18 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chủ đề 2: Một số hệ phương trình quy về hệ bậc nhất có đáp án

Câu 1:

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}

.

Xem đáp án

Giải chi tiết

Ý tưởng: Biến đổi phương trình (1) về tổng và tích của x và y.

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - 2 x y + x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - x y = 3 \\ x + y = 2 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S^{2} - P = 3 \\ S = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ 4 - P = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 2 \\ P = 1 \end{cases}$ (thỏa mãn).

x và y là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^{2} - 2 X + 1 = 0 \Leftrightarrow {(X - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow X = 1$

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(1; 1)$ .

Câu 2:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ (x + 1) (y + 1) = 8 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 10 \\ (x + 1) (y + 1) = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + y)}^{2} - 2 x y = 10 \\ x y + x + y + 1 = 8 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S^{2} - 2 P = 10 \\ P + S + 1 = 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S^{2} - 2 P = 10 \\ P = 7 - S \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S^{2} - 2 (7 - S) = 10 \\ P = 7 - S \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S^{2} + 2 S - 24 = 0 \\ P = 7 - S \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 4 \\ P = 3 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} S = - 6 \\ P = 13 \end{cases}$ .

Mà $S^{2} \geq 4 P \Rightarrow S = 4, P = 3$ thỏa mãn.

Khi đó, x và y là nghiệm của phương trình bậc hai

$X^{2} - 4 X + 3 = 0 \Leftrightarrow (X - 1) (X - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} X = 1 \\ X = 3 \end{array}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là $(1; 3), (3; 1)$ .

Câu 3:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + 4 \sqrt{x y} = 16 \\ x + y = 10 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $x \geq 0; y \geq 0$ .

Đặt $S = \sqrt{x} + \sqrt{y}; P = \sqrt{x y}$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ và $S \geq 0; P \geq 0$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S + 4 P = 16 \\ S^{2} - 2 P = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S + 4 P = 16 \\ 2 S^{2} - 4 P = 20 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S + 4 P = 16 \\ 2 S^{2} + S - 36 = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} S = 4 \\ P = 3 \end{cases}$ (thỏa mãn ) hoặc $\{\begin{cases} S = - \frac{9}{2} \\ P = \frac{41}{8} \end{cases}$ (loại).

Khi đó $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là nghiệm của phương trình bậc hai.

$X^{2} - 4 X + 3 = 0 \Leftrightarrow (X - 1) (X - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} X = 1 \\ X = 3 \end{array}$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là

(1; 9), (9; 1)

.

Câu 4:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} - 3 x = - 2 y (1) \\ y^{2} - 3 y = - 2 x (2) \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$x^{2} - y^{2} - 3 x + 3 y = - 2 y + 2 x \Leftrightarrow (x - y) (x + y) - 5 (x - y) = 0 \Leftrightarrow (x - y) (x + y - 5) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = y \\ x = 5 - y \end{array}$

Với $x = y$ thay vào (1) ta được: $y^{2} - y = 0 \Leftrightarrow y (y - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \Rightarrow x = 0 \\ y = 1 \Rightarrow x = 1 \end{array}$ .

Với $x = 5 - y$ thay vào (1) ta được: $\begin{array}{l} y^{2} - 3 y = - 2 (5 - y) \Leftrightarrow y^{2} - 3 y = - 10 + 2 y \\ \Leftrightarrow y^{2} - 5 y + 10 = 0 \end{array}$ (vô nghiệm).

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là $(x; y) \in \{(0; 0), (1; 1)\}$ .

Câu 5:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} x^{3} + 2 x = y ​ (1) \\ y^{3} + 2 y = x (2) \end{cases}

.

Xem đáp án

Giải chi tiết

Trừ từng vế của hai phương trình ta được:

$\begin{array}{l} x^{3} - y^{3} + 3 x - 3 y = 0 \Leftrightarrow (x - y) (x^{2} + y^{2} + x y + 3 = 0) \\ \Leftrightarrow (x - y) [{(x + \frac{y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4} + 3] = 0 \Leftrightarrow y = x \end{array}$

Với $y = x$ thay vào (1) ta được: $x^{3} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0;0 ).

Câu 6:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Vì vế phải của mỗi phương trình đều dương nên ta có $\{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \end{cases}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} 3 x = \frac{x^{2} + 2}{y^{2}} \\ 3 y = \frac{y^{2} + 2}{x^{2}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 x y^{2} = x^{2} + 2 (1) \\ 3 y x^{2} = y^{2} + 2 (2) \end{cases}$ .

Trừ từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:

$3 x y^{2} - 3 y x^{2} = x^{2} - y^{2} \Leftrightarrow 3 x y (y - x) = (x - y) (x + y) \Leftrightarrow (x - y) (3 x y + x + y) = 0$

Vì $x > 0, y > 0 \Rightarrow 3 x y + x + y > 0$

$\Rightarrow x = y$ .

Với x=y thay vào (1) ta được: $3 x^{3} - x^{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (3 x^{2} + 2 x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1).

Câu 7:

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ (m là tham số).

Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức $A = x y + 2 (x + y)$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Xem đáp án

Giải chi tiết

Nhận xét: $\{\begin{cases} x + y = m \\ x^{2} + y^{2} = - m^{2} + 6 \end{cases}$ là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Đặt $S = x + y; P = x y$ . Điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ .

$\Rightarrow x^{2} + y^{2} = {(x + y)}^{2} - 2 x y = S^{2} - 2 P$ .

Ta có hệ: $\{\begin{cases} S = m \\ S^{2} - 2 P = - m^{2} + 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} S = m \\ P = m^{2} - 3 \end{cases}$

Hệ phương trình có nghiệm $(x; y)$ khi và chỉ khi

$S^{2} \geq 4 P \Leftrightarrow m^{2} \geq 4 m^{2} - 12 \Leftrightarrow 3 m^{2} \leq 12 \Leftrightarrow m^{2} \leq 4 \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$ .

Ta có: $A = x y + 2 (x + y) = m^{2} - 3 + 2 m = m^{2} + 2 m + 1 - 4 = {(m + 1)}^{2} - 4$ .

Vì $- 2 \leq m \leq 2 \Leftrightarrow - 1 \leq m + 1 \leq 3 \Leftrightarrow 0 \leq {(m + 1)}^{2} \leq 9$

$\Rightarrow - 4 \leq A \leq 5$ .

Giá trị nhỏ nhất của A là -4 đạt được khi $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ .

Câu 8:

Tính giá trị của biểu thức $M = a^{2} + b^{2}$ biết a, b thỏa mãn: $\{\begin{cases} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{2}{a^{3}} = 1 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $a \neq 0; b \neq 0$ .

Ta có: $\{\begin{cases} \frac{3 a^{2}}{b^{2}} + \frac{1}{b^{3}} = 1 \\ \frac{3 b^{2}}{a^{2}} + \frac{1}{a^{3}} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a^{2} b + 1 = b^{3} \\ 3 a b^{2} + 2 = a^{3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b^{3} - 3 a^{2} b = 1 \\ a^{3} - 3 a b^{2} = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(b^{3} - 3 a^{2} b)}^{2} = 1 \\ {(a^{3} - 3 a b^{2})}^{2} = 4 \end{cases}$

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$(b^{6} - 6 a^{2} b^{4} + 9 a^{4} b^{2}) + (a^{6} - 6 a^{4} b^{2} + 9 a^{2} b^{4}) = 5$

$\Leftrightarrow b^{6} + 3 a^{2} b^{4} + 3 a^{4} b^{2} + a^{6} = 5 \Leftrightarrow {(a^{2} + b^{2})}^{3} = 5$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} = \sqrt[3]{5}$

Vậy $M = \sqrt[3]{5}$ .

Câu 9:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Giải chi tiết

Điều kiện xác định: $x \neq 0$ và $y \neq - 1$ .

$\{\begin{cases} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y + 1} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + 3 y = x y + 5 \\ y + 1 + x = x (y + 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x y = 2 x + 3 y - 5 (1) \\ x y = y + 1 (2) \end{cases}$

Trừ từng vế của hai phương trình ta có: $2 x + 2 y - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3 - y$

Thay $x = 3 - y$ vào phương trình (2) ta được:

$(3 - y) y = y + 1 \Leftrightarrow y^{2} - 2 y + 1 = 0 \Leftrightarrow {(y - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow y = 1$

$\Rightarrow x = 2$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(2; 1)$ .

Câu 10:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 x + y = x^{2} \\ 2 y + x = y^{2} \end{cases}$ .

Xem đáp án

Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ từng vế của hai phương trình ta được

$(x - y) (x + y - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = y \\ x = 1 - y \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(0; 0), (3; 3), (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; \frac{1 - \sqrt{5}}{2}), (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ .

Câu 11:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{3} = 2 y + x \\ y^{3} = 2 x + y \end{cases}$ .

Xem đáp án

Hệ phương trình đối xứng loại II, trừ từng vế của hai phương trình ta được

$(x - y) (x^{2} + x y + y^{2} + 1) = 0 \Leftrightarrow x = y$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(0; 0), (\sqrt{3}; \sqrt{3}), (- \sqrt{3}; - \sqrt{3})$ .

Câu 12:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x y + x + y = 3 \\ x^{2} y + x y^{2} = 2 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Hệ phương trình đối xứng loại I.

Đặt $S = x + y; P = x y$ (điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ ), ta được

$\{\begin{cases} P + S = 3 \\ S . P = 2 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} S = 1; P = 2 \\ S = 2; P = 1 \end{array}$

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow S = 2; P = 1$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(1; 1)$ .

Câu 13:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} 3 x^{2} + 8 y^{2} + 12 x y = 23 \\ x^{2} + y^{2} = 2 \end{cases}

.

Xem đáp án

Cộng từng vế của hai phương trình ta được:

$4 x^{2} + 9 y^{2} + 12 x y = 25 \Leftrightarrow {(2 x + 3 y)}^{2} = 25 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + 3 y = 5 \\ 2 x + 3 y = - 5 \end{array}$

Với $2 x + 3 y = 5 \Leftrightarrow y = \frac{5 - 2 x}{3}$ thay vào $x^{2} + y^{2} = 2$ ta được $[\begin{array}{l} x = 1; y = 1 \\ x = \frac{7}{13}; y = \frac{17}{3} \end{array}$ .

Với $2 x + 3 y = - 5 \Leftrightarrow y = \frac{- 5 - 2 x}{3}$ thay vào $x^{2} + y^{2} = 2$ ta được $[\begin{array}{l} x = - 1; y = - 1 \\ x = - \frac{7}{13}; y = - \frac{17}{3} \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(1; 1), (- 1; - 1), (\frac{7}{13}; \frac{17}{3}), (- \frac{7}{13}; - \frac{17}{3})$ .

Câu 14:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 5 \\ (x + 2 y) (5 + 4 x y) = 27 \end{cases}$ .

Xem đáp án

$\{\begin{cases} x^{2} + 4 y^{2} = 5 \\ (x + 2 y) (5 + 4 x y) = 27 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + {(2 y)}^{2} = 5 \\ (x + 2 y) (5 + 2. x .2 y) = 27 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x + 2 y)}^{2} - 2 (2 x y) = 5 \\ (x + 2 y) (5 + 2.2 x y) = 27 \end{cases}$

Đặt $a = x + 2; b = 2 x y$ (điều kiện: $a^{2} \geq 4 b$ ) ta được

$\{\begin{cases} a^{2} - 2 b = 5 \\ a (5 + 2 b) = 27 \end{cases} \Leftrightarrow a = 3; b = 2$ .

x và 2y là nghiệm của hai phương trình bậc hai: $X^{2} - 3 X + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} X = 1 \\ X = 2 \end{array}$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(1; 1), (2; \frac{1}{2})$ .

Câu 15:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} x^{2} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{x}{y} = 27 \\ x + \frac{1}{y} + \frac{x}{y} = 15 \end{cases}$ .

Xem đáp án

Ta có: $x^{2} + \frac{1}{y^{2}} + \frac{x}{y} = 27 \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{y})}^{2} - \frac{x}{y} = 27$

Điều kiện: $y \neq 0$

Đặt $a = x + \frac{1}{y}, b = \frac{x}{y}$ (điều kiện: $a^{2} \geq 4 b$ ) ta được $\{\begin{cases} a^{2} - b = 27 \\ a + b = 15 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 6; b = 9 \\ a = - 7; b = 22 \end{array}$ .

Kết hợp điều kiện $\Rightarrow a = 6; b = 9$ .

x và $\frac{1}{y}$ là nghiệm của phương trình bậc hai: $X^{2} - 6 X + 9 = 0 \Leftrightarrow X = 3$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(3; \frac{1}{3})$ .

Câu 16:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ x^{2} y + x y^{2} = 30 \end{cases}

.

Xem đáp án

Điều kiện: $x \neq 0; y \neq 0$ .

$\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6} \\ x^{2} y + x y^{2} = 30 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 6 (x + y) = 5 x y \\ x y (x + y) = 30 \end{cases}$

Đặt $S = x + y; P = x y$ (điều kiện: $S^{2} \geq 4 P$ ) ta được

$\{\begin{cases} 6 S = 5 P \\ S . P = 30 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} S = 5; P = 6 \\ S = - 5; P = - 6 \end{array}$ (thỏa mãn điều kiện).

Với $S = 5; P = 6 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 2; y = 3 \\ x = 3; y = 2 \end{array}$

Với $S = - 5; P = - 6 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 1; y = - 6 \\ x = - 6; y = 1 \end{array}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(2; 3), (3; 2), (1; - 6), (- 6; 1)$ .

Câu 17:

Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} \sqrt{\frac{2 x - 3}{y + 5}} + \sqrt{\frac{y + 5}{2 x - 3}} = 2 \\ 3 x + 2 y = 19 \end{cases}$ (với $x > \frac{3}{2}; y > - 5$ ).

Xem đáp án

Đặt $t = \sqrt{\frac{2 x - 3}{y + 5}} (t > 0)$ .

Ta có phương trình: $t + \frac{1}{t} = 2 \Leftrightarrow {(t - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow \frac{2 x - 3}{y + 5} = 1 \Leftrightarrow 2 x - y = 8$

Ta có hệ: $\{\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ 3 x + 2 y = 19 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 5 \\ y = 2 \end{cases}$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(5; 2)$ .

Câu 18:

Giải hệ phương trình

\{\begin{cases} \frac{x^{2}}{y} + x = 2 \\ \frac{y^{2}}{x} + y = \frac{1}{2} \end{cases}

.

Xem đáp án

Điều kiện xác định: $x \neq 0$ và $y \neq 0$

Đặt $x = k y$ (điều kiện: $k \neq 0$ )

Ta có hệ: $\{\begin{cases} \frac{k^{2} y^{2}}{y} + k y = 2 \\ \frac{y^{2}}{k y} + y = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k^{2} y + k y = 2 \\ \frac{y^{2}}{k y} + y = \frac{1}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k y (k + 1) = 2 \\ \frac{y}{k} (1 + k) = \frac{1}{2} \end{cases}$

Nếu $k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = - 1$ thì hệ vô nghiệm.

Nếu $k + 1 \neq 0 \Leftrightarrow k \neq - 1$ , chia theo vế của hai phương trình ta được: $k^{2} = 4 \Leftrightarrow k = \pm 2$ .

Với $k = 2 \Rightarrow (2^{2} + 2) y = 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \frac{2}{3}$

Với $k = - 2 \Rightarrow [{(- 2)}^{2} - 2] y = 2 \Leftrightarrow y = 1 \Rightarrow x = - 2$ .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(\frac{2}{3}; \frac{1}{3}), (- 2; 1)$ .