77 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề 2: Căn bậc hai có đáp án

Câu 1:

Rút gọn biểu thức $A = \frac{3 x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{9 x}}{3} - \sqrt{4 x}$ (x>0)

$A = \frac{3 x}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{9 x}}{3} - \sqrt{4 x} = \frac{3 {(\sqrt{x})}^{2}}{\sqrt{x}} + \frac{3 \sqrt{x}}{3} - 2 \sqrt{x} = 3 \sqrt{x} + \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} = 2 \sqrt{x} .$

Câu 2:

Tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt{25} + 3 \sqrt{8} - 2 \sqrt{18}$ .

Xem đáp án

Ta có $A = \sqrt{25} + 3 \sqrt{8} - 2 \sqrt{18} = 5 + 6 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2} = 5$

Câu 3:

Cho biểu thức $B = (\frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 3}{1 - \sqrt{x}}) . \frac{x - 1}{2 x + \sqrt{x} - 1}$ (Với $x \geq 0$ ; $x \neq 1$ và $x \neq \frac{1}{4}$ ).

Tìm tất cả các giá trị của x để B<0.

Xem đáp án

Ta có $B = (\frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 3}{1 - \sqrt{x}}) . \frac{x - 1}{2 x + \sqrt{x} - 1}$

$= (\frac{\sqrt{x} (x + \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} + \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}) . \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (2 \sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{2 \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1} . \frac{\sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x} - 1} = \frac{2 \sqrt{x} + 3}{2 \sqrt{x} - 1}$

.

Vì $2 \sqrt{x} + 3 > 0 \forall x$ nên để $B < 0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{x} - 1 < 0$ $\Leftrightarrow 0 \leq x < \frac{1}{4}$ .

Câu 4:

Cho biểu thức $P = \frac{3 x + 5 \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}$ (với $x \geq 0$ ; $x \neq 1$ )

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x sao cho P= $\frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

a) Với $x \geq 0$ ; $x \neq 1$ ta có:

$P = \frac{3 x + 5 \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 1}$ $= \frac{3 x + 5 \sqrt{x} - 4 - (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1) - {(\sqrt{x} + 3)}^{2}}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{3 x + 5 \sqrt{x} - 4 - (x - 1) - (x + 6 \sqrt{x} + 9)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)}$ $= \frac{x - \sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{x - 4 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)}$

$= \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 4) + 3 (\sqrt{x} - 4)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{(\sqrt{x} - 4) (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} - 1}$

b) $P = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2 \sqrt{x} - 8 = \sqrt{x} - 1$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} = 7$ $\Leftrightarrow x = 49$ (thỏa điều kiện)

Vậy khi x= 49 thì P= $\frac{1}{2}$

Câu 5:

Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức:

$A = (\sqrt{8} - 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 10 \sqrt{0, 2})$

Xem đáp án

$A = (\sqrt{8} - 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 10 \sqrt{0, 2}) = (2 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5^{2} .0, 2})$

$= (2 \sqrt{5} - \sqrt{2}) (\sqrt{2} + 2 \sqrt{5}) = {(2 \sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2} = 20 - 2 = 18$

Câu 6:

Cho $B = (\frac{x}{\sqrt{x} + 3} - \frac{x + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{6 x + \sqrt{x}}{x - 9}) : (\frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} - 1)$ với $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 9 \end{cases}$

Rút gọn biểu thức B và tính giá trị của B khi x=12+6 $\sqrt{3}$

Xem đáp án

* Với $x \geq 0$ , $x \neq 9$ , ta có:

$B = (\frac{x (\sqrt{x} - 3) - (x + 1) (\sqrt{x} + 3) + 6 x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}) : (\frac{\sqrt{x} - 3 - (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3})$

$= (\frac{x \sqrt{x} - 3 x - x \sqrt{x} - 3 x - \sqrt{x} - 3 + 6 x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}) : (\frac{- 6}{\sqrt{x} + 3})$

$= \frac{- 3}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} \cdot \frac{\sqrt{x} + 3}{- 6} = \frac{1}{2 (\sqrt{x} + 3)}$

*Tính giá trị của biểu thức B khi $x = 12 + 6 \sqrt{3}$ :

Ta có: $x = 12 + 6 \sqrt{3} = 3^{2} + 2.3. \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2} = {(3 + \sqrt{3})}^{2}$ (thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức ta được:

$B = \frac{1}{2 (\sqrt{{(3 + \sqrt{3})}^{2}} - 3)} = \frac{1}{2 (3 + \sqrt{3} - 3)} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Câu 7:

Rút gọn biểu thức $P = \frac{x - 2}{x + 2 \sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2},$ với x>0

Xem đáp án

$P = \frac{x - 2 - (\sqrt{x} + 2) + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}$ $= \frac{x - 4}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} .$

Câu 8:

Không sử dụng máy tính cầm tay

Tính: $\sqrt{18} - 2 \sqrt{2} + \frac{5}{\sqrt{2}} .$

Xem đáp án

Tính: $\sqrt{18} - 2 \sqrt{2} + \frac{5}{\sqrt{2}}$ $= \sqrt{9.2} - 2 \sqrt{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

$= 3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ $= (3 - 2 + \frac{5}{2}) . \sqrt{2}$ $= \frac{7 \sqrt{2}}{2} .$

