17 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Bài tập nâng cao Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức có đáp án

Câu 1:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 x + 10}$

Đáp số: $A_{\min}$ = … khi x = …x

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức A về dạng $A = \sqrt{{[f (x)]}^{2} + a}$

Bước 2: Đánh giá và tìm giá trị nhỏ nhất của A

Lời giải

Ta có: $A = \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 2 x + 10}$ $= \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} + 2 . \frac{x}{3} . 3 + 3^{2} + 1}$ $= \sqrt{{(\frac{x}{3} + 3)}^{2} + 1}$

Vì ${(\frac{x}{3} + 3)}^{2} \geq 0, \forall x$ $\Rightarrow \sqrt{{(\frac{x}{3} + 3)}^{2} + 1} \geq \sqrt{1} = 1, \forall x$

Suy ra, $A_{\min}$ = 1 $\Leftrightarrow {(\frac{x}{3} + 3)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 9$

Vậy cần điền vào chỗ chấm để $A_{\min}$ = 1 khi x = −9

Câu 2:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $A = \sqrt{- a^{2} - 4 a + 5}$

Đáp án: $A_{\max}$ = … khi a = …

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức A về dạng: $A = \sqrt{b - {[f (a)]}^{2}}$

Bước 2: Đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của A

Lời giải

Vậy cần điền vào chỗ chấm: A_max = 3 khi a = −2

Câu 3:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

Tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}} - \sqrt{13 - 4 \sqrt{3}}$

Đáp số: $A = . .. - \sqrt{. ..}$

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức trong căn về hằng đẳng thức ${(A \pm B)}^{2}$

Bước 2: Khai căn, tính giá trị của biểu thức A

Lời giải

Câu 4:

Khẳng định sau đúng hay sai?

$\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}} = 2$ với 1 < a < 2

A. Đúng

B. Sai

Xem đáp án

Đáp án A

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức trong căn về hằng đẳng thức ${(A \pm B)}^{2}$

Bước 2: Khai căn, tính giá trị của biểu thức A

Lời giải

Ta có:

Câu 5:

Lựa chọn đáp án đúng nhất:

Với $x \geq 3,$ $A = \sqrt{x^{2} - 6 x + 9} - 2 x + 1$ có kết quả rút gọn là:

A. −3x + 2

B. 2 – x

C. –x – 2

D. x – 2

Xem đáp án

Đáp án C

Hướng dẫn

Bước 1: Khai căn

Bước 2: Thu gọn A

Lời giải

Ta có:

Câu 6:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

Rút gọn biểu thức $D = \frac{\sqrt{x^{2} + 10 x + 25}}{x + 5}$ với x < −5

Đáp án cần chọn là: D = …

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức trong căn về hằng đẳng thức

Bước 2: Khai căn, thu gọn A

Lời giải

Câu 7:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

Giải phương trình $x - 9 \sqrt{x} + 14 = 0$

Đáp số: $[\begin{array}{l} x = . .. \\ x = . .. \end{array}$

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Tìm điều kiện có nghĩa của căn thức

Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bước 3: Tìm x

Lời giải

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4; 49}

Vậy cần điền vào chỗ chấm là 4 hoặc 49.

Câu 8:

Điền đáp án vào chỗ chấm:

Giải bất phương trình $\sqrt{x + 2} > x$

Đáp án: … < x < …

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Tìm điều kiện để bất phương trình có nghĩa

Bước 2: Xét trường hợp x < 0

Bước 3: Giải bất phương trình với $x \geq 0$

Bước 4: Kết luận tập nghiệm

Lời giải

Vậy nghiệm của bất phương trình là −1 < x < 2

Vậy số cần điền là −2 và 2

Câu 9:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

Những giá trị nguyên nào của x để biểu thức $\sqrt{\frac{2 x - 1}{2 - x}}$ có nghĩa?

Đáp số x = …

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Tìm điều kiện để $\sqrt{A}$ có nghĩa

Bước 2: Giải bất phương trình

Lời giải

Khi đó, giá trị nguyên của x tìm được là x = 1.

Vậy số cần điền là 1

Câu 10:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm:

Tìm x để biểu thức $\sqrt{- x^{2} + 2 x - 1}$ có nghĩa

Đáp số: x = …

Xem đáp án

Điều kiện xác định của $\sqrt{- x^{2} + 2 x - 1}$ là:

$\begin{array}{l} - x^{2} + 2 x - 1 \geq 0 \\ \Leftrightarrow - {(x - 1)}^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} \leq 0 (1) \end{array}$

Mà ${(x - 1)}^{2} \geq 0 \forall x$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra x – 1 = 0 $\Leftrightarrow$ x = 1

Vậy số cần điền là 1.

Câu 11:

Lựa chọn đáp án đúng nhất:

Phương trình $\sqrt{{(x - 1)}^{2}} = 3$ có nghiệm là:

A. x = 4

B. x = −4

C. $x = \pm 4$

D. x = 4 hoặc x = −2

Xem đáp án

Đáp án D

Hướng dẫn

Với mọi số a, ta có: $\sqrt{a^{2}} = |a|$

Lời giải

$\begin{array}{l} \sqrt{{(x - 1)}^{2}} = 3 \\ \Leftrightarrow |x - 1| = 3 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 3 \\ x - 1 = - 3 \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \\ x = - 2 \end{array} \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4; −2}.

Câu 12:

Lựa chọn đáp án đúng nhất:

Điều kiện xác định của biểu thức $\sqrt{a^{8} b^{3}}$ là:

A. $b \geq 0$

B. a < 0

C. $b \leq 0$

D. b = 0

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\sqrt{a^{8} b^{3}}$ có nghĩa $\Leftrightarrow a^{8} b^{3} \geq 0$

Mà $a^{8} \geq 0, \forall a$ nên $a^{8} b^{3} \geq 0 \Leftrightarrow b^{3} \geq 0 \Leftrightarrow b \geq 0$

Câu 13:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm: $\sqrt{... - 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$

Xem đáp án

Vì $\sqrt{2} - 1 > 0$ nên ta có $\sqrt{2} - 1 = \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}}$ $= \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} - 2 . \sqrt{2} . 1 + 1^{2}}$ $= \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Vậy số cần điền là 3

Câu 14:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm: $\sqrt{8 - 2 \sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{...}$

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng ${(a + b)}^{2}$

Bước 2: Vận dụng: Với mọi số a, ta có $\sqrt{a^{2}} = |a|$

Lời giải

Ta có: $\sqrt{8 - 2 \sqrt{15}}$ $= \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - 2. \sqrt{5} . \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}}$ $= \sqrt{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}} = |\sqrt{5} - \sqrt{3}|$

$= \sqrt{5} - \sqrt{3}$ (vì $\sqrt{5} > \sqrt{3}$ )

Vậy số cần điền là 3

Câu 15:

Điền số thích hợp vào chỗ chấm: $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{...} + \sqrt{3}$

Xem đáp án

Hướng dẫn

Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng ${(a + b)}^{2}$

Bước 2: Vận dụng: Với mọi số a, ta có $\sqrt{a^{2}} = |a|$

Lời giải

Ta có:

$\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ $= \sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + 2. \sqrt{2} . \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}}$ $= \sqrt{{(\sqrt{2} + \sqrt{3})}^{2}} = |\sqrt{2} + \sqrt{3}|$ $= \sqrt{2} + \sqrt{3}$

Vậy số cần điền là 2

Câu 16:

Lựa chọn đáp án đúng nhất:

Tìm a để căn thức $\sqrt{4 - a^{2}}$ có nghĩa

A. $a \geq 2$

B. $- 2 \leq a \leq 2$

C. $a \leq - 2$ hoặc $a \geq 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\sqrt{4 - a^{2}}$ có nghĩa khi 4 – $a^{2}$ $\geq 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a^{2} \leq 4 \\ \Leftrightarrow |a| \leq 2 \\ \Leftrightarrow - 2 \leq a \leq 2 \end{array}$

Câu 17:

Lựa chọn đáp án đúng nhất:

Tìm a để căn thức $\sqrt{a^{2} - 1}$ có nghĩa

A. $a \geq 1$

B. $a \leq 1$

C. $a \leq - 1$ hoặc $a \geq 1$

Xem đáp án

Đáp án C

$\sqrt{a^{2} - 1}$ có nghĩa khi $a^{2} - 1 \geq 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a^{2} \geq 1 \\ \Leftrightarrow |a| \geq 1 \end{array}$

$\Leftrightarrow a \geq 1$ hoặc $a \leq - 1$