\ y = \frac{3}{4} \end{cases}$

Vậy với a=2 hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (\frac{5}{4}; \frac{3}{4})$

Câu 2:

b) Giải và biện luận hệ phương trình

Xem đáp án

b) Giải và biện luận:

Từ PT ta có: $y = (a + 1) x - (a - 1) (3)$ thế vào PT (2) ta được:

$x + (a + 1) [(a + 1) x - (a - 1)] = 2 \Leftrightarrow x + (a^{2} - 1) x - (a^{2} - 1) = 2 \Leftrightarrow a^{2} x = a^{2} + 1$ ( 4)

TH1: $a \neq 0$ , phương trình (4) có nghiệm duy nhất $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}}$ . Thay vào ta có:

$y = (a + 1) \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} - (a + 1) = \frac{(a + 1) (a^{2} + 1) - a^{2} (a + 1)}{a^{2}} = \frac{a^{3} + a + a^{2} + 1 - a^{3} - a^{2}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}}$

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

TH2: Nếu a=0 , phương trình (4) vô nghiệm. Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

KL: $a \neq 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

a= 0 hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Với thì $a \neq 0$ hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

Câu 3:

c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Xem đáp án

c) Hệ phương trình có nghiệm nguyên: $\{\begin{matrix} x \in ℤ \\ y \in ℤ \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} \in ℤ \\ \frac{a + 1}{a^{2}} \in ℤ \end{matrix} \begin{matrix} (a \in ℤ) \end{matrix}$

Điều kiện cần: $x = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} = 1 + \frac{1}{a^{2}} \in ℤ \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} \in ℤ \Leftrightarrow a^{2} = 1 \Leftrightarrow a = \pm 1$

Điều kiện đủ:

$a = - 1 \Rightarrow y = 0 \in ℤ$ (nhận)

$a = 1 \Rightarrow y = 2 \in ℤ$ (nhận)

Vậy $a = \pm 1$ hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.

Với $a \neq 0$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{a^{2} + 1}{a^{2}}; \frac{a + 1}{a^{2}})$

Câu 4:

d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x+y đạt GTNN.

Xem đáp án

d) Ta có $x + y = \frac{a^{2} + 1}{a^{2}} + \frac{a + 1}{a^{2}} = \frac{a^{2} + a + 2}{a^{2}} = 1 + \frac{1}{a} + \frac{2}{a^{2}}$ .

Đặt $t = \frac{1}{a}$ ta được:

$x + y = 2 t^{2} + t + 1 = 2 (t^{2} + \frac{1}{2} t + \frac{1}{2}) = 2 [{(t + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{16}] = 2 {(t + \frac{1}{4})}^{2} + \frac{7}{8} \geq \frac{7}{8}$

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi $t = - \frac{1}{4}$ , khi đó $a = - 4$

Vậy a=-4 thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x+y đạt GTNN bằng $\frac{7}{8}$

Câu 5:

Tìm a, b biết hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + b y = a \\ b x + a y = 5 \end{cases}$ có nghiệm x=1 ; y=3

Xem đáp án

Thay x=1 ; y=3 vào hệ ta có:

$\{\begin{cases} 2.1 + b .3 = a \\ b .1 + a .3 = 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 3 b = 2 \\ 3 a + b = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a - 9 b = 6 \\ 3 a + b = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 10 b = - 1 \\ 3 a + b = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = \frac{- 1}{10} \\ a = \frac{17}{10} \end{cases}$

Vậy $a = \frac{- 1}{10}$ ; $y = \frac{17}{10}$ thì hệ phương trình có nghiệm x=1 ; y=3

Câu 6:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 2 y = m + 3 \\ 2 x - 3 y = m \end{cases} (I)$ ( m là tham số) .

a) Giải hệ phương trình (I) khi m=1.

Xem đáp án

a) Với m=1, hệ phương trình (I) có dạng:

$\{\begin{cases} x + 2 y = 4 \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 4 y = 8 \\ 2 x - 3 y = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y) = (2; 1)$ .