Vậy $\sqrt{18} - 2 \sqrt{2} + \frac{5}{\sqrt{2}}$ $= \frac{7 \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 9:

Rút gọn các biểu thức sau

$A = 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{12} - \sqrt{27}$

Xem đáp án

$A = 3 \sqrt{3} + 2 \sqrt{12} - \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$

Câu 10:

Rút gọn các biểu thức sau:

$B = \sqrt{{(3 - \sqrt{5})}^{2}} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}}$

Xem đáp án

$B = \sqrt{{(3 - \sqrt{5})}^{2}} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}} = |3 - \sqrt{5}| + \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}$

$= (3 - \sqrt{5}) + |\sqrt{5} - 1| = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 = 2$

Câu 11:

Cho $A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ ; $B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4 \sqrt{x}}{x - 4}$

a) Tính A khi x=9

Xem đáp án

a) Khi x=9: ta được $A = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9} - 2} = 3$ .

Câu 12:

b) Thu gọn T=A-B

Xem đáp án

a) Điều kiện : $x \geq 0$ , $x \neq 4$

$T = A - B = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} - (\frac{2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{4 \sqrt{x}}{x - 4}) = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2) - 2. (\sqrt{x} - 2) - 4 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)}$

$= \frac{x + 2 \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} + 4 - 4 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - 4 \sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)}$

Câu 13:

c) Tìm x để T nguyên

Xem đáp án

c) $T = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 2 - 4}{\sqrt{x} + 2} = 1 - \frac{4}{\sqrt{x} + 2}$ .

T nguyên khi 4: $(\sqrt{x} + 2)$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 = \{\pm 1; \pm 2; \pm 4\}$

$\Rightarrow \sqrt{x} + 2 = 1$ (loại) hoặc $\sqrt{x} + 2 = - 1$ (loại) hoặc $\sqrt{x} + 2 = 2$ hoặc $\sqrt{x} + 2 = - 2$ (loại) hoặc $\sqrt{x} + 2 = 4$ hoặc $\sqrt{x} + 2 = - 4$ (loại)

$\Rightarrow x = 0$ hoặc x=4(loại).

Vậy x=0.

Câu 14:

1. Tính giá trị của biểu thức sau: $A = \sqrt{16} - \sqrt{9}$ , $B = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} .$

Xem đáp án

1. $A = \sqrt{16} - \sqrt{9}$ $= 4 - 3 = 1.$

$B = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = \frac{4}{4 - 3} = 4.$

Câu 15:

Cho biểu thức: $V = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}}$ với x>0, $x \neq 0.$

a) Rút gọn biểu thức V.

Xem đáp án

a) Rút gọn biểu thức V với x>0; $x \neq 0.$

$\begin{array}{l} V = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} \\ V = (\frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} + \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}) \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} \\ V = \frac{2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}} \\ V = \frac{2}{\sqrt{x} - 2} . \end{array}$

Câu 16:

b) Tìm giá trị của x để $V = \frac{1}{3} .$

Xem đáp án

b) $V = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x} - 2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 = 6 \Leftrightarrow x = 64$ (thỏa mãn đk)

Câu 17:

Cho biểu thức $A = 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{45} - \sqrt{500}$ và $B = \sqrt{20} .$ Tính tích A.B

Xem đáp án

$A = 2 \sqrt{5} + 3 \sqrt{45} - \sqrt{500} = 2 \sqrt{5} + 9 \sqrt{5} - 10 \sqrt{5} = \sqrt{5}$

$B = \sqrt{20} .$

$A . B = \sqrt{5} . \sqrt{20} = 10$

Câu 18:

Cho biểu thức $A = (\frac{4 \sqrt{y}}{2 + \sqrt{y}} + \frac{8 y}{4 - y}) : (\frac{\sqrt{y} - 1}{y - 2 \sqrt{y}} - \frac{2}{\sqrt{y}})$ , với y>0, $y \neq 4$ , $y \neq 9$ .

1. Rút gọn biểu thức A

Xem đáp án

Cho biểu thức: $A = (\frac{4 \sqrt{y}}{2 + \sqrt{y}} + \frac{8 y}{4 - y}) : (\frac{\sqrt{y} - 1}{y - 2 \sqrt{y}} - \frac{2}{\sqrt{y}})$ , với y>0, $y \neq 4$ , $y \neq 9$ .

1. Rút gọn biểu thức A. $A = \frac{4 \sqrt{y} (\sqrt{y} - 2) - 8 y}{(\sqrt{y} - 2) (\sqrt{y} + 2)} : (\frac{\sqrt{y} - 1}{\sqrt{y} (\sqrt{y} - 2)} - \frac{2}{\sqrt{y}})$

$= \frac{- 4 y - 8 \sqrt{y}}{(\sqrt{y} - 2) (\sqrt{y} + 2)} : \frac{\sqrt{y} - 1 - 2 (\sqrt{y} - 2)}{\sqrt{y} (\sqrt{y} - 2)}$

$= \frac{- 4 \sqrt{y} (\sqrt{y} + 2)}{(\sqrt{y} - 2) (\sqrt{y} + 2)} : \frac{- \sqrt{y} + 3}{\sqrt{y} (\sqrt{y} - 2)}$

$= \frac{- 4 \sqrt{y}}{(\sqrt{y} - 2)} . \frac{\sqrt{y} (\sqrt{y} - 2)}{- \sqrt{y} + 3}$

$= \frac{4 y}{\sqrt{y} - 3}$

(với y>0, $y \neq 4$ , $y \neq 9$ ).

