Thứ năm, 19/12/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Lớp 9 Toán Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án

Dạng 7. Bài luyện tập có đáp án

  • 1423 lượt thi

  • 36 câu hỏi

  • 45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho nửa đường tròn đường kính BC = 2R. Từ điểm A trên nửa đường tròn vẽ AH vuông góc với BC Nửa đường tròn đường kính BH, CH lần lượt có tâm O1; O2 cắt AB, AC thứ tự tại D và E.

Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, từ đó tính DE biết R = 25 và BH = 10

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có BAC^  = 900 (vì góc nội tiếpchắn nửa đường tròn)

Tương tự có  BDH^=CEH^=900

Xét tứ giác ADHE có A^=ADH^=AEH^=900  => ADHE là hình chữ nhật.

Từ đó DE = AH mà  AH2 = BH.CH (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

hay AH2=10.40=400  (BH = 10; CH = 2.25 - 10 = 40) => DE = 20 (đơn vị độ dài)


Câu 3:

Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. Lấy M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho MON^  = 900.

Chứng minh đường thẳng MN là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng MN. Xét tứ giác OAMH

A^+H^=1800  (do  A^=H^=900)

=> OAMH là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Tương tự tứ giác OBNH nội tiếp được

=> A1^=M1^  ,   B1^=N1^ (2 góc nội tiếp chắn 1 cung)

A1^+B1^=M1^+N1^=900 => AHB^  = 900. Hay H thuộc (O) lại có  OHMN

=> MN là tiếp tuyến của (O)


Câu 5:

Cho đường tròn (O), đường kính AB, d1, d2 là các các đường thẳng lần lượt qua A, B và cùng vuông góc với đường thẳng AB. Lấy M, N là các điểm lần lượt thuộc d1, d2 sao cho MON^  = 900.

Xác định vị trí của M, N để diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

SMON=12OH. MN > 12  OH. AB (Vì AMNB là hình thang vuông)

Dấu “=” khi và chỉ khi MN = AB hay H là điểm chính giữa của cung AB

M, N song song với AB AM = BN =AB2.

Vậy SMON  nhỏ nhất khi và chỉ khi AM = BN =AB2.


Câu 6:

Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK.

Chứng minh tứ giác BHCK là hình hình hành.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có ACK^=900  (vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Nên CK vuông góc với  AC mà BH vuông góc với AC (vì H trực tâm)

=> CK // BH tương tự có CH // BK

=> Tứ giác BHCK là hbh (đpcm)


Câu 7:

Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK.
Vẽ OM vuông góc với BC (M thuộc BC). Chứng minh H, M, K thẳng hàng và AH = 2.OM.
Xem đáp án

Media VietJack

OM vuông góc với BC => M trung điểm của BC

(định lý đường kính và dây cung) => M là trung điểm của HK (vì BHCK là hình bình hành) => đpcm tam giác AHK có OM là đường trung bình => AH = 2.OM


Câu 8:

Cho ABC có 3 góc nhọn, trực tâm là H và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ đường kính AK.

Gọi A’, B’, C’ là chân các đường cao thuộc các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Khi BC cố định hãy xác định vị trí điểm A để tổng S = A’B’ + B’C’ + C’A’ đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có  AC'C^=BB'C^= 900=> tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn => AC'B'^  = ACB^ ACB^=BAx^  (Ax là tiếp tuyến tại A) => Ax // B’C’

OA vuông góc với  Ax => OA vuông góc với  B’C’. Do đó SAB’OC’ = 12 R.B’C’

Tương tự: SBA’OC’ = 12 R.A’C’; SCB’OA’ = 12 R.A’B’

SABC=12 = 12 R(A’B’ + B’C’ + C’A’)= 12 AA’.BC < 12 (AO + OM).BC

 A’B’ + B’C’ + C’A’, lớn nhất khi A, O, M thẳng hàng

 A là điểm chính giữa cung lớn BC


Câu 10:

Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 23 AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.

Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Theo trên AMN^ = ACM^   AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DECM. Nối MB ta có AMB^=900 , do đó tâm O1 của đường tròn ngoại tiếp DECM phải nằm trên BM.

Ta thấy NO1   nhỏ nhất khi NO1  là khoảng cách từ N đến BM  ^BM. Gọi O1 là chân đường vuông góc kẻ từ N đến BM ta được O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp D ECM có bán kính là O1M.

Do đó để khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp D ECM là nhỏ nhất thì C phải là giao điểm của đường tròn (O1), bán kính O1M với đường tròn (O) trong đó O1 là hình chiếu vuông góc của N trên BM.


Câu 11:

Cho đường tròn ( O; R ) và điểm A nằm ngoài đường tròn sao cho OA=R2 . Từ A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Lấy D thuộc AB; E thuộc AC sao cho chu vi của tam giác ADE bằng 2R.

Tìm giá trị lớn nhất của diện tích ∆ADE.

Xem đáp án

Media VietJack

Đặt: AD = x; AE = y SADE=12xy  (x, y > 0)

Ta có: DE=AD2+AE2=x2 + y2  (định lí Pitago).

Vì AD + DE + AE = 2Rx + y + x2+y2  = 2R (6)

Áp dụng BĐT – Côsi cho hai số không âm ta có: x + y 2xy và x2 + y22xy  (7).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y.

