11 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Toán về năng suất – Khối lượng công việc - %

Câu 1:

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?

Xem đáp án

Gọi $x, y$ là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch .

ĐK: x, y nguyên dương và x < 600; y < 600.

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: $x + y = 600 (1)$

Số sản phẩm tăng của tổ I là: $\frac{18}{100} x$ (sp), Số sản phẩm tăng của tổ II là: $\frac{21}{100} y$ (sp).

Do số sản phẩm của hai tổ vượt mức 120(sp) nên ta có phương trình: $\frac{18}{100} x + \frac{21}{100} y = 120 (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = 600 \\ \frac{18}{100} x + \frac{21}{100} y = 120 \end{cases}$

Giải hệ ta được x = 200 , y = 400 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy số sản phẩm được giao theo kế hoạch của tổ I là 200, của tổ II là 400.

Câu 2:

Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

Xem đáp án

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là y (giờ). (Điều kiện $x; y > 5$ )

Trong 1 giờ: vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ bể; vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ bể

Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được $\frac{1}{5}$ bể.

Vì hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể nên ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} (1)$

Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nên ta có phương trình: $3. \frac{1}{x} + 4. \frac{1}{y} = \frac{2}{3} (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5} \\ \frac{3}{x} + \frac{4}{y} = \frac{2}{3} \end{matrix}$

Giải hệ phương trình trên ta đươc $x = 7, 5$ ; $y = 15$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 7,5 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 15 giờ.

Câu 3:

Hai công nhân cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được $\frac{1}{4}$ công việc. Hỏi mỗi công nhân làm một mình thì trong bao lâu làm xong công việc.

Xem đáp án

Gọi x (giờ), y(giờ) lần lượt là thời gian một mình công nhân I và một mình công nhân II làm xong công việc. ĐK: x, y > 16.

Trong 1 giờ: + Công nhân I làm được: $\frac{1}{x}$ (công việc)

+ Công nhân II làm được: $\frac{1}{y}$ (công việc)

+ Cả hai công nhân làm được: $\frac{1}{16}$ (công việc)

Ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} (1)$

Trong 3 giờ công nhân I làm được: $\frac{3}{x}$ (công việc)

Trong 6 giờ công nhân II làm được: $\frac{6}{y}$ (công việc)

Ta có phương trình: $\frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} (2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} \frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{16} \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \end{cases}$

$(2) - (1)$ ta được : $\frac{3}{y} = \frac{1}{16} \Leftrightarrow y = 3.16 = 48$ ( tmđk)

Thay vào (1) ta được : $\frac{3}{x} + \frac{3}{48} = \frac{3}{16} \Leftrightarrow \frac{3}{x} = \frac{3}{16} - \frac{3}{48} = \frac{6}{48} \Leftrightarrow x = \frac{3.48}{6} = 24$ ( tmđk)

Vậy: + Một mình công nhân I làm xong công việc hết: 24 giờ

+ Một mình công nhân II làm xong công việc hết: 48 giờ

Câu 4:

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất được giao làm 600 sản phẩm. Nhờ tăng năng suất lao động tổ 1 làm vượt mức 10% và tổ hai làm vượt mức 20% so với kế hoạch của mỗi tổ, nên cả hai tổ làm được 685 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm theo kế hoạch.

Xem đáp án

Gọi số sản phẩm tổ 1 làm theo kế hoạch là x (SP, ĐK: $x \in Ν^{*}, x < 600$ )

Gọi số sản phẩm tổ 2 làm theo kế hoạch là y (SP, ĐK: $y \in Ν^{*}, y < 600$ )

Vì hai tổ sản xuất được giao làm 600 sản phẩm nên ta có phương trình:

$x + y = 600$ (1)

Số sản phẩm vượt mức của tổ 1 là: $10 % . x$ (sảnphẩm)

Số sản phẩm vượt mức của tổ 2 là: $20 % y$ (sảnphẩm)

Vì tăng năng suất 2 tổ đã làm được 685 sảnphẩm, nên ta có phương trình:

$110 % x + 120 % y = 685$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hpt $\{\begin{cases} x + y = 600 \\ 110 % x + 120 % y = 685 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 600 \\ 0, 1 y = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x + y = 600 \\ y = 250 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 350 \\ y = 250 \end{cases}$ (TMĐK)

Vậy số sản phẩm tổ 1 làm theo kế hoạch là 350 sản phẩm

Số sản phẩm tổ 2 làm theo kế hoạch là 250 sản phẩm.

Câu 5:

Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút và người thứ hai làm trong 10 giờ thì xong công việc. Tính thời gian mỗi công nhân khi làm riêng xong công việc.

Xem đáp án

Gọi x (h) là thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong công việc ( x > 6) . thì trong 1h người thứ nhất làm được 1/x (cv)

y (h) là thời gian người thứ hai làm 1 mình xong công việc ( y > 6) trong 1h người thứ nhất làm được 1/y (cv)

Trong 3h20' người thứ nhất làm được $\frac{10}{3} . \frac{1}{x}$ (cv),

Trong 10h người thứ hai làm được 10. $\frac{1}{y}$ (cv)

ta có phương trình $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{x} + 10 \cdot \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$ Đặt ẩn phụ ta có hpt: $\{\begin{cases} u + v = \frac{1}{6} \\ \frac{10}{3} u + 10 v = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u = \frac{1}{10} \\ v = \frac{1}{15} \end{cases}$ (thỏa) Suy ra x = 10 ; y = 15. Kết luận.

Câu 6:

Hai máy ủi cùng làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp được $\frac{1}{10}$ khu đất. Nếu máy ủi thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai máy ủi san lấp được 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất đã cho trong bao lâu ?