Câu 19:

Tìm y để A=-2.

Xem đáp án

Tìm y để A=-2.

$A = - 2 \Leftrightarrow \frac{4 y}{\sqrt{y} - 3} = - 2$

$\Leftrightarrow 4 y = - 2 (\sqrt{y} - 3)$

$\Leftrightarrow 4 y + 2 \sqrt{y} - 6 = 0$

Đặt $\sqrt{y} = t > 0$ ta có phương trình:

$4 t^{2} + 2 t - 6 = 0$

Ta có: $a + b + c = 0$ nên phương trình có hai nghiệm:

$t_{1} = 1$ (thỏa mãn đk)

$t_{2} = - 6$ (không thỏa mãn điều kiện)

Với t=1, ta có: y=1 (thỏa mãn đk)

Vậy: $A = - 2 \Leftrightarrow y = 1$

Câu 20:

Thực hiện phép tính: $21 - \sqrt{16} . \sqrt{25}$ ;

Xem đáp án

$21 - \sqrt{16} . \sqrt{25} = 21 - 4.5 = 21 - 20 = 1$

Câu 21:

Cho biểu thức $P = (1 + \frac{1}{\sqrt{x}}) . (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1})$ , $(x > 0, x \neq 1)$ . Rút gọn biểu thức P và tìm các giá trị của x để P>1.

Xem đáp án

$P = (1 + \frac{1}{\sqrt{x}}) . (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2}{x - 1})$

$\begin{array}{l} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1 - 2}{x - 1} \\ = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2 (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{2}{\sqrt{x}} \end{array}$

Để P>1 thì:

$\frac{2}{\sqrt{x}} > 1 \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}} - 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}} > 0$

Với x>0, $x \neq 1$ ta có: $\sqrt{x} > 0$ thì $2 - \sqrt{x} > 0 \Leftrightarrow x < 4$

Kết hợp với điều kiện x>0, $x \neq 1$ ta được $0 < x < 4$ , $x \neq 1$ thoả mãn yêu cầu bài toán.

Câu 22:

Thực hiện phép tính: $21 - \sqrt{16} . \sqrt{25}$

Xem đáp án

$21 - \sqrt{16} . \sqrt{25} = 21 - 4.5 = 21 - 20 = 1$

Câu 23:

Rút gọn biểu thức $\sqrt{4 x} + \sqrt{9 x} - \sqrt{16 x}$ với $x \geq 0$ .

Xem đáp án

Với

x \geq 0

ta có:

\sqrt{4 x} + \sqrt{9 x} - \sqrt{16 x} = 2 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} - 4 \sqrt{x} = \sqrt{x}

.

Câu 24:

Tìm x để biểu thức

A = \sqrt{5 - 3 x}

có nghĩa

Xem đáp án

Biểu thức A có nghĩa khi

5 - 3 x \geq 0 \Leftrightarrow 3 x \leq 5 \Leftrightarrow x \leq \frac{5}{3}

Câu 25:

a) Tìm x để biểu thức $A = \sqrt{x - 1}$ có nghĩa.

Xem đáp án

A có nghĩa khi và chỉ khi $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$

Vậy $x \geq 1$ thì A có nghĩa.

Câu 26:

Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của biểu thức

B = \sqrt{3^{2} .2} + \sqrt{2^{3}} - \sqrt{5^{2} .2}

.

Xem đáp án

$B = \sqrt{3^{2} .2} + \sqrt{2^{3}} - \sqrt{5^{2} .2} = 3 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2} .2} - \sqrt{5^{2} .2} = 3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} = (3 + 2 - 5) \sqrt{2} = 0$

Câu 27:

Rút gọn biểu thức $C = \frac{a - 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{a \sqrt{a} - 1}{a - 1}$ với $a \geq 0$ và $a \neq 1$

Xem đáp án

$C = \frac{a - 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{a \sqrt{a} - 1}{a - 1} = \frac{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} - 1} - \frac{{(\sqrt{a})}^{3} - 1^{3}}{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)}$

$\begin{array}{l} = \sqrt{a} + 1 - \frac{(\sqrt{a} - 1) (a + \sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)} = \sqrt{a} + 1 - \frac{a + \sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{a + 2 \sqrt{a} + 1 - a - \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} \\ = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)}{a - 1} = \frac{a - \sqrt{a}}{a - 1} \end{array}$

Câu 28:

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{\sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}}{4} + \frac{1}{\sqrt{5} - 1}$

Xem đáp án

$A = \frac{\sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}}{4} + \frac{1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} + \frac{\sqrt{5} + 1}{(\sqrt{5} - 1) (\sqrt{5} + 1)} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4} + \frac{\sqrt{5} + 1}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

Câu 29:

Cho a>0 và

a \neq 4

. Rút gọn biểu thức sau:

T = (\frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a} + 2} - \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} - 2}) . (\sqrt{a} - \frac{4}{\sqrt{a}})

Xem đáp án

$T = (\frac{\sqrt{a} - 2}{\sqrt{a} + 2} - \frac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} - 2}) . (\sqrt{a} - \frac{4}{\sqrt{a}})$

