Đáp án đúng là: C

Để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số, ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ để được một phương trình một ẩn và giải phương trình đó.

Bước 3: Thế giá trị của ẩn tìm được ở Bước 2 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại. Kết luận nghiệm của hệ.

Vậy có \(3\) bước để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y = 1\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3x + 2y = 5\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right..\)

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có \(y = 2x - 1\,\,\,\left( 3 \right)\)

Thế \(\left( 3 \right)\) vào \(\left( 2 \right)\) ta được \(3x + 2\left( {2x - 1} \right) = 5\) hay \(3x + 4x - 2 = 5\) hay \(7x = 7.\)

Đáp án đúng là: A

Vì hệ số của ẩn y ở hai phương trình của hệ bằng nhau nên cách đơn giản nhất để giải hệ là trừ vế với vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) cho phương trình \(\left( 2 \right).\)

Đáp án đúng là: D

Vì hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + 3y = 1}\\{x + by = - 2}\end{array}} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 2;3} \right)\) là một nghiệm nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2a + 9 = 1}\\{ - 2 + 3b = - 2}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 4}\\{b = 0}\end{array}} \right..\)

Vậy \(a = 4;\,b = 0\) thì hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ax + 3y = 1}\\{x + by = - 2}\end{array}} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 2;3} \right)\) là một nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = 5\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{2x + 3y = 8\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(x = 5 - 2y.\) Thay \(x = 5 - 2y\) vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được:

\[2\left( {5 - 2y} \right) + 3y = 8\]

\[10 - 4y + 3y = 8\]

\[ - 4y + 3y = 8 - 10\]

\[ - y = - 2\]

\[y = 2.\]

Thay \(y = 2\) vào \(x = 5 - 2y\) ta được \(x = 5 - 2.2 = 1.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {1;2} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra

\(\left( {x + y} \right) + \left( {x + y} \right) = 5 + 1\)

\(x + y + x - y = 6\)

\(2x = 6\)

\(x = 3.\)

Thay \(x = 3\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta được \(3 + y = 5\) suy ra \(y = 2.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {3;2} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 3y = 1\,\,\,\left( 1 \right)}\\{x + 4y = 6\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right)\)suy ra \(x = 6 - 2y.\) Thay \(x = 6 - 2y\)vào phương trình \(\left( 1 \right)\)ta được:

\(\)\(2\left( {6 - 2y} \right) - 3y = 1\)

\(12 - 4y - 3y = 1\)

\( - 4y - 3y = 1 - 12\)

\( - 7y = - 11\)

\(y = \frac{{11}}{7}.\)

Thay \(y = \frac{{11}}{7}\) vào \(x = 6 - 2y\) ta được \(x = 6.2 - \frac{{11}}{7} = \frac{{20}}{7}.\)

Suy ra \(A = \frac{{20}}{7} + \frac{{11}}{7} = \frac{{31}}{7}.\)

Vậy \(A = \frac{{31}}{7}.\)

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 1} \right) = 4}\\{4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 5}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + 3 - 2y + 2 = 4}\\{4x - 8 + 3y + 3 = 5}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y = - 1}\\{4x + 3y = 10}\end{array}} \right..\)

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với \(3,\) nhân hai vế phương trình thứ hai với \(2.\) Ta được hệ phương trình mới \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x - 6y = - 3}\\{8x + 6y = 20}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình ta được: \(\left( {9x - 6y} \right) + \left( {8x + 6y} \right) = - 3 + 20\)

\(17x = 17\)

\(x = 1.\)

Thế \(x = 1\) vào phương trình thứ nhất ta được: \(3.1 - 2y = - 1\) hay \(y = 2.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm \(\left( {1;2} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Vì đồ thị hàm số \(y = {\rm{ax}} + b\) đi qua điểm \(A\left( {2;3} \right)\)nên \(2a + b = 3.\)

Vì đồ thị hàm số \(y = {\rm{ax}} + b\)đi qua điểm \(B\left( {1; - 4} \right)\) nên \( - a + b = - 4.\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 3\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{ - a + b = - 4\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra: \(\left( {2a + b} \right) - \left( { - a + b} \right) = 3 - \left( { - 4} \right)\)

\(2a + b + a - b = 7\)

\(3a = 7\)

\(a = \frac{7}{3}\)

Suy ra \(b = \frac{7}{3} - 4 = \frac{{ - 5}}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 1\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{3x - 2y = 3\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Lấy \(\left( 2 \right)\)trừ vế với vế với \(\left( 1 \right)\) ta được \(2x = 2\) hay \(x = 1\).

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(y = \frac{{1 - x}}{{ - 2}} = \frac{{1 - 1}}{{ - 2}} = 0.\)

Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y = 1}\\{3x - 2y = 3}\end{array}} \right.\) là cặp \(\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Ta có điều kiện xác định: \(x \ne 0;\,y \ne 0.\)

Đặt \(\frac{1}{x} = a;\,\frac{1}{y} = b,\) khi đó hệ phương trình trên có dạng: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a + b = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{6a - 7b = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ \(\left( 1 \right)\)suy ra \(b = 3 - 2a.\)Thay \(b = 3 - 2a\) vào \(\left( 2 \right)\)ta được:

\(6a - 7\left( {3 - 2a} \right) = - 1\)

\(6a - 21 + 14a = - 1\)

\(20a = 20\)

\(a = 1.\)

Suy ra \(b = 3 - 2.1 = 1\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{x} = 1}\\{\frac{1}{y} = 1}\end{array}} \right.\) suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 1}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left( {1;1} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {3x + 2} \right)\left( {2y - 3} \right) = 6xy}\\{\left( {4x + 5} \right)\left( {y - 5} \right) = 4xy}\end{array}} \right..\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6xy - 9x + 4y - 6 = 6xy}\\{4xy + 20x + 5y - 25 = 4xy}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 9x + 4y = 6}\\{ - 20x + 5y = 25}\end{array}} \right..\)

Nhân hai vế phương trình thứ nhất với \(5,\)nhân hai vế phương trình thứ hai với \(4.\) Ta được hệ phương trình mới: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 45x + 20y = 30}\\{ - 80x + 20y = 100}\end{array}} \right..\)

Trừ từng vế hai phương trình ta được: \(\left( { - 45x + 20y} \right) - \left( { - 80x + 20y} \right) = 30 - 100\)

\(35x = - 70\)

\(x = - 2.\)

Thế \(x = - 2\) vào phương trình thứ nhất ta được: \(\left( { - 9} \right).\left( { - 2} \right) + 4y = 6\) hay \(y = - 3.\)

Hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất \(\left( { - 2; - 3} \right).\)

Vậy \(A = x.y = \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) = 6.\)