14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Trắc nghiệm Hàm số có đáp án

Câu 1:

Tìm m để đường thẳng (d): $y = (m - 1) x + \frac{1}{2} m^{2} + m$ đi qua điểm

Chứng minh rằng parabol (P) luôn cắt đường thẳng d tịa hai điểm phân biệt A và B. Gọi

x_{1}; x_{2}

là hoàng độ hai điểm A, B. Tìm m sao cho

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 x_{1} x_{2} > 2019

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của P và d là:

$\frac{1}{2} x^{2} = (m - 1) x + \frac{1}{2} m^{2} + m$ $\Leftrightarrow \frac{1}{2} x^{2} - (m - 1) x - \frac{1}{2} m^{2} - m = 0 (1)$

Ta có

Δ = {[- (m - 1)]}^{2} - 4. \frac{1}{2} . (- \frac{1}{2} m^{2} - m)

Δ = m^{2} - 2 m + 1 + m^{2} + 2 m

Δ = 2 m^{2} + 1 > 0

với mọi m

Suy ra phương trình 1 luôn có hai nghiệm phân biết với mọi m

Nên P luôn cắt d tại hai điểm phân biệt A và B

Theo vi-ét ta có:

\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) \\ x_{1} . x_{2} = - m^{2} - 2 m \end{matrix}

Theo đề ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 x_{1} x_{2} > 2019$ $\Leftrightarrow {[2 (m - 1)]}^{2} + 4 (- m^{2} - 2 m) - 2019 > 0$ $\Leftrightarrow 4 m^{2} - 8 m + 4 - 4 m^{2} - 8 m - 2019 > 0$ $\Leftrightarrow - 16 m - 2015 > 0$ $\Leftrightarrow m < \frac{2015}{16}$

Câu 2:

Cho hàm số $y = \frac{1}{2} x^{2}$ có dồ thị $(P) : y = x - 2 m .$ Vẽ đồ thị (P) tìm tất cả các giá trị của m sao cho (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng – 1

Xem đáp án

Vì (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ là -1 $\Rightarrow x = - 1; y = \frac{1}{2} . {(- 1)}^{2} = \frac{1}{2}$

$t h a y x = - 1; y = \frac{1}{2} t a c ó : \frac{1}{2} = - 1 - 2 m \Leftrightarrow m = \frac{- 3}{4}$

Vậy $m = \frac{- 3}{4}$ là giá trị cần tìm.

Câu 3:

Vẽ đồ thị của các hàm số $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ và $y = x - 4$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Gọi A và B là các giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, với O là gốc tọa độ ( đơn vị đo trên các trục tọa độ là centimét).

Xem đáp án

Vẽ đồ thị hàm số: .

x	-4	-2		0	2	4
y	-8	-2		0	-2	-8

Khi đó đồ thị hàm số có hình dạng là 1 Parabol và đi qua các điểm (-4;-8); (-2;-2) ; (0;0) ; (2;-2); 4;-8).

Vẽ đồ thị của các hàm số y=1/2x^2 và y=x-4 trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Gọi A và B là các giao điểm của đồ thị hai hàm số trên. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB, với O là gốc tọa độ ( đơn vị đo trên các trục tọa độ là centimét). (ảnh 3)

+) Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số và là:

Câu 4:

Trong hệ tọa độ cho Parabol $y = x^{2} (P)$ và đường thẳng (d) có phương trình: $y = (m - 1) x + m^{2} - 2 m + 3 (d)$ .

Chứng minh với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Giả sử cắt (P) tại hai điểm phân biệt A,B . Tìm m để tam giác OAB cân tại O. Khi đó tính diện tích tam giác OAB.

Xem đáp án

Xét PT hoành độ giao điểm: $x^{2} = (m - 1) x + m^{2} - 2 m + 3 \Leftrightarrow x^{2} - (m - 1) x - (m^{2} - 2 m + 3) = 0 (*)$

Ta có $m^{2} - 2 m + 3 = {(m - 1)}^{2} + 2 > 0 (\forall m) \Rightarrow$ Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm trái dấu

thì luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

Để tam giác AOB cân tại O thì Oy là đường trung trực của đoạn thẳng AB hay đường thẳng d song song Ox khi đó: $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Với đường thẳng d có phương trình: , tọa độ 2 giao điểm A, B là $(\pm \sqrt{2}; 2)$ . Khi đó khoảng cách từ O đến AB là . Độ dài đoạn thẳng $A B = 2 |x_{1}| = 2 \sqrt{2}$