Với điều kiện đã cho ta có

$T = \frac{(\sqrt{a} - 2) (\sqrt{a} - 2) - (\sqrt{a} + 2) (\sqrt{a} + 2)}{(\sqrt{a} + 2) (\sqrt{a} - 2)} . \frac{a - 4}{\sqrt{a}} = \frac{(a - 4 \sqrt{a} + 4) - (a + 4 \sqrt{a} + 4)}{a - 4} . \frac{a - 4}{\sqrt{a}} = \frac{- 8 \sqrt{a}}{\sqrt{a}} = - 8$

Câu 30:

Rút gọn biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}) (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})$ với x>0, $x \neq 1$

Xem đáp án

Với x>0, $x \neq 1$ , ta có

$P = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) + \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} . \frac{x - 1}{\sqrt{x}} = \frac{x - \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{x - 1} . \frac{x - 1}{\sqrt{x}} = \frac{2 x}{\sqrt{x}} = 2 \sqrt{x}$

Vậy với x>0, $x \neq 1$ thì $P = 2 \sqrt{x}$

Câu 31:

Phân tích $5 x + 7 \sqrt{x y} - 6 y + \sqrt{x} + 2 \sqrt{y}$ thành nhân tử với x, y là các số không âm.

Xem đáp án

Với $x, y \geq 0$ ta có $5 x + 7 \sqrt{x y} - 6 y + \sqrt{x} + 2 \sqrt{y}$

$= 5 \sqrt{x} (\sqrt{x} + 2 \sqrt{y}) - 3 \sqrt{y} (\sqrt{x} + 2 \sqrt{y}) + (\sqrt{x} + 2 \sqrt{y})$

$= (\sqrt{x} + 2 \sqrt{y}) (5 \sqrt{x} - 3 \sqrt{y} + 1)$

Vậy với $x, y \geq 0$ thì $5 x + 7 \sqrt{x y} - 6 y + \sqrt{x} + 2 \sqrt{y} = (\sqrt{x} + 2 \sqrt{y}) (5 \sqrt{x} - 3 \sqrt{y} + 1)$

Câu 32:

Cho biểu thức

B = (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}})

với

0 < x \neq 1.

Rút gọn biểu thức B và tìm x nguyên dương khác 1 để

B \geq \frac{1}{2} .

Xem đáp án

Ta có

$B = (\frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1}) (\frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}})$

$B = \frac{\sqrt{x} - 1 + \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} . \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

$B = \frac{2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} . \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

$B = \frac{2}{\sqrt{x} + 1} .$

$B \geq \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \geq \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \sqrt{x} + 1 \leq 4 \Leftrightarrow \sqrt{x} \leq 3 \Rightarrow x \leq 9.$

Vì $x \in ℕ,$ $x > 1$ , $\Rightarrow x \in \{2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} .$

Câu 33:

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $P = \sqrt{50} - \sqrt{2}$

Xem đáp án

$P = \sqrt{50} - \sqrt{2} = \sqrt{25.2} - \sqrt{2} = \sqrt{25} . \sqrt{2} - \sqrt{2}$

$= 5 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$

Câu 34:

b) $Q = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{1}{x - 4}$ với $x \geq 0, x \neq 4$

Xem đáp án

Với $x \geq 0, x \neq 4$ ta có: $Q = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{1}{x - 4} = \frac{2. \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} . (x - 4)$

$= \frac{2. \sqrt{x}}{(x - 4)} . (x - 4) = 2 \sqrt{x}$

Câu 35:

Rút gọn biểu thức:

P = (\frac{x - \sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x} - 2} - \frac{x}{x - 2 \sqrt{x}}) : \frac{1 - \sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}}

với

x > 0; x \neq 1; x \neq 4

Xem đáp án

$P = (\frac{x - \sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x} - 2} - \frac{x}{x - 2 \sqrt{x}}) : \frac{1 - \sqrt{x}}{2 - \sqrt{x}} v ớ i x > 0; x \neq 1; x \neq 4 . = (\frac{x - \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}) . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} = (\frac{x - \sqrt{x} + 2 - \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)}) . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{- 2 \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 2)} . \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{- 2}{\sqrt{x} + 1}$

Câu 36:

Cho hai biểu thức $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 5}$ và $B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{x - 25}$ với $x \geq 0;$ $x \neq 25$

1) Tính giá trị biểu thức A khi x=9.

Xem đáp án

Thay x=9 (tmđk) vào A $\Rightarrow A = \frac{- 5}{2}$

Với $x \geq 0$ ; $x \neq 25$

$B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 5) (\sqrt{x} + 5)}$

$= \frac{3 (\sqrt{x} - 5) + 20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} + 5)} = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)}$

$= \frac{1}{\sqrt{x} - 5}$

Vậy: Với

x \geq 0, x \neq 25

thì

B = \frac{1}{\sqrt{x} - 5}

Câu 37:

Chứng minh rằng $B = \frac{1}{\sqrt{x} - 5}$

Xem đáp án

$B = \frac{3}{\sqrt{x} + 5} + \frac{20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 5) (\sqrt{x} + 5)} = \frac{3 (\sqrt{x} - 5) + 20 - 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} + 5)} = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 5}$

Câu 38:

Tìm tất cả các giá trị của x để $A = B . |x - 4|$

Xem đáp án

Với $x \geq 0, x \neq 25$

$\begin{array}{l} A = B . |x - 4| \\ .... \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 = |x - 4| \end{array}$

TH1

$\begin{array}{l} \sqrt{x} + 2 = x - 4 \Leftrightarrow x - \sqrt{x} - 6 = 0 \\ \Leftrightarrow .... \Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{x} = 3 (t / m) \\ \sqrt{x} = - 2 (l o a i) \end{matrix} \end{array}$

$\Rightarrow x = 9$

TH2

$\begin{array}{l} \sqrt{x} + 2 = 4 - x \Leftrightarrow x + \sqrt{x} - 2 = 0 \\ \Leftrightarrow .... \Leftrightarrow [\begin{matrix} \sqrt{x} = 1 (t / m) \\ \sqrt{x} = - 2 (l o a i) \end{matrix} \end{array}$

$\Rightarrow x = 1 V ậ y : x = 1 v à x = 9 t h ì A = B . |x - 4|$

Câu 39:

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$

Xem đáp án

$A = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}} + \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}} + \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}} = 6$

Câu 40:

Tính giá trị biểu thức sau:

a) $A = 3 \sqrt{8} - 2 \sqrt{18} + 4 \sqrt{72}$

Xem đáp án

a) $A = 3.2 \sqrt{2} - 2.3 \sqrt{2} + 4.6 \sqrt{2} = 24 \sqrt{2}$ (bấm máy 0.25)

Câu 41:

$B = \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}} - \sqrt{{(1 + \sqrt{5})}^{2}}$

Xem đáp án

$B = \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}} - \sqrt{{(1 + \sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} - \sqrt{{(1 + \sqrt{5})}^{2}} = |\sqrt{5} - 1| - |1 + \sqrt{5}|$

Câu 42:

Cho hai biểu thức:

$A = 2 \sqrt{8} - \sqrt{50} + \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}}$ ;

$B = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}) \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$ (với $x > 0; x \neq 1$ )

a) Rút gọn các biểu thức A, B;

Xem đáp án

$A = 2 \sqrt{8} - \sqrt{50} + \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}} = 4 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} + |\sqrt{2} + 1| = - \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1 = 1 (d o \sqrt{2} + 1 > 0) B = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}) \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$ (với $x > 0; x \neq 1$ ).

$= \frac{x - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Để giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B thì $1 = 2. \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \sqrt{x} = 2$ $\Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy x=4 thì giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B.

Câu 43:

Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức A gấp hai lần giá trị biểu thức B.

Xem đáp án

Để giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B thì $1 = 2. \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \sqrt{x} = 2$ $\Leftrightarrow x = 4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x = 4$ thì giá trị biểu thức A bằng hai lần giá trị biểu thức B.

Câu 44:

Cho biểu thức $A = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x}{\sqrt{x} - x}$ với x>0 và $x \neq 1$ .

a) Rút gọn biểu thức A.

Xem đáp án

a) Rút gọn biểu thức A.

$\begin{matrix} A = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x}{\sqrt{x} - x} \\ = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{x}{\sqrt{x} (1 - \sqrt{x})} \\ = \frac{1 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1) (1 - \sqrt{x})} + \frac{\sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}{(1 - \sqrt{x}) (\sqrt{x} + 1)} \\ = \frac{1 - \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}{1 - x} \\ = \frac{1 + x}{1 - x} \end{matrix}$

Câu 45:

Tìm x để A=2017

Xem đáp án

Tìm x để A=2017

A=2017 $\Leftrightarrow \frac{1 + x}{1 - x} = 2017 \Leftrightarrow 1 + x = 2017 - 2017 x \Leftrightarrow 2018 x = 2016 \Leftrightarrow x = \frac{1008}{1009}$

Câu 46:

$\sqrt{\sqrt{9} + 1} + \sqrt{\sqrt{16} + 5}$

Xem đáp án

$\sqrt{\sqrt{9} + 1} + \sqrt{\sqrt{16} + 5} = \sqrt{3 + 1} + \sqrt{4 + 5} = 2 + 3 = 5$

Câu 47:

$\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}} + |\sqrt{3} - 2|$

Xem đáp án

$\sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{3})}^{2}} + |\sqrt{3} - 2| = |\sqrt{2} - 1| + |\sqrt{2} - \sqrt{3}| + |\sqrt{3} - 2|$

$= \sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} = 1$

Câu 48:

Cho x>0, chứng minh $P = {(\frac{x}{x + 3 \sqrt{x}} + \frac{3}{3 + \sqrt{x}})}^{2} - \frac{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}{6 - 2 \sqrt{5}}$ không phụ thuộc vào x.

Xem đáp án

$P = {(\frac{x}{x + 3 \sqrt{x}} + \frac{3}{3 + \sqrt{x}})}^{2} - \frac{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}{6 - 2 \sqrt{5}}$

$\begin{array}{l} P = {(\frac{x}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 3)} + \frac{3}{3 + \sqrt{x}})}^{2} - \frac{5 - 2 \sqrt{5} + 1}{6 - 2 \sqrt{5}} \\ P = {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{3}{3 + \sqrt{x}})}^{2} - \frac{6 - 2 \sqrt{5}}{6 - 2 \sqrt{5}} \\ P = {(\frac{\sqrt{x} + 3}{3 + \sqrt{x}})}^{2} - 1 \\ P = 1^{2} - 1 = 0 \end{array}$

Vậy với x>0, P=0 không phụ thuộc giá trị của x.