Xem đáp án

Gọi x (giờ ) và y (giờ ) lần lượt là thời gian làm một mình của máy thứ nhất và máy thứ hai để san lấp toàn bộ khu đất (x > 0 ; y > 0)

Nếu làm 1 mình thì trong 1 giờ máy ủi thứ nhất san lấp được $\frac{1}{x}$ khu đất, và máy thứ 2 san lấp được $\frac{1}{y}$ khu đất.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình : $\{\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{12}{y} = \frac{1}{10} \\ \frac{42}{x} + \frac{22}{y} = \frac{1}{4} \end{cases}$

Đặt $u = \frac{1}{x}$ và $v = \frac{1}{y}$ ta được hệ phương trình: $\{\begin{matrix} 12 u + 12 v = \frac{1}{10} \\ 42 u + 22 v = \frac{1}{4} \end{matrix}$

Giải hệ phương trình tìm được $u = \frac{1}{300}; v = \frac{1}{200}$ , Suy ra: $(x; y) = (300; 200)$

Trả lời: Để san lấp toàn bộ khu đất thì: Máy thứ nhất làm một mình trong 300 giờ, máy thứ hai làm một mình trong 200 giờ .

Câu 7:

Tháng đầu, hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai, do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% vả tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu, vì vậy, hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ?

Xem đáp án

Gọi số chi tiết máy tháng đầu của tổ 1 là x chi tiết ( x nguyên dương, x < 900)

Gọi số chi tiết máy tháng đầu của tổ 2 là y chi tiết ( y nguyên dương, y < 900)

Theo đề bài ta có hệ $\{\begin{cases} x + y = 900 \\ 1, 1 x + 1, 12 y = 1000 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 400 \\ y = 500 \end{cases}$ (thoả mãn)

Đáp số 400, 500.

Câu 8:

Trong tháng thanh niên Đoàn trường phát động và giao chỉ tiêu mỗi chi đoàn thu gom 10kg giấy vụn làm kế hoạch nhỏ. Để nâng cao tinh thần thi đua bí thư chi đoàn 10A chia các đoàn viên trong lớp thành hai tổ thi đua thu gom giấy vụn. Cả hai tổ đều rất tích cực. Tổ 1 thu gom vượt chỉ tiêu 30%, tổ hai gom vượt chỉ tiêu 20% nên tổng số giấy chi đoàn 10A thu được là 12,5 kg. Hỏi mỗi tổ được bí thư chi đoàn giao chỉ tiêu thu gom bao nhiêu kg giấy vụn?

Xem đáp án

Gọi số kg giấy vụn tổ 1 được bí thư chi đoàn giao là x (kg) ( Đk : 0 < x <10)

Số kg giấy vụn tổ 2 được bí thư chi đoàn giao là y (kg) ( Đk : 0 < x <10 )

Theo đầu bài ta có hpt: $\{\begin{cases} x + y = 10 \\ 1, 3 x + 1, 2 y = 12, 5 \end{cases}$

Giải hệ trên ta được : (x; y ) = (5;5)

Trả lời : số giấy vụn tổ 1 được bí thư chi đoàn giao là 5 kg.

Số giấy vụn tổ 2 được bí thư chi đoàn giao là 5 kg.

Câu 9:

Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt cá ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu. Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ. Nếu cả hai cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là $\frac{20}{7}$ giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lên tàu trong thời gian bao lâu?

Xem đáp án

Gọi x (giờ) là thời gian người thứ I một mình làm xong cả công việc.

và y (giờ) là thời gian người thứ II một mình làm xong cả công việc. (Với $x, y > \frac{20}{7}$ )

Ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{20} \\ \frac{y}{2} - \frac{x}{2} = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{7}{20} (1) \\ y - x = 6 (2) \end{cases}$

Từ (1) và (2) ta có phương trình: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 6} = \frac{7}{20}$

Giải phương trình được x₁ = 4, $x_{2} = - \frac{30}{7}$ . Chọn x = 4. (thoả mãn điều kiện)

Vậy thời gian một mình làm xong cả công việc của người thứ I là 4 giờ, của người thứ II là 10 giờ.

Câu 10:

Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Người lái xe tính rằng nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng.

Xem đáp án

Gọi x là số toa xe lửa và y là số tấn hàng phải chở.

Điều kiện: x $\in$ N^*, y > 0.

Theo bài ra ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} 15 x = y - 5 \\ 16x = y + 3 \end{cases}$ .

Giải hpt ta được: x = 8, y = 125 (thỏa mãn)

Vậy xe lửa có 8 toa và cần phải chở 125 tấn hàng.

Câu 11:

Tháng giêng hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy; tháng hai do cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Xem đáp án

Gọi x, y số chi tiết máy của tổ 1, tổ 2 sản xuất trong tháng giêng (x, y $\in$ N^* ),

ta có x + y = 900 (1) (vì tháng giêng 2 tổ sản xuất được 900 chi tiết). Do cải tiến kỹ thuật nên tháng hai tổ 1 sản xuất được: $x + 15 % x$ , tổ 2 sản xuất được: $y + 10 % y$ .

Cả hai tổ sản xuất được: $1, 15 x + 1, 10 y = 1010$ (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: $\{\begin{cases} x + y = 900 \\ 1, 15 x + 1, 1 y = 1010 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 1, 1 x + 1, 1 y = 990 \\ 1, 15 x + 1, 1 y = 1010 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0, 05 x = 20 \\ x + y = 900 \end{cases}$

x = 400 và y = 500 (thoả mãn)

Vậy trong tháng giêng tổ 1 sản xuất được 400 chi tiết máy, tổ 2 sản xuất được 500 chi tiết máy.