Từ (6) và (7) suy ra:2xy+2xy2Rxy2+22R

xy2R2+2xy2R23+22   SADE R23+22SADE3 - 22R2 .

Vậy max SADE =322R2   x = y ∆ADE cân tại A


Câu 13:

Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai điểm A, B Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của AB

Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính: S=2SOQM=2.12.OD.QM=R(MD+DQ) . Từ đó S nhỏ nhất MD + DQ nhỏ nhất. Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ ta có DM.DQ=OD2=R2  không đổi nên MD + DQ nhỏ nhất DM = DQ = R. Khi đó OM = R2  hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O bán kính R2 .


Câu 14:

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O') Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có ABC^  ABD^  lần lượt là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) và (O’)  

ABC^=ABD^=900CBA^+ABD^=1800

Suy ra C, B, D thẳng hàng.


Câu 17:

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI AB, MK AC (I AB,K AC)

Vẽ MP vuông góc BC (P thuộc BC). Chứng minh: MPK^=MBC^ .

Xem đáp án

Media VietJack

Tứ giác CPMK có MPC^=MKC^=900 (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếpMPK^=MCK^ (1). Vì KC là tiếp tuyến của (O) nên ta có: MCK^=MBC^  (cùng chắn MC ) (2). Từ (1) và (2) suy ra MPK^=MBC^ (3)


Câu 18:

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI AB, MK AC (I AB,K AC)

Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: MIP^=MBP^ (4). Từ (3) và (4) suy ra MPK^=MIP^ .

Tương tự ta chứng minh được MKP^=MPI^ .

Suy ra: MPK ~ ∆MIPMPMK=MIMP

MI.MK = MP2  MI.MK.MP = MP3.

Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất (4)

- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).

Lại có: MP + OH  OM = R  MP  R – OH. Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (5).

Từ (4) và (5) suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3 M nằm chính giữa cung nhỏ BC


Câu 21:

Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

Xác định vị trí của đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

SBPQ=12AB(AP+AQ)=14AB.(AE+AF) (3)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm AE và AF ta có: AE + AF  (4)

( Dấu “=” xảy ra AE =AF)

Từ (3) và (4)  (5)SΔBPQ12.AB.AE.AF

Lại có: Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông EBF ta có:

AE.AF = AB2 (6) Từ (5) và (6) ta có SBPQAB22

Xảy ra dấu bằng khi AE = AF

Tam giác EBF vuông cân tại B

ACBD là hình vuông nên CD vuông góc AB

Vậy: Khi đường kính CD vuông góc với đường kính AB thì tam giác PBQ có diện tích nhỏ nhất


Câu 32:

Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB sao cho MA> MB (M¹A và M¹B), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN.

Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất.

Ta có  2SΔMAN=MQ.AN

 2SΔMBN=MP.BN.

2SDMAN + 2SDMBN = MQ.AN+MP.BN

Ta lại có: 2SDMAN + 2SDMBN =2(SDMAN + SDMBN)=2SAMBN=2. =AB.MN

Vậy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN

Mà AB không đổi nên tích ABMN lớn nhất Û MN lớn nhấtÛMN là đường kính

ÛM là điểm chính giữa cung AB


Câu 33:

Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. Chứng minh rằng các đường tròn (I) và (O) tiếp xúc nhau tại A

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có OI = OA – IA mà OA và IA lần lượt là các bán kính của đường tròn (O) và đường tròn (I). Vậy đường tròn (O) và đường tròn (I) tiếp xúc nhau tại A


Câu 34:

Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. Chứng minh IP // OQ.

Xem đáp án

Media VietJack

DOAQ cân tại O ( vì OA và OQ cùng là bán kính ) => ÐA1 = ÐQ1

DIAP cân tại I ( vì IA và IP cùng là bán kính ) => ÐA1 = ÐP1

=> ÐP1 = ÐQ1 mà đây là hai góc đồng vị nên suy ra IP // OQ

Câu 35:

Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. Chứng minh rằng AP = PQ.

Xem đáp án

Media VietJack

ÐAPO = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => OP ^ AQ => OP là đường cao của DOAQ mà DOAQ cân tại O nên OP là đường trung tuyến => AP = PQ.


Câu 36:

Cho đường tròn (O) đường kính AB Gọi I là trung điểm của OA Vẽ đường tron tâm I đi qua A, trên (I) lấy P bất kì, AP cắt (O) tại Q. Xác định vị trí của P để tam giác AQB có diện tích lớn nhất.

Xem đáp án

Media VietJack

(HD) Kẻ QH ^ AB ta có SAQB = ABQH. mà AB là đường kính không đổi nên SAQB lớn nhất khi QH lớn nhất. QH lớn nhất khi Q trùng với trung điểm của cung AB Để Q trùng với trung điểm của cung AB thì P phải là trung điểm của cung AO.

Thật vậy P là trung điểm của cung AO => PI ^ AO mà theo trên PI // QO => QO ^ AB tại O => Q là trung điểm của cung AB và khi đó H trung với O; OQ lớn nhất nên QH lớn nhất.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan


Có thể bạn quan tâm


Các bài thi hot trong chương