Câu 49:

Tính giá trị các biểu thức: $A = \sqrt{81} + \sqrt{25}$ ; $B = \sqrt{{(\sqrt{7} + 1)}^{2}} - \sqrt{7}$ .

Xem đáp án

Ta có $A = \sqrt{81} + \sqrt{25}$ =9+5=14

$B = \sqrt{{(\sqrt{7} + 1)}^{2}} - \sqrt{7}$ $= |\sqrt{7} + 1| - \sqrt{7}$ $= \sqrt{7} + 1 - \sqrt{7}$ =1

Câu 50:

Cho biểu thức $P = \frac{3}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 5}{x - 1}$ với $x \geq 0, x \neq 1.$

a) Rút gọn biểu thức P.

Xem đáp án

Ta có: $P = \frac{3}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} - 5}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{3 (\sqrt{x} - 1) - (\sqrt{x} + 1) - (\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{3 \sqrt{x} - 3 - \sqrt{x} - 1 - \sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Vậy, với điều kiện của bài toán thì $P = \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

Câu 51:

b) Tính giá trị của biểu thức P khi $x = 24 - 16 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Tính giá trị của biểu thức P khi $x = 24 - 16 \sqrt{2}$ .

Ta có $x = 24 - 16 \sqrt{2} = 4^{2} - 2.4.2 \sqrt{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2} = {(4 - 2 \sqrt{2})}^{2}$ .

Suy ra $\sqrt{x} = \sqrt{{(4 - 2 \sqrt{2})}^{2}} = |4 - 2 \sqrt{2}| = 4 - 2 \sqrt{2}$ .

Khi đó, ta có $P = \frac{1}{4 - 2 \sqrt{2} - 1} = \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}} = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}} = \frac{3 + 2 \sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2 \sqrt{2}$ .

Câu 52:

Rút gọn các biểu thức:

A = 3 \sqrt{75} - 12 \sqrt{3} + \sqrt{12}

Xem đáp án

$A = 3 \sqrt{75} - 12 \sqrt{3} + \sqrt{12} = 3 \sqrt{25.3} - 12 \sqrt{3} + \sqrt{3.4} = 15 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

$= 5 \sqrt{3}$

Câu 53:

Rút gọn biểu thức: $B = \frac{x - 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x}}$ với $x \geq 0$ , $x \neq 1$

Xem đáp án

$B = \frac{x - 2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + x}{\sqrt{x}}$ với x>0, $x \neq 1$

= $\frac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{x}{\sqrt{x}}$

= $\sqrt{x} - 1 - 1 - \sqrt{x}$

= -2

Câu 54:

Cho biểu thức $P = \frac{1}{x^{2} - \sqrt{x}} : \frac{\sqrt{x} + 1}{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}$ (với x>0 và $x \neq 1$ )

Rút gọn biểu thức P.

Xem đáp án

Với x>0 và $x \neq 1$ .

$P = \frac{1}{x^{2} - \sqrt{x}} : \frac{\sqrt{x} + 1}{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} (x \sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{x \sqrt{x} + x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$

$= \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} \cdot \frac{\sqrt{x} (x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{x - 1}$ Vậy: Với x>0 và $x \neq 1$ thì P = $\frac{1}{x - 1}$

Câu 55:

Tìm các giá trị của x sao cho 3P=1+x.

Xem đáp án

Ta có:

3 P = 1 + x \Leftrightarrow \frac{3}{x - 1} = 1 + x \Leftrightarrow x^{2} - 1 = 3 \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = 2 (do x > 0; x \neq 1)

Câu 56:

Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:

P = (\frac{1}{1 - \sqrt{x}} - \frac{1}{1 + \sqrt{x}}) \frac{x - 1}{\sqrt{x}}

Xem đáp án

b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức:

$P = (\frac{1}{1 - \sqrt{x}} - \frac{1}{1 + \sqrt{x}}) \frac{x - 1}{\sqrt{x}}$ . ĐKXĐ: $\{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}$

= (\frac{1 + \sqrt{x} - 1 + \sqrt{x}}{(1 - \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})}) . \frac{x - 1}{\sqrt{x}}

= \frac{- 2 \sqrt{x}}{x - 1} . \frac{x - 1}{\sqrt{x}} = - 2

.

Câu 57:

Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt{3} (\sqrt{12} - \sqrt{3})$

Xem đáp án

$A = \sqrt{3} (\sqrt{12} - \sqrt{3}) = \sqrt{3} . \sqrt{12} - \sqrt{3} . \sqrt{3} = 6 - 3 = 3$

Câu 58:

Rút gọn biểu thức:

$A = (\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1}) : \frac{a - 1}{4 (a + 1)}$ . Với $a \geq 0; a \neq 1$

Xem đáp án

$A = (\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1}) : \frac{a - 1}{4 (a + 1)} = [\frac{(\sqrt{a} + 1) (\sqrt{a} + 1)}{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)} - \frac{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} - 1)}{(\sqrt{a} + 1) (\sqrt{a} - 1)}] : \frac{a - 1}{4 (a + 1)}$

$\Leftrightarrow A = [\frac{a + 2 \sqrt{a} + 1}{a - 1} - \frac{a - 2 \sqrt{a} + 1}{a - 1}] . \frac{4 (a + 1)}{a - 1} = \frac{2 \sqrt{a}}{a - 1} . \frac{4 (a + 1)}{a - 1} = \frac{8 (a + 1) \sqrt{a}}{{(a - 1)}^{2}} .$

Câu 59:

Thực hiện phép tính:

\sqrt{{(\sqrt{5} + 2)}^{2}} - \sqrt{5} .