Câu 7:

b) Tìm m để hệ (I) có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn $x + y = - 3$

Xem đáp án

b) $\{\begin{cases} x + 2 y = m + 3 \\ 2 x - 3 y = m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 4 y = 2 m + 6 \\ 2 x - 3 y = m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = m + 3 \\ 7 y = m + 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5 m + 9}{7} \\ y = \frac{m + 6}{7} \end{cases}$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y) = (\frac{5 m + 9}{7}; \frac{m + 6}{7})$ .

Lại có $x + y = - 3$ hay $\frac{5 m + 9}{7} + \frac{m + 6}{7} = - 3 \Leftrightarrow 5 m + 9 + m + 6 = - 21 \Leftrightarrow 6 m = - 36 \Leftrightarrow m = - 6$

Vậy với $m = - 6$ thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất(x,y) thỏa mãn $x + y = - 3$ .

Câu 8:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 m - 1 \\ x - 2 y = 2 \end{cases}$ .

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: $x^{2} - 2 y^{2} = - 2$

Xem đáp án

$\{\begin{cases} 2 x + y = 5 m - 1 \\ x - 2 y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 5 m - 1 - 2 x \\ x - 2 (5 m - 1 - 2 x) = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = 5 m - 1 - 2 x \\ 5 x = 10 m \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 m \\ y = m - 1 \end{cases}$

Thay vào ta có

$x^{2} - 2 y^{2} = - 2 \Leftrightarrow {(2 m)}^{2} - 2 {(m - 1)}^{2} = - 2 \Leftrightarrow 2 m^{2} + 4 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = - 2 \end{array}$

Vậy $m \in \{- 2; 0\}$

Câu 9:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} (m - 1) x + y = 2 \\ m x + y = m + 1 \end{cases}$ (m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m=2 ;

Xem đáp án

a) Giải hệ phương trình khi m=2 .

Ta có: $\{\begin{cases} x + y = 2 \\ 2 x + y = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 2 \\ x = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1,1).

Câu 10:

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn:

2 x + y \leq 3

Xem đáp án

b, Ta có $y = 2 - (m - 1) x$ thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

$m x + 2 - (m - 1) x = m + 1 \Leftrightarrow x = m - 1$ suy ra $y = 2 - {(m - 1)}^{2}$ với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất $(x; y) = (m - 1; 2 - {(m - 1)}^{2})$

$2 x + y = 2 (m - 1) + 2 - {(m - 1)}^{2} = - m^{2} + 4 m - 1 = 3 - {(m - 2)}^{2} \leq 3$ với mọi m .

Câu 11:

Cho hệ phương trình : $\{\begin{cases} 2 x + a y = - 4 \\ a x - 3 y = 5 \end{cases}$

a) Giải hệ phương trình với a=1

Xem đáp án

a) Với a=1, ta có hệ phương trình:

$\{\begin{cases} 2 x + y = - 4 \\ x - 3 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 x + 3 y = - 12 \\ x - 3 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x = - 7 \\ x - 3 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ - 1 - 3 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 2 \end{cases}$

Vậy với a=1 , hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x; y) = (- 1; - 2)$ : .

Câu 12:

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Xem đáp án

b) Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu a=0 , hệ có dạng: $\{\begin{cases} 2 x = - 4 \\ - 3 y = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - \frac{5}{3} \end{cases}$ . Vậy hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu $a \neq 0$ , hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: $\frac{2}{a} \neq \frac{a}{- 3} \Leftrightarrow a^{2} \neq - 6$ (luôn đúng, vì $a^{2} \geq 0$ với mọi a)

Do đó, với $a \neq 0$ , hệ luôn có nghiệm duy nhất.

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a.

Câu 13:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + m y = m + 1 \\ m x + y = 2 m \end{cases}$ ( m là tham số)

a) Giải hệ phương trình khi m=2.

Xem đáp án

a) Thay m=1 ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} x + 2 y = 3 \\ 2 x + y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y = 3 \\ 4 x + 2 y = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x = 5 \\ 2 x + y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{5}{3} \\ y = \frac{2}{3} \end{cases}$

Câu 14:

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases}$

Xem đáp án

b) Xét hệ $\{\begin{cases} x + m y = m + 1 (1) \\ m x + y = 2 m \begin{matrix} \end{matrix} (2) \end{cases}$

