Đáp án đúng là: C

Đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường cong, gọi là đường parabol, có các tính chất sau:

Có đỉnh là gốc tọa độ \(O\,;\)

Có trục đối xứng là \(Oy\,;\)

Nằm phía trên trục hoành nếu \(a > 0\) và nằm phía dưới trục hoành nếu \(a < 0.\)

Đáp án đúng là: B

Hai điểm \(\left( {x;y} \right)\) và \(\left( { - x;y} \right)\) đối xứng nhau qua trục tung \(Oy.\)

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số trong hình vẽ trên có dạng parabol nên \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị hàm số đi nằm phía dưới trục hoành nên \(a < 0.\)

Đáp án đúng là: D

Điểm \(\left( { - 1\,;\,\, - 3} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) vì \(3{\left( { - 1} \right)^2} = 3 \ne - 3.\)

Điểm \(\left( {4\,;\,\,12} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) vì \({3.4^2} = 48 \ne 12.\)

Điểm \(\left( { - 2\,;\,\, - 6} \right)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) vì \(2.{\left( { - 2} \right)^2} = 8 \ne - 6.\)

Điểm \(\left( {1\,;\,\,3} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = 3{x^2}\) vì \({3.1^2} = 3.\)

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) có đồ thị đi qua điểm \(\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) nên ta có:

\(3 = \left( {m + 2} \right){\left( { - 1} \right)^2}\)

\(m + 2 = 3\)

\(m = 1.\)

Vậy để đồ thị hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) đi qua điểm \(\left( { - 1\,;\,\,3} \right)\) thì \(m = 1.\)

Đáp án đúng là: B

Ta thấy:

Điểm \[\left( { - 4;\,\, - 4} \right)\] thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{\left( { - 4} \right)^2} = - 4\).

Điểm \(\left( { - 2;\,\, - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{\left( { - 2} \right)^2} = - 1\).

Điểm \(\left( {0;\,\,0} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{0^2} = 0\).

Điểm \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{2^2} = - 1\).

Điểm \(\left( {4;\,\, - 4} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) vì \(\frac{{ - 1}}{4}{4^2} = - 4\).

Vậy để vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) cần xác định các điểm \(\left( { - 4; - 4} \right);\,\,\left( { - 2; - 1} \right);\,\,\left( {0;0} \right);\,\,\left( {2; - 1} \right);\,\,\)\(\left( {4; - 4} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Điểm thuộc \(\left( P \right)\) có tung độ bằng \( - 6\) thì hoành độ \(x\) thỏa mãn phương trình \( - 6 = - 2{x^2}\) nên \({x^2} = 3.\)

Do đó \(x = 3\) hoặc \(x = - 3.\)

Vậy tọa độ các điểm cần tìm là \(\left( {\sqrt 3 ;\, - 6} \right);\,\,\left( { - \sqrt 3 ;\, - 6} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(m + 2 > 0\) hay \(m > - 2.\)

Đáp án đúng là: B

Điểm có hoành độ bằng \(1\) là một điểm chung của parabol \(y = 2{x^2}\) và đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x - 2\) thì có tung độ \(y = {2.1^2} = 2.\)

Suy ra \(\left( {1;2} \right)\) là điểm chung của parabol và đường thẳng.

Vì \(\left( {1;2} \right)\) thuộc đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x - 2\) nên ta có \(2 = \left( {m - 1} \right).1 - 2\) hay \(m = 5.\)

Vậy \(m = 5\) là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là: D

Từ đồ thị ta thấy:

Đây là đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Vì đồ thị của hàm số đi qua điểm \(\left( {1\,;\,2} \right)\) nên ta thay vào hàm số \(y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)\), ta được

\(2 = a{.1^2}\) suy ra \(a = 2\).

Vậy đồ thị trên là đồ thị của hàm số \(y = 2{x^2}.\)

Đáp án đúng là: B

Điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \( - 1\) thì tung độ là \(y = {\left( { - 1} \right)^2} = 1.\)

Khi đó, điểm \(\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\) đi qua hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \( - 1\).

Điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \(2\) thì tung độ là \(y = {2^2} = 4.\)

Khi đó, điểm \(\left( {2\,;\,\,4} \right)\) đi qua hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng 2.

Đường thẳng cần tìm có dạng \(y = ax + b\,\,\left( d \right)\)

Đường thẳng đi qua hai điểm thuộc \(\left( P \right)\) có hoành độ bằng \( - 1\) và \(2\) nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( { - 1\,;\,\,1} \right) \in d\\\left( {2\,;\,\,4} \right) \in d\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}1 = - a + b\\4 = 2a + b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right..\)

Vậy đường thẳng cần tìm là \(y = x + 2.\)

Đáp án đúng là: A

Hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right):\,\,y = \frac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = x + \frac{3}{2}\) là nghiệm của phương trình \(\frac{1}{2}{x^2} = x + \frac{3}{2}\)

\({x^2} = 2x + 3\)

\({x^2} - 2x - 3 = 0\)

\({x^2} - 3x + x - 3 = 0\)

\(x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0\)

\(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(x - 3 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 3\) hoặc \(x = - 1.\)

Với \(x = - 1\) thì \(y = - 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}\) nên \(A\left( { - 1;\frac{1}{2}} \right).\)

Với \(x = 3\) thì \(y = 3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2}\) nên \[B\left( {3\,\,;\,\frac{9}{{\,2}}} \right).\]

Do đó, độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - \frac{9}{2}} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 .\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là nghiệm của phương trình

\({x^2} = 2x + m\) hay \({x^2} - 2x + m = 0\,\,\,\left( 1 \right).\)

Ta có: \(\Delta ' = 1 + m\).

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.

Suy ra \(\Delta ' > 0\) hay \(1 + m > 0\) hay \(m > - 1.\)

Mà \(m\) là số nguyên nhỏ nhất nên \(m = 0.\)