Xem đáp án

$\sqrt{{(\sqrt{5} + 2)}^{2}} - \sqrt{5} = |\sqrt{5} + 2| - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5} = 2$

Câu 60:

Cho a là số thực dương lớn hơn 1 và

x = \sqrt{a + \sqrt{a^{2} - 1}} + \sqrt{a - \sqrt{a^{2} - 1}} .

Tính giá trị biểu thức $P = x^{3} - 2 x^{2} - 2 (a + 1) x + 4 a + 2021.$

Xem đáp án

Ta có: $x^{2} = 2 a + 2 \sqrt{a^{2} - (a^{2} - 1)} = 2 a + 2 \Rightarrow 4 a = 2 x^{2} - 4$

Ta có $P = x^{3} - 2 x^{2} - 2 (a + 1) x + 4 a + 2021 = x^{3} - 2 x^{2} - x^{2} . x + 2 x^{2} - 4 + 2021 = x^{3} - x^{3} + 2 x^{2} - 2 x^{2} + 2021 - 4 = 2017.$

Câu 61:

Rút gọn các biểu thức:

A = 10 - \sqrt{9}

Xem đáp án

$A = 10 - \sqrt{9} = 10 - 3 = 7$

Câu 62:

$B = \sqrt{4 x} + \sqrt{x} - \sqrt{9 x}$ với $x \geq 0$

Xem đáp án

$B = 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} = 0$

Câu 63:

Không sử dụng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức

A = \frac{2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{6}}{1 + \sqrt{18} - \sqrt{8}}

Xem đáp án

$2 \sqrt{2} + 2 + \sqrt{3} + \sqrt{6} = 2 (\sqrt{2} + 1) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{2}) = (\sqrt{2} + 1) (2 + \sqrt{3}) 1 + \sqrt{18} - \sqrt{8} = 1 + \sqrt{2} A = 2 + \sqrt{3}$

Câu 64:

Cho biểu thức: $B = \frac{3 \sqrt{x} - 21}{x - 9} + \frac{2}{\sqrt{x} - 3}$ , với $x \geq 0$ và $x \neq 9$

Rút gọn B và tìm x để B= $\frac{5}{6}$

Xem đáp án

$B = \frac{3 \sqrt{x} - 21 + 2 (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} (c h i c â n p h â n t í c h đ ư ợ c x - 9 = (\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)) = \frac{5 \sqrt{x} - 15}{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)} = \frac{5}{\sqrt{x} + 3} B = \frac{5}{6} \Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{x} + 3} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow \sqrt{x} = 3 \Leftrightarrow x = 9$

Đối chiếu điều kiện, x=9 không thỏa. Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn yêu cầu.

Câu 65:

Thu gọn các biểu thức sau:

$A = \sqrt{\frac{3 \sqrt{3} - 4}{2 \sqrt{3} + 1}} + \sqrt{\frac{\sqrt{3} + 4}{5 - 2 \sqrt{3}}}$

Xem đáp án

$A = \sqrt{\frac{3 \sqrt{3} - 4}{2 \sqrt{3} + 1}} + \sqrt{\frac{\sqrt{3} + 4}{5 - 2 \sqrt{3}}}$

$= \sqrt{\frac{(3 \sqrt{3} - 4) (2 \sqrt{3} - 1)}{11}} - \sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 4) (5 + 2 \sqrt{3})}{13}}$

$= \sqrt{\frac{22 - 11 \sqrt{3}}{11}} - \sqrt{\frac{26 + 13 \sqrt{3}}{13}}$ $= \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

$= \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}})$ $= \frac{1}{\sqrt{2}} [\sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}]$ $= \frac{1}{\sqrt{2}} [\sqrt{3} - 1 - (\sqrt{3} + 1)]$ $= - \sqrt{2}$

Câu 66:

$B = \frac{x \sqrt{x} - 2 x + 28}{x - 3 \sqrt{x} - 4} - \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} + 8}{4 - \sqrt{x}}$ ( $x \geq 0, x \neq 16$ )

Xem đáp án

$A = \sqrt{\frac{3 \sqrt{3} - 4}{2 \sqrt{3} + 1}} + \sqrt{\frac{\sqrt{3} + 4}{5 - 2 \sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{(3 \sqrt{3} - 4) (2 \sqrt{3} - 1)}{11}} - \sqrt{\frac{(\sqrt{3} + 4) (5 + 2 \sqrt{3})}{13}} = \sqrt{\frac{22 - 11 \sqrt{3}}{11}} - \sqrt{\frac{26 + 13 \sqrt{3}}{13}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}} - \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} [\sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}}] = \frac{1}{\sqrt{2}} [\sqrt{3} - 1 - (\sqrt{3} + 1)] = - \sqrt{2}$

Câu 67:

Thu gọn các biểu thức sau:

$A = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{3}{\sqrt{x} - 3}) . \frac{\sqrt{x} + 3}{x + 9}$ với $x \geq 0; x \neq 9$