Từ (2) $\Rightarrow y = 2 m - m x$ thay vào (1) ta được

$x + m (2 m - m x) = m + 1 \Leftrightarrow 2 m^{2} - m^{2} x + x = m + 1$

$\Leftrightarrow (1 - m^{2}) x = - 2 m^{2} + m + 1 \Leftrightarrow (m^{2} - 1) x = 2 m^{2} - m - 1 (3)$

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow (3)$ có nghiệm duy nhất

$m^{2} - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\{\begin{cases} x = \frac{2 m + 1}{m + 1} \\ y = \frac{m}{m + 1} \end{cases}$

Ta có $\{\begin{cases} x \geq 2 \\ y \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{2 m + 1}{m + 1} \geq 2 \\ \frac{m}{m + 1} \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{- 1}{m + 1} \geq 0 \\ \frac{- 1}{m + 1} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - 1$

Kết hợp với ta được giá trị m cần tìm là $m < - 1$ .

Câu 15:

Cho hệ phương trình:

\{\begin{cases} x - 2 y = 5 \\ m x - y = 4 \end{cases}

a) Giải hệ phương trình với m=1 .

Xem đáp án

a) Với m=2 ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x - 2 y = 5 \\ 2 x - y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y + 5 \\ 2 (2 y + 5) - y = 4 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 y + 5 \\ 3 y = - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = - 2 \end{cases}$ Vậy m=2 hệ có nghiệm duy nhất $(x; y) = (1; - 2)$

Câu 16:

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x, y)$ trong đó x,y trái dấu.

Xem đáp án

b) Từ phương trình (1) ta có $x = 2 y + 5$ . Thay $x = 2 y + 5$ vào phương trình (2) ta được:

$m (2 y + 5) - y = 4 \Leftrightarrow (2 m - 1) . y = 4 - 5 m (3)$

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với: $2 m - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \frac{1}{2}$ .

Từ đó ta được: $y = \frac{4 - 5 m}{2 m - 1}$ ; $x = 5 + 2 y = \frac{3}{2 m - 1}$ .

Ta có: $x . y = \frac{3 (4 - 5 m)}{{(2 m - 1)}^{2}}$ . Do đó $x . y < 0 \Leftrightarrow 4 - 5 m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{4}{5}$ (thỏa mãn điều kiện)

Câu 17:

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn x= |y| .

Xem đáp án

c) Ta có: $x = |y| \Leftrightarrow \frac{3}{2 m - 1} = |\frac{4 - 5 m}{2 m - 1}| (4)$

Từ (4) suy ra $2 m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}$ . Với điều kiện $m > \frac{1}{2}$ ta có:

$(4) \Leftrightarrow |4 - 5 m| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 - 5 m = 3 \\ 4 - 5 m = - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \frac{1}{5} (l) \\ m = \frac{7}{5} \end{array}$ . Vậy $m = \frac{7}{5}$ .

Câu 18:

Cho hệ phương trình: $\{\begin{cases} m x + (m + 1) y = 1 \\ (m + 1) x - m y = 8 m + 3 \end{cases}$ .

Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất $(x; y)$

Xem đáp án

Xét hai đường thẳng $(d_{1}) : m x + (m + 1) y - 1 = 0; (d_{2}) : (m + 1) x - m y - 8 m + 3 = 0$ .

+ Nếu m=0 thì $(d_{1}) : y - 1 = 0$ và $(d_{2}) : x - 5 = 0$ suy ra $(d_{1})$ luôn vuông góc với $(d_{2})$ .

+ Nếu m=-1 thì $(d_{1}) : x + 1 = 0$ và $(d_{2}) : y + 11 = 0$ suy ra $(d_{1})$ luôn vuông góc với $(d_{2})$ .

+ Nếu $m \neq \{0; 1\}$ thì đường thẳng $(d_{1}), (d_{2})$ lần lượt có hệ số góc là: $a_{1} = - \frac{m}{m + 1}, a_{2} = \frac{m + 1}{m}$ suy ra $a_{1} . a_{2} = - 1$ do đó $(d_{1}) ⊥ (d_{2})$ .

Tóm lại với mọi m thì hai đường thẳng $(d_{1})$ luôn vuông góc với $(d_{2})$ . Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.

Xét hai đường thẳng $(d_{1}) : m x + (m + 1) y - 1 = 0; (d_{2}) : (m + 1) x - m y - 8 m + 3 = 0$ luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất