12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức

Bài tập Toán 9 Chủ đề 1: Bài toán rút gọn có đáp án

Dạng 3: Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức

1401 lượt thi
12 câu hỏi
30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

A = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} - \sqrt{7 + 4 \sqrt{3}}

Xem đáp án

$A = \sqrt{3 - 2 \sqrt{3} + 1} - \sqrt{4 + 4 \sqrt{3} + 3} = \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} - \sqrt{{(2 + \sqrt{3})}^{2}} = |\sqrt{3} - 1| - |2 + \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 1 - (2 + \sqrt{3}) = - 3$

Nhận xét: Các biểu thức $4 - 2 \sqrt{3}$ ; $7 + 4 \sqrt{3}$ đều có dạng $m \pm p \sqrt{n}$ trong đó với $a^{2} + b^{2} = m$ $p \sqrt{n} = 2 a b$ . Những biểu thức như vậy đều viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức.

Câu 2:

Rút gọn biểu thức

B = \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}

Xem đáp án

Cách 1:

$B = \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}} = |\sqrt{3} + \sqrt{2}| - |\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} + \sqrt{2} - (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2}$

Cách 2:

$B = \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$

Ta có:

$B^{2} = 5 + 2 \sqrt{6} + 5 - 2 \sqrt{6} - 2 \sqrt{(5 + 2 \sqrt{6}) (5 - 2 \sqrt{6})} = 10 - 2 \sqrt{1} = 8$

Vì $B > 0$ nên $B = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

Nhận xét: Các biểu thức $5 + 2 \sqrt{6}$ và $5 - 2 \sqrt{6}$ là hai biểu thức liên hợp. Gặp những biểu thức như vậy, để tính B ta có thể tính $B^{2}$ trước rồi sau đó suy ra B.

Câu 3:

Rút gọn

$A = \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$

Xem đáp án

$A = \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}} = \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} = |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$

Câu 4:

Rút gọn

B = \sqrt{4 - \sqrt{12}}

Xem đáp án

$B = \sqrt{4 - \sqrt{12}} = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} = |\sqrt{3} - 1|$

Câu 5:

Rút gọn

$C = \sqrt{19 - 8 \sqrt{3}}$

Xem đáp án

$C = \sqrt{19 - 8 \sqrt{3}} = \sqrt{{(4 - \sqrt{3})}^{2}} = |4 - \sqrt{3}| = 4 - \sqrt{3}$

Câu 6:

Rút gọn

$D = \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}$

Xem đáp án

$D = \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{2}} = |\sqrt{3} - \sqrt{2}| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

Câu 7:

Rút gọn

$A = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$

Xem đáp án

$A = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} = \sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}} = \sqrt{3} + 1$

Câu 8:

Rút gọn

$B = \sqrt{8 - 2 \sqrt{15}}$

Xem đáp án

$B = \sqrt{8 - 2 \sqrt{15}} = \sqrt{{(\sqrt{15} - 1)}^{2}} = \sqrt{15} - 1$

Câu 9:

Rút gọn

$C = \sqrt{9 - 4 \sqrt{5}}$

Xem đáp án

$C = \sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} = \sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{5} - 2$

Câu 10:

Rút gọn

$D = \sqrt{7 + \sqrt{13}} - \sqrt{7 - \sqrt{13}}$

Xem đáp án

$D = \sqrt{7 + \sqrt{13}} - \sqrt{7 - \sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{14 + 2 \sqrt{13}} - \sqrt{14 - 2 \sqrt{13}})$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} [\sqrt{{(\sqrt{13} + 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{13} - 1)}^{2}}] = \sqrt{2}$

Câu 11:

Rút gọn

$E = \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$

Xem đáp án

$E = \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}} = \sqrt{5 + 2 \sqrt{5} + 1} - \sqrt{5 - 2 \sqrt{5} + 1}$

$= \sqrt{{(\sqrt{5} + 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} = | \sqrt{5} + 1 | - | \sqrt{5} - 1 | = \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1 = 2$

Câu 12:

Rút gọn

$F = \sqrt{7 - 2 \sqrt{10}} + \sqrt{20} + \frac{1}{2} \sqrt{8}$

Xem đáp án

$F = \sqrt{7 - 2 \sqrt{10}} + \sqrt{20} + \frac{1}{2} \sqrt{8} = \sqrt{{(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{2}} + 2 \sqrt{5} + \frac{1}{2} .2 \sqrt{2}$

$= |\sqrt{5} - \sqrt{2}| + 2 \sqrt{5} + \sqrt{2} = \sqrt{5} - \sqrt{2} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{2} = 3 \sqrt{5}$

Bắt đầu thi ngay