19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 8. Bài luyện tập tổng hợp có đáp án

Câu 1:

Cho hình vuông ABCD . Hãy xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là : Lớn nhất

Xem đáp án

Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h.29)

Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D.

m =2(AA’ +BB’)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’

Suy ra : m = 4MN do đó:

m lớn nhất Û MN lớn nhất

m nhỏ nhất Û MN nhỏ nhất

MN £ MO Þ m lớn nhất Û M≡O Û d//AB

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD . Hãy xác định đường thẳng d đi qua tâm hình vuông sao cho tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh của hình vuông đến đường thẳng đó là :Nhỏ nhất

Xem đáp án

Xét trường hợp d cắt hai cạnh đối BC và AD (h.29)

Gọi m là tổng các khoảng cách từ bốn đỉnh hình vuông đến D.

m =2(AA’ +BB’)

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và A’B’

Suy ra : m = 4MN do đó:

m lớn nhất Û MN lớn nhất

m nhỏ nhất Û MN nhỏ nhất

kẻ MH ^ OB . Chứng minh MN ≥MH Þ MN nhỏ nhất Û N ≡H Û d≡BD hoặc d ≡AC.

Câu 3:

Cho DABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB , AC sao cho BD = AE . Xác định vị trí các điểm D,E sao cho :DE có độ dài nhỏ nhất .

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của BC .

DBDM = DAEM Þ $\hat{B M D} = \hat{A M E}$

Þ $\hat{D M E} = \hat{D M A} + \hat{A M E} = \hat{D M A} + \hat{B M D} = \hat{B M A} = 90^{0}$

Gọi I là trung điểm của DE .

DE = DI+IE =AI + IM ≥ AM

Min DE = AM Û I là trung điểm của AM

Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC

Câu 4:

Cho DABC vuông cân tại A các điểm D,E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh AB , AC sao cho BD = AE . Xác định vị trí các điểm D,E sao cho :Tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất

Xem đáp án

Đặt AE = x, AB =AC =a thì AD = a - x , S_ADE =

S_BDEC nhỏ nhất Û S_ADElớn nhất Û x(a - x) lớn nhất

Do x +( a- x) = a không đổi nên x( a - x) lớn nhất Û x = a - x Û x = a/2

Khi đó D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC

Câu 5:

Cho D ABC vuông tại A có BC = a , diện tích là S . Gọi m là trung điểm của BC . Hai dường thẳng thay đổi qua M và vuông góc với nhau cắt các cạnh AB , AC ở D ,E .Tìm :Giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng DE .

Xem đáp án

(h.31)Gọi O là trung điểm của DE

Ta có OA = OD =OE = OM

Þ DE = OA + OM ≥ AM =

minDE = a/2 Û O là trung điểm của AM

Û D là trung điểm của AB và E là trung điểm của AC

Câu 6:

Cho D ABC vuông tại A có BC = a , diện tích là S . Gọi m là trung điểm của BC . Hai dường thẳng thay đổi qua M và vuông góc với nhau cắt các cạnh AB , AC ở D ,E .Tìm : Giá trị nhỏ nhất của diện tích D MDE

Xem đáp án

(h.32)Kẻ MH ^ AB , MK ^ AC

ME ≥ MK , MD ≥ MH .

2S_MDE = MD.ME ≥ MH.MK = $\frac{A C}{2}$ . $\frac{A C}{2}$ = $\frac{S}{2}$

minS_MDE = Û D ≡ H và E ≡ K

Câu 7:

Cho điểm m di chuyển trên đoạn thẳng AB .Vẽ các tam giác đềuAMC và BMD về một phía của AB . Xác định vị trí của M để tổng diện tích hai tam giác đều tren là nhỏ nhất .

Xem đáp án

Gọi K là giao điểm của AC và BD .

Các tam giác AMC ,BMD đồng dạng với DAKB

Đặt AM = x ,BM = y , AB = a ta có :

$\frac{S_{1}}{S} = {(\frac{x}{a})}^{2}$ ; $\frac{S_{2}}{S} = {(\frac{y}{a})}^{2}$

Þ $\frac{S_{1} + S_{2}}{S} = \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}} \geq \frac{{(x + y)}^{2}}{2 a^{2}} = \frac{a^{2}}{2 a^{2}} = \frac{1}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Do đó : min (S₁ +S₂) = $\frac{1}{2}$ Û M là trung điểm của AB.

Câu 8:

Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a,b,c tương ứng đường cao AH =H. Hãy dựng hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC sao cho nó có diện tích lớn nhất . Biết M ÎAB ; N Î AC ; P,Q Î BC.

Xem đáp án

Gọi I là giao điểm của AH và MN

Đặt NP =x ; MN = y ; AI = h - x

DAMN $~$ D ABC

Þ $\frac{M N}{B C} = \frac{A I}{A H} \Rightarrow \frac{y}{a} = \frac{h - x}{h} \Rightarrow y = a . \frac{h - x}{h}$

Þ S_MNPQ = xy = . x(h - x)

Þ S_MNPQ lớn nhất Û x(h - x)lớn nhất

x +(h - x) = h không đổi nên

x(h - x) lớn nhất Û x = h - x Û x = h/2

Khi đó MN là đường trung bình của DABC

Câu 9:

Cho D ABC vuông tại A . Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Tìm vị trí của I sao cho tổng IM² +IN² +IK² nhỏ nhất.

Xem đáp án

Kẻ AH ^BC , IE ^AH

ANIK ,IMHE là các hình chữ nhật.

IK²+ IN² = IK² +AK² = AI² ≥ AE²

IM = EH

nên IK²+ IN² + IM² = AI²+EH² ≥ AE²+EH²

Đặt AE = x , EH =y ta có :

Þ IK²+ IN² + IM² ≥ .

Dấu “=” xảy ra khi I là trung điểm của đường cao AH.

Câu 10:

Cho tam giác nhọn ABC .Từ một điểm I nằm trong tam giác ta kẻ IM ^ BC, IN ^ AC , IK ^AB . Đặt AK =x ; BM = y ; CN = z.Tìm vị trí của I sao cho tổng x² +y² +z²nhỏ nhất.

Xem đáp án

Đặt BK = k , CM = m , AN = n ,

BC = a , AC = b , AB = c .

x² +y² +z² =

=(IA² - IK² ) + (IB² - IM² ) + (IC² - IN² )

= (IA² - IN² ) + (IB² - IK² ) + (IC² - IM² ) = n² + k² + m²

Þ 2(x² +y² +z² ) = x² +y² +z² + n² + k² + m²

= ( x²+ k² )+( y²+ m² )+( z²+ n² )

x²+ k² ≥ $\frac{{(x + k)}^{2}}{2} = \frac{A B^{2}}{2} = \frac{c^{2}}{2}$ y²+ m² ≥ $\frac{{(y + m)}^{2}}{2} = \frac{B C^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2}$

z²+ n² ≥ $\frac{{(z + n)}^{2}}{2} = \frac{A C^{2}}{2} = \frac{b^{2}}{2}$

Þ x² +y² +z² ≥ $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4}$ .

min(x² +y² +z² ) = $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4}$ Û x = k , y = m , z = n.

Û I là giao điểm của các đường trung trực của DABC.

Câu 11:

Cho nửa đường tròn có đường kính AB = 10 cm .Một dây CD có độ dài 6cm có hai đầu di chuyển trên nửa đường tròn . Gọi E và F theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên CD. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABFE.

Xem đáp án

Kẻ OH ^CD , ta tính được OH = 4cm

S_ABFE = 1/2(AE + BF).EF

= OH.EF £ OH. AB = 4.10 =40

max S_ABEF =40 cm²

Û EF // AB , khi đó OH ^ AB

Câu 12:

Cho hình vuông ABCD cạnh a .Vẽ cung BD tâm A bán kính a (nằm trong hình vuông ) .một tiếp tuyến bất kỳ với cung đó cắt BC, CD theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài nhỏ nhất của MN.

Xem đáp án

Đặt CM = m , CN = n , MN = x

m + n + x = 2CD = 2a và m² +n² = x²

Do đó : x²= m² +n² ≥

$\Rightarrow$ 2x² ≥ ( 2a - x)² Þ ≥ 2a - x

$\Rightarrow$ x ≥

$\Rightarrow$ min MN =2a Û m = n . Khi đó tiếp tuyến MN // BD , AM là tia phân giác của

$\Rightarrow$ AN là phân giác của

Câu 13:

Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A .Qua A vẽ hai tia vuông góc với nhau , chúng cắt các đường tròn (O) , (O’) lần lượt tại B và C. Xác định vị trí của các tia đó để D ABC có diện tích lớn nhất .

Xem đáp án

Kẻ OD ^ AB ; O’E ^ AC ta có:

S_ABC = AB.AC = .2AD.2AE= 2.AD.AE

Đặt OA =R ; O’A = r ;

AD = R sina ; AE = r cosa

Þ S_ABC = Rr. 2sina .cosa

2sina .cosa £ sin²a + cos²a =1

Þ S_ABC £ Rr

Þ Do đó :

max S_ABC = Rr Û sina = cosa Û sina = sin( 90⁰- a ) Û a = 90⁰ - a Û a = 45⁰.

Vậy nếu ta vẽ các tia AB,AC lần lượt tạo với các tia AO, AO’ thành các góc thì D ABC có diện tích lớn nhất .

Câu 14:

Cho đường tròn (O;R) đường kính BC , A là một điểm di động trên đường tròn . Vẽ tam giác đều ABM có A và M nằm cùng phía đối với BC . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C xuống MB. Gọi D, E , F, G theo thứ tự là trung điểm của OC, CM, MH, OH . Xác định vị trí của điểm A để diện tích tứ giác DEFG đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

DEFG là hình bình hành.

Kẻ OI ^FH , ta có OI là đường trung bình của D BHC nên

OI = ½ HC = GD

MO là đường trung trực của AB nên Þ OI = ½

OM Þ GD = ½ OM

Mà ED = ½ OM Þ EG = GD

Þ DEFG là hình thoi

Þ ÞDEFG đều

Þ S_DEFG =2S_EFG = 2. $\frac{{EF}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{{EF}^{2} \sqrt{3}}{2}$ = $\frac{{(\frac{H C}{2})}^{2} \sqrt{3}}{2}$ £ $\frac{{(\frac{B C}{2})}^{2} \sqrt{3}}{2}$ = $\frac{R^{2} \sqrt{3}}{2}$

max S = $\frac{R^{2} \sqrt{3}}{2}$ Û H ≡ B Û $\hat{M B C} = 90^{0}$ Û $\hat{A B C} = 30^{0}$ Û AC = R.

Câu 15:

Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z . Chứng minh rằng : $\frac{b}{y} + \frac{c}{z} = \frac{a}{x}$

Xem đáp án

Lấy E trên BC sao cho

DCDE đồng dạng với D ADB

Þ $\frac{D H}{D K} = \frac{C E}{A B} \Rightarrow \frac{x}{z} = \frac{C E}{c} \Rightarrow \frac{c}{z} = \frac{C E}{x}$

Tương tự DBDE đồng dạng với D ADC

Þ $\frac{D H}{D I} = \frac{B E}{A C} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{B E}{b} \Rightarrow \frac{b}{y} = \frac{B E}{x}$

Þ $\frac{b}{y} + \frac{c}{z} = \frac{B E + C E}{x} = \frac{a}{x}$

Câu 16:

Cho DABC nội tiếp đường tròn (O) D là điểm bất kỳ thuộc cung BC không chứa A và không trùng với B,C. Gọi H,I,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các đường thẳng BC , AC, AB . Đặt BC = a , AC = b ,AB = c, DH = x , DI = y , DK = z .Tìm vị trí của điểm D để tổng $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ nhỏ nhất

Xem đáp án

$\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ = $\frac{a}{x} + \frac{a}{x}$ = $\frac{2 a}{x}$ .Do đó S nhỏ nhất Û $\frac{a}{x}$ nhỏ nhất Û x lớn nhất Û D≡M ( M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A)

Câu 17:

Cho DABC nhọn , điểm M di chuyển trên cạnh BC .Gọi P ,Q là hình chiếu của M trên AB , AC . Xác định vị trí của điểm M để PQ có độ dài nhỏ nhất.

Xem đáp án

Tứ giác APMQ là tứ giác nội tiếp . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ.

Kẻ OH ^ PQ . Đặt =a thì = a

PQ = 2 PH = 2.OP sina = AM sina

Do a không dổi nên

PQ nhỏ nhất Û AM nhỏ nhất Û AM ^BC.

Câu 18:

Cho đoạn thẳng AB và một điểm C trên AB .Vẽ trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB các nửa đường tròn có đường kính AB,AC,BC . Xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB để diện tích phần giới hạn bởi ba nửa đường tròn đó dạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Gọi (O_1;r₁);(O_2;r₂);(O_3;r₃) là các đường tròn có đường kính là Ab,AC,BC

Đặt AB = 2a , AC =2x thì r₁ = a , r₂= x Suy ra BC =2a - 2x và r₃ = a - x

Gọi S là diện tích giới hạn bởi ba đường tròn

Ta có : $S = \frac{π r_{1}^{2}}{2} - (\frac{π r_{2}^{2}}{2} + \frac{π r_{3}^{2}}{2})$ $\frac{π a^{2}}{2} - \frac{π x^{2}}{2} - \frac{π {(a - x)}^{2}}{2} = π x (a - x)$

S lớn nhất Û x( a -x) lớn nhất

Mặt khác x + (a - x) = a không đổi nên

x( a -x) lớn nhất Û x = a - x Û x = $\frac{a}{2}$ Û C ≡O₁

Lúc đó ta có S = $\frac{π a^{2}}{4}$

Câu 19:

Cho đường tròn (O;R) . Trong đường tròn (O) vẽ hai đường tròn (O₁) và (O₂) tiếp xúc ngoài nhau và tiếp xúc trong với (O) trong đó bán kính đường tròn (O₂) gấp đôi bán kính đường tròn (O₁). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích phần hình tròn (O) nằm ngoài các hình tròn (O₁) và(O₂)

Xem đáp án

Gọi x là bán kính đường tròn (O₁) Khi đó 2x là bán kính đường tròn (O₂) (h.44)

Xét DOO₁O₂ ta có : O₁O₂ £ O O₁ +OO₂

Þ 3x £ (R - x) +( R - 2x) Þ 6x £ 2R Þ x £ $\frac{R}{3}$

Gọi S là phần diện tích hình tròn (O) nằm ngoài các đường tròn (O₁)và (O₂) , ta có :

S = $π R^{2} - π x^{2} - π 4 x^{2} = π (R^{2} - 5 x^{2})$

Do x £ $\frac{R}{3}$ nên x² £ $\frac{R^{2}}{9}$ Þ S ≥ $\frac{4 π R^{2}}{9}$ ;

min S = $\frac{4 π R^{2}}{9}$ Û x = $\frac{R}{3}$

Khi đó O₁,O,O₂ thẳng hàng và bán kính các đường tròn (O₁) và (O₂) là $\frac{R}{3}$ và $\frac{2 R}{3}$ (h.45).