5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc cao

Bài tập Toán 9 Chủ đề 2: Giải hệ phương trình có đáp án

Dạng 3: Giải hệ phương trình bậc cao

794 lượt thi
5 câu hỏi
45 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} 8 x^{3} y^{3} + 27 = 18 y^{3} \\ 4 x^{2} y + 6 x = y^{2} \end{cases}$

Xem đáp án

Dễ thấy y=0 không là nghiệm của mỗi phương trình.

Chia cả 2 vế phương trình (1)+ 27 = 18 y63 cho $y^{3}$ , phương trình (2) cho y² ta được $\{\begin{cases} 8 x^{3} + \frac{27}{y^{3}} = 18 \\ 4. \frac{x^{2}}{y^{}} + 6. \frac{x}{y^{2}} = 1 \end{cases}$

Đặt $\{\begin{cases} 2 x = a \\ \frac{3}{y} = b \end{cases}$ ta có hệ $\{\begin{cases} a^{3} + b^{3} = 18 \\ a^{2} b + a b^{2} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + b = 3 \\ a b = 1 \end{cases}$

a; b là nghiệm của phương trình $X^{2} - 3 X + 1 = 0$

Từ đó suy ra hệ có 2 nghiệm: $(x_{1}, y_{1}) = (\frac{3 + \sqrt{5}}{4}; \frac{3 + \sqrt{5}}{6}); (x_{2}, y_{2}) = (\frac{3 - \sqrt{5}}{4}; \frac{3 - \sqrt{5}}{6})$

Câu 2:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} x^{2} - 2 x y + x - 2 y + 3 = 0 \\ y^{2} - x^{2} + 2 x y + 2 x - 2 = 0. \end{cases}$

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x^{2} - 2 x y + x - 2 y + 3 = 0 (1) \\ y^{2} - x^{2} + 2 x y + 2 x - 2 = 0 (2) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x^{2} - 4 x y + 2 x - 4 y + 6 = 0 \\ y^{2} - x^{2} + 2 x y + 2 x - 2 = 0 \end{cases}$

Cộng 2 vế của hệ phương trình ta được $x^{2} + y^{2} - 2 x y + 4 x - 4 y + 4 = 0$

$\Leftrightarrow {(x - y + 2)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow y = x + 2$ .Thay vào pt (1) ta được $x^{2} + 5 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 5 \pm \sqrt{21}}{2}$

Vậy hệ có hai nghiệm là

(\frac{- 5 - \sqrt{21}}{2}; \frac{- 1 - \sqrt{21}}{2}), (\frac{- 5 + \sqrt{21}}{2}; \frac{- 1 + \sqrt{21}}{2})

Câu 3:

Giải hệ phương trình:

\{\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} +4 \sqrt{xy} =16 \\ x+y=10 \end{cases}

Xem đáp án

$\{\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} +4 \sqrt{xy} =16 \\ x+y=10 \end{cases}$ (I)( Điều kiện: $x; y \geq 0$ )

Đặt S= $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ ; P = $\sqrt{x y}$ ( $S \geq 0; P \geq 0$ ) hệ (I) có dạng:

$\{\begin{cases} S+4P=16 \\ S^{2} -2P=10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S+4P=16 \\ {2S}^{2} -4P=20 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S+4P=16 \\ {2S}^{2} +S-36=0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S=4(tm);S= \frac{-9}{2} ( loai) \\ P=3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S=4 \\ P=3 \end{cases}$

Khi đó $\sqrt{x}; \sqrt{y}$ là 2 nghiệm của phương trình: $t^{2} - 4 t + 3 = 0$

Giải phương trình ta được $t_{1} = 3; t_{2} = 1$ ( thỏa mãn )

$T H 1 : \{\begin{cases} \sqrt{x} =3 \\ \sqrt{y} =1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x=9 \\ y=1 \end{cases}$ $T H 2 : \{\begin{cases} \sqrt{x} =1 \\ \sqrt{y} =3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x=1 \\ y=9 \end{cases}$

( thỏa mãn) (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

\{\begin{cases} x=9 \\ y=1 \end{cases}; \{\begin{cases} x=1 \\ y=9 \end{cases}

Câu 4:

Giải hệ phương trình:

\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 11 \\ x + x y + y = 3 + 4 \sqrt{2} \end{matrix}

Xem đáp án

- Đặt $S = x + y; P = x y$ được: $\{\begin{matrix} S^{2} - 2 P = 11 \\ S + P = 3 + 4 \sqrt{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} S^{2} - 2 P = 11 \\ 2 S + 2 P = 6 + 8 \sqrt{2} \end{matrix}$

Cộng hai vế của hệ phương trình ta được phương trình:

$S^{2} + 2 S - (17 + 8 \sqrt{2}) = 0$

- Giải phương trình được $S_{1} = 3 + \sqrt{2}$ ; $S_{2} = - 5 - \sqrt{2}$

$S_{1} = 3 + \sqrt{2}$ được $P_{1} = 3 \sqrt{2}$ ; $S_{2} = - 5 - \sqrt{2}$ được $P_{2} = 8 + 5 \sqrt{2}$

Với $S_{1} = 3 + \sqrt{2}$ ; $P_{1} = 3 \sqrt{2}$ có x, y là hai nghiệm của phương trình:

$X^{2} - (3 + \sqrt{2}) X + 3 \sqrt{2} = 0$

Giải phương trình được $X_{1} = 3; X_{2} = \sqrt{2}$ .

Với $S_{2} = - 5 - \sqrt{2}$ , được $P_{2} = 8 + 5 \sqrt{2}$ có x, y là hai nghiệm của phương trình: $X^{2} + (5 + \sqrt{2}) X + 8 + 5 \sqrt{2} = 0$ .

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy hệ có hai nghiệm: $\{\begin{matrix} x = 3 \\ y = \sqrt{2} \end{matrix}$ ; $\{\begin{matrix} x = \sqrt{2} \\ y = 3 \end{matrix}$ .

Câu 5:

Giải hệ phương trình: $\{\begin{cases} \sqrt{3 + 2 x} + \sqrt{3 - 2 y} = x + 4 \\ \sqrt{3 + 2 x} - \sqrt{3 - 2 y} = x \end{cases}$

Xem đáp án

Điều kiện: $x \geq \frac{- 3}{2}$ ; $y \leq \frac{3}{2}$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được phương trình:

$\sqrt{3 - 2 y} = 2$ $\Leftrightarrow 3 - 2 y = 4$ $\Leftrightarrow y = \frac{- 1}{2}$ (t/mãn đk)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ đã cho ta được phương trình:

${(x + 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 1 \sqrt{3 + 2 x} = x + 2 \Leftrightarrow$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: $(x; y) = (- 1; - \frac{1}{2})$

Bắt đầu thi ngay