Diện tích tam giác AOB là: $S_{Δ A O B} = \frac{1}{2} A B . h = \frac{1}{2} .2 \sqrt{2} .2 = 2 \sqrt{2}$

Vậy để tam giác AOB cân tại O thì m=1. Khi đó $S_{Δ A O B} = 2 \sqrt{2}$ (đvdt)

Câu 5:

Cho hàm số: $y = f (x)$ với $f (x)$ là một biểu thức đại số xác định với $\forall x \in ℝ^{*}$ .

Biết rằng: $f (x) + 3 f (\frac{1}{x}) = x^{2} (\forall x \neq 0)$ . Tính $f (2)$ .

Xem đáp án

Vì $f (x) + 3 f (\frac{1}{x}) = x^{2} (\forall x \neq 0)$

Nên ta có:

\{\begin{matrix} f (2) + 3 f (\frac{1}{2}) = 4 \\ f (\frac{1}{2}) + 3 f (2) = \frac{1}{4} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} f (2) + 3 f (\frac{1}{2}) = 4 \\ 3 f (\frac{1}{2}) + 9 f (2) = \frac{3}{4} \end{matrix}

\Rightarrow 8 f (2) = - \frac{13}{4} \Rightarrow f (2) = - \frac{13}{32}

Câu 6:

a)

Cho hai hàm số $y = \frac{1}{4} x^{2}$ và $y = x - 1$ có đồ thị lần lượt là (P) và (d)

a) Vẽ hai đồ thị (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ.

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị (P) và (d).

Xem đáp án

Cho hai hàm số y=1/4x^2 và y=x+1 có đồ thị lần lượt là (P) và (d). a) Vẽ hai đồ thị (P) và (d) trên cùng mặt phẳng tọa độ. (ảnh 1)

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị (P) và (d).

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: $\frac{1}{4} x^{2} = x - 1 \Leftrightarrow x^{2} = 4 x - 4 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 4 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2$

Thay x=2 vào $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ta được $y = \frac{1}{4} {.2}^{2} = 1$

Vậy tọa độ giao điểm của hai đồ thị (P) và (d) là (2;1)

Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(d) : y = - 3 x + b$ và parabol $(P) : y = 2 x^{2}$

a) Xác định hệ số b để (d) đi qua điểm $A (0; - 1)$

b) Với b=-1 , tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) bằng phương pháp đại số

Xem đáp án

a) Vì $(d) : y = - 3 x + b$ đi qua $A (0; - 1)$ $\Rightarrow 1 = - 3.0 + b \Leftrightarrow b = 1$

a) Với $b = - 1$ ta có $(d) : y = - 3 x - 1$

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là $2 x^{2} = - 3 x - 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Phương trình có dạng $a - b + c = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \Rightarrow y = 2 \\ x = \frac{- 1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \end{array}$

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) là $(- 1; 2) (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$

Câu 8:

Cho hai đường thẳng $(d_{1}) : y = x + 1$ và $(d_{2}) : y = m x + 2 - m$ (với m là tham số, ).

Gọi $A (x_{0}; y_{0})$ là giao điểm của $(d_{1})$ với $(d_{2})$ . Tính giá trị của biểu thức $T = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$

Xem đáp án

Ta có phương trình hoành độ giao điểm là $x + 1 = m x + 2 - m$

$\Leftrightarrow x - m x = 1 - m$ $\Leftrightarrow x (1 - m) = 1 - m$

$\Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = 1 + 1 = 2$

Nên $T = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$

Câu 9:

Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y = mx² đi qua điểm A(2;4).

Xem đáp án

Vì hàm số ${y=mx}^{2}$ đi qua điểm $A (2; 4) \Rightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 4 \end{cases} .$

Thay vào hàm số ta có $4 = m {.2}^{2} \Rightarrow m = 1$

Vậy $m = 1$

Câu 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho parabol (P) có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng (d) có phương trình $y = 2 (m - 1) x + m + 1$ (với là tham số).

Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của .

Tìm các giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 3 x_{2} - 8 = 0$ .

