3 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 3: Tứ giác nội tiếp có đáp án

Dạng 2: Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn có đáp án

1069 lượt thi
3 câu hỏi
50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình thoi ABCD có góc A bằng $60 °$ , AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn đó theo a.

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 60 độ , AB = a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có OB = OD

Do ABCD là hình thoi nên ta có $A C ⊥ B D$ .

Ta có $\hat{B A D} = 60^{0}$ nên $\hat{B A O} = 30^{0}$ (tính chất đường chéo hình thoi)

Tam giác ABO vuông tại O có

$O B = A B s i n \hat{B A O} \Rightarrow O B = a . \sin 30^{0} = \frac{a}{2}$

Xét tam giác vuông ABO có $\hat{A B O} + \hat{B A O} = 90^{0}$ ( hai góc phụ nhau) mà $\hat{B A O} = 30^{0}$ suy ra $\hat{A B O} = 60^{0}$ hay $\hat{E B O} = 60^{0}$

$O E = \frac{1}{2} A B = E B = E A$ ( tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông và E là trung điểm của AB.

Tam giác EOB là tam giác cân tại E có $\hat{E B O} = 60^{0}$ nên tam giác EBO là tam giác đều $\Rightarrow O E = O B$

Chứng minh tương tự với các tam giác vuông BOC, COD và DOA ta có :

$O E = O B = O F = O C = O G = O D = O H$

Vậy 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng nằm trên một đường tròn tâm O. Bán kính $O B = \frac{a}{2}$

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. (ảnh 1)

Do $D E ⊥ B C \Rightarrow \hat{D B E} = 90^{0}$

Vì E và F đối xứng với nhau qua BD nên BD là đường trung trực của đoạn thẳng EF

$\Rightarrow B F = B E; D F = D E$

$Δ B F D = Δ B E D$ (c-c-c) $\Rightarrow \hat{B F D} = \hat{B E D} = 90^{0}$

Gọi O là trung điểm của BD.

Xét tam giác vuông ABD vuông tại A có AO là trung tuyến nên $A O = \frac{1}{2} B D = O B = O D (1)$

Tam giác vuông BDE vuông tại E có OE là trung tuyến nên $E O = \frac{1}{2} B D = O B = O D (2)$

Tam giác vuông BFDvuông tại F có OF là trung tuyến nên $F O = \frac{1}{2} B D = O B = O D (3)$

Từ $(1), (2), (3) \Rightarrow O A = O B = O D = O E = OF$ . Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn tâm O với O là trung điểm của BC.

Câu 3:

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE.

Chứng minh 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.

Xem đáp án

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AB, AC. Cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E). (ảnh 1)

Do AC và AB là các tiếp tuyến nên

$\hat{O C A} = \hat{O B A} = 90^{0}$

Do I là trung điểm của ED nên $O I ⊥ E D$

(đường kính đi qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây cung)

hay $\hat{O I D} = \hat{O I A} = 90^{0}$

Gọi P là trung điểm của OA

Xét tam giác vuông OCA có CP là đường trung tuyến nên $C P = \frac{1}{2} A O = O P = P A$

Xét tam giác vuông OBA có BP là đường trung tuyến nên $B P = \frac{1}{2} A O = O P = P A$

Xét tam giác vuông OIA có IP là đường trung tuyến nên $I P = \frac{1}{2} A O = O P = P A$

Vậy $O P = P A = P C = P I = P B$ nên 5 điểm O,B,A,C,I cùng thuộc một đường tròn.

Bắt đầu thi ngay