7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Hệ thức Vi-et và ứng dụng có đáp án

Câu 1:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình: $x^{2} + x - 2 + \sqrt{2} = 0$ . Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

$A = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$

$B = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$

$C = |x_{1} - x_{2}|$

$D = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}$

Xem đáp án

Ta có $a = 1; c = - (2 - \sqrt{2}) .$ Và $a . c < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi-et có: $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - 1 \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 2 + \sqrt{2} \end{cases}$

$A = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{x_{2} + x_{1}}{x_{1} x_{2}} = \frac{- 1}{- 2 + \sqrt{2}}$ .

$B = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2} = 1 - (- 2 + \sqrt{2}) = 3 - \sqrt{2}$ .

$C = |x_{1} - x_{2}| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}$ .

$= \sqrt{1 - 4 (- 2 + \sqrt{2})} = \sqrt{9 - 4 \sqrt{2}} = \sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - 2 \sqrt{2} + 1} = \sqrt{{(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}} = 2 \sqrt{2} - 1$ .

$D = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = - 1 + 3 (- 2 + \sqrt{2}) = - 7 + 3 \sqrt{2}$

Câu 2:

Gọi

x_{1}, x_{2}

là hai nghiệm của phương trình:

x^{2} - 3 x - 7 = 0

. Không giải phương trình
a) Tính các giá trị của các biểu thức sau:

A = \frac{1}{x_{1} - 1} + \frac{1}{x_{2} - 1}

.

B = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}

.

C = |x_{1} - x_{2}|

.

D = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3}

.

E = {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4}

.

F = (3 x_{1} + x_{2}) (3 x_{2} + x_{1})

.

Xem đáp án

a) Ta có $a = 1; c = - 7.$ Và $a . c < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = 3 \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 7 \end{cases}$

$A = \frac{1}{x_{1} - 1} + \frac{1}{x_{2} - 1} = \frac{x_{2} + x_{1} - 2}{x_{1} x_{2} - {(x_{1} + x)}_{2} + 1} = \frac{1}{- 9}$ .

$B = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1} x_{2} = 23$ .

$C = |x_{1} - x_{2}| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}} = \sqrt{37}$ .

$D = {x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 72$ .

$E = {x_{1}}^{4} + {x_{2}}^{4} = {(S^{2} - 2 P)}^{2} - 2 P^{2} = 527$ .

$F = (3 x_{1} + x_{2}) (3 x_{2} + x_{1}) = 10 x_{1} x_{2} + 3 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = - 1$

Câu 3:

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_{1} - 1}$ và $\frac{1}{x_{2} - 1}$ .

Xem đáp án

b) Ta có: $\{\begin{cases} S = \frac{1}{x_{1} - 1} + \frac{1}{x_{2} - 1} = \frac{x_{2} + x_{1} - 2}{x_{1} x_{2} - {(x_{1} + x)}_{2} + 1} = \frac{1}{- 9} \\ P = \frac{1}{x_{1} - 1} . \frac{1}{x_{2} - 1} = \frac{1}{- 9} \end{cases}$

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm là $\frac{1}{x_{1} - 1}$ và $\frac{1}{x_{2} - 1}$ là: $X^{2} + \frac{1}{9} X - \frac{1}{9} = 0$

Câu 4:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình: $3 x^{2} + 5 x - 6 = 0$ . Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

$A = (3 x_{1} - 2 x_{2}) (3 x_{2} - 2 x_{1})$ . $B = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} + \frac{x_{1}}{x_{2} - 1}$ .

$C = |x_{1} - x_{2}|$ . $D = \frac{x_{1} + 2}{x_{1}} + \frac{x_{2} + 2}{x_{2}}$

Xem đáp án

Ta có $a = 3; c = - 6.$ Và $a . c < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi-et có: $\{\begin{cases} S = x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{- 5}{3} \\ P = x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 2 \end{cases}$

$A = (3 x_{1} - 2 x_{2}) (3 x_{2} - 2 x_{1}) = 13 x_{1} x_{2} - 6 (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = 13 P - 6 (S^{2} - 2 P) = \frac{- 200}{3}$ .

$B = \frac{x_{2}}{x_{1} - 1} + \frac{x_{1}}{x_{2} - 1} = \frac{{(x_{2} + x_{1})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - (x_{2} + x_{1}) - 2}{x_{1} x_{2} - {(x_{1} + x)}_{2} + 1} = \frac{38}{3}$ .

$C = |x_{1} - x_{2}| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}} = \frac{\sqrt{97}}{3}$

.

Câu 5:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình: $3 x^{2} + 5 x - 6 = 0$ . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm $y_{1}$ ; $y_{2}$ thỏa mãn: $y_{1} = 2 x_{1} - x_{2}$ và $y_{2} = 2 x_{2} - x_{1}$

Xem đáp án

Xét phương trình $3 x^{2} + 5 x - 6 = 0$ có $a . c = 3. (- 6) < 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{- 5}{3} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = - 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} S = y_{1} + y_{2} = 2 x_{1} - x_{2} + 2 x_{2} - x_{1} = x_{1} + x_{2} = \frac{- 5}{3} \\ P = y_{1} y_{2} = (2 x_{1} - x_{2}) (2 x_{2} - x_{1}) = 5 x_{1} x_{2} - 2 [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}] = - \frac{212}{9} \end{cases}$

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm

y_{1}

;

y_{2}

là :

Y^{2} + \frac{5}{3} Y - \frac{212}{9} = 0

Câu 6:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình: $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm $y_{1}$ ; $y_{2}$ thỏa mãn:

a, $\{\begin{cases} y_{1} = x_{1} + 2 \\ y_{2} = x_{2} + 2 \end{cases}$

Xem đáp án

Xét phương trình $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ có $a . c = 3. (- 6) < 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Vi-et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{3}{2} \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 1}{2} \end{cases}$

a) Ta có: $\{\begin{cases} S = y_{1} + y_{2} = \frac{11}{2} \\ P = y_{1} y_{2} = \frac{13}{2} \end{cases}$

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm $y_{1}$ ; $y_{2}$ là : $Y^{2} - \frac{11}{2} Y + \frac{13}{2} = 0$ .

Câu 7:

Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình: $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ . Không giải phương trình hãy lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm $y_{1}$ ; $y_{2}$ thỏa mãn:

b, $\{\begin{cases} y_{1} = \frac{{x_{1}}^{2}}{x_{2}} \\ y_{2} = \frac{{x_{2}}^{2}}{x_{1}} \end{cases}$

Xem đáp án

b) Ta có: $\{\begin{cases} S = y_{1} + y_{2} = \frac{9}{8} \\ P = y_{1} y_{2} = \frac{- 1}{2} \end{cases}$

Vậy phương trình bậc hai có hai nghiệm $y_{1}$ ; $y_{2}$ là : $Y^{2} - \frac{9}{8} Y - \frac{1}{2} = 0$ .