Xem đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của và :

$x^{2} = 2 (m - 1) x + m + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 2 (m - 1) x - m - 1 = 0$ (1)

Số nghiệm phương trình (1) là số giao điểm của và .

Ta có $Δ' = {(m - 1)}^{2} - (- m - 1) = m^{2} - m + 2$ .

Ta có $m^{2} - m + 2 = {(m - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{7}{4} > 0$ với mọi giá trị của .

Suy ra $Δ' > 0$ với mọi giá trị của .

phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi hay luôn cắt tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} + 3 x_{2} - 8 = 0$ .

Theo câu a), ta có là hai nghiệm phương trình (1) nên theo Viet: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 (m - 1) = 2 m - 2 \\ x_{1} x_{2} = - m - 1 \end{cases}$

Kết hợp giả thiết ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 2 m - 2 (2) \\ x_{1} x_{2} = - m - 1 (3) \\ x_{1} + 3 x_{2} - 8 = 0 (4) \end{cases}$

Từ (2) và (4), tính được $x_{1} = 3 m - 7; x_{2} = - m + 5$

Thay vào (3), tính được $(5 - m) (3 m - 7) = - m - 1 \Leftrightarrow 3 m^{2} - 23 m + 34 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = \frac{17}{3} \end{array}$ .

Vậy $m = 2; m = \frac{17}{3}$ thỏa mãn đề bài.

Câu 11:

Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng (dm):

(d_{m}) : y = (m^{2} + m - 4) x + m - 7

song song với đường thẳng (d): y=2x-5

Xem đáp án

$\begin{array}{l} (d_{m}) / / d \{\begin{cases} m^{2} + m - 4 = 2 \\ m - 7 \neq - 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + m - 6 = 0 \\ m \neq 2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 3 \end{array} \\ m \neq 2 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 3 \\ m = - 3 \end{array}$

Câu 12:

Cho hàm số $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ có đồ thị (P) và đường thẳng $(d) : y = 3 - 4 x$ . Lập phương trình đường thẳng $(Δ)$ song song với (d) và cắt (P) tại điểm M có hoành độ bằng 2

Xem đáp án

Gọi $(Δ)$ có phương trình $y = a x + b (a \neq 0)$

$\begin{array}{l} Vì (Δ) / / (d) \Rightarrow a = - 4; b \neq 3 \end{array}$

Vì (d) căt (P) tại điểm có hoành độ là 2 $\Rightarrow \{\begin{cases} y = - \frac{1}{2} {.2}^{2} = - 2 \\ x = 2 \end{cases}$

\begin{array}{l} t h a y v à o (Δ) \Rightarrow - 2 = - 4.2 + b \Leftrightarrow b = 6 (t m) \\ Vậy (Δ) c ầ n l ậ p : y = - 4 x + 6 \end{array}

Câu 13:

Cho đường thẳng

d : y = (m - 1) x + n .

Tìm các giá trị của để đường thẳng d đi qua điểm

A (1, - 1)

và có hệ số góc bằng -3

Xem đáp án

Đường thẳng đi qua điểm $A (1, - 1)$ nên $- 1 = m - 1 + n \Leftrightarrow m + n = 0 (1)$

Đường thẳng d có hệ số góc bằng -3 nên $m - 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - 2 (2)$

Từ (1) và (2) ta được $m = - 2, n = 2.$

Câu 14:

Cho hai hàm số y = - x +2 và $y = x^{2}$ có đồ thị lần lượt là (d) và (P)

1) Vẽ (d) và (P) trên cùng một hệ trục tọa độ

2) Bằng phép toán tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P)

Xem đáp án

Vẽ (P) và (d) trên cùng trục tọa độ

+)Vẽ đồ thị hàm số (d): y = - x +2

x	0	2
y= - x + 2	2	0

+) Vẽ đồ thị hàm số (P): $y = x^{2}$

x	- 2	- 1	0	1	2
y=	4	1	0	1	4

1.) Bằng phép toán tìm tọa độ giao điểm (d) và (P)

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

$\begin{array}{l} - x + 2 = x^{2} \Leftrightarrow x^{2} + x - 2 = 0 \\ Δ = 1^{2} - 4.1. (- 2) = 9 > 0 \\ \Rightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2} = - 2 \Rightarrow y = 4 \\ x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{9}}{2} = 1 \Rightarrow y = 1 \end{array} \end{array}$

Vậy hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt $A (- 2; 