Xem đáp án

Với

x \geq 0

;

x \neq 9

ta có :

A = [\frac{x - 3 \sqrt{x} + 3 \sqrt{x} + 9}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}] . \frac{\sqrt{x} + 3}{x + 9} = \frac{x + 9}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} . \frac{\sqrt{x} + 3}{x + 9} = \frac{1}{\sqrt{x} - 3}

Câu 68:

$B = 21 {(\sqrt{2 + \sqrt{3}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} - 6 {(\sqrt{2 - \sqrt{3}} + \sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{2} - 15 \sqrt{15}$

Xem đáp án

$B = \frac{21}{2} {(\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{6 - 2 \sqrt{5}})}^{2} - 3 {(\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} + \sqrt{6 + 2 \sqrt{5}})}^{2} - 15 \sqrt{15} = \frac{21}{2} {(\sqrt{3} + 1 + \sqrt{5} - 1)}^{2} - 3 {(\sqrt{3} - 1 + \sqrt{5} + 1)}^{2} - 15 \sqrt{15} = \frac{15}{2} {(\sqrt{3} + \sqrt{5})}^{2} - 15 \sqrt{15} = 60$

Câu 69:

Rút gọn biểu thức:

T = \sqrt{36} + \sqrt{9} - \sqrt{49}

Xem đáp án

Ta có: $T = \sqrt{6^{2}} + \sqrt{3^{2}} - \sqrt{7^{2}} T = 6 + 3 - 7 T = 2$

Vậy T=2

Câu 70:

Rút gọn:

A = \sqrt{8} - \sqrt{2}

Xem đáp án

$A = \sqrt{8} - \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$

Câu 71:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

B = x^{2} - 3 x + 2

Xem đáp án

Ta có $B = x^{2} - 3 x + 2 = x^{2} - x - 2 x + 2 = x (x - 1) - 2 (x - 1) = (x - 1) (x - 2) B = (x - 1) (x - 2)$

Câu 72:

Thu gọn biểu thức: $A = (\sqrt{3} + 1) \sqrt{\frac{14 - 6 \sqrt{3}}{5 + \sqrt{3}}}$

Xem đáp án

$A = (\sqrt{3} + 1) \sqrt{\frac{14 - 6 \sqrt{3}}{5 + \sqrt{3}}} = (\sqrt{3} + 1) \sqrt{\frac{(14 - 6 \sqrt{3}) (5 - \sqrt{3})}{5^{2} - 3}} = (\sqrt{3} + 1) \sqrt{\frac{88 - 44 \sqrt{3}}{22}}$

$= (\sqrt{3} + 1) \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = (\sqrt{3} + 1) \sqrt{{(\sqrt{3} - 1)}^{2}} = (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2$

Câu 73:

Rút gọn biểu thức: $A = \sqrt{3} + \sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}} + 6$

Xem đáp án

$A = \sqrt{3} + \sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}} + 6 = \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} + 6 = 8$

Câu 74:

Tính giá trị biểu thức

T = \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}

Xem đáp án

$T = \sqrt{\frac{1}{2}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{10} - \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{2} (\sqrt{5} - 1)} - \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - |\sqrt{2} - 1| = \frac{2}{\sqrt{2}} - |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)$

(vì $\sqrt{2} > 1$ )

$= \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1$ =1

Câu 75:

Rút gọn biểu thức $P (a) = (\frac{1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{1}{\sqrt{a} + 1}) : \frac{a + 1}{a - 1}$ (với $a > 0, a \neq 1$ )

Xem đáp án

Với $a > 0, a \neq 1$ $P = \frac{\sqrt{a} + 1 + \sqrt{a} - 1}{a - 1} : \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{2 \sqrt{a}}{a - 1} . \frac{a - 1}{a + 1} = \frac{2 \sqrt{a}}{a + 1} .$

Câu 76:

Tính giá trị của biểu thức: $A = \sqrt{27} + 3 \sqrt{12} - \sqrt{48}$

Xem đáp án

$A = \sqrt{27} + 3 \sqrt{12} - \sqrt{48} = 3 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} = 5 \sqrt{3}$

Câu 77:

Chứng minh rằng $(\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{2 + \sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{x} + 1}) \frac{x - \sqrt{x} + x \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} = - 2$ với x>0; $x \neq 1$

Xem đáp án

Đặt $A = (\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 1} - \frac{2 + \sqrt{x}}{x + 2 \sqrt{x} + 1}) \frac{x - \sqrt{x} + x \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

$\Leftrightarrow A = (\frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} - \frac{2 + \sqrt{x}}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}}) \frac{x - 1 + \sqrt{x} (x - 1)}{\sqrt{x}}$

$\Leftrightarrow A = [\frac{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 1) - (2 + \sqrt{x}) (\sqrt{x} - 1)}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} (\sqrt{x} - 1)}] \frac{(x - 1) (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}}$

$\Leftrightarrow A = [\frac{x - 2 \sqrt{x} + \sqrt{x} - 2 - (x + 2 \sqrt{x} - \sqrt{x} - 2)}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} (\sqrt{x} - 1)}] \frac{(x - 1) (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}}$

$\Leftrightarrow A = [\frac{- 2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1) (x - 1)}] \frac{(x - 1) (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}}$

$\Leftrightarrow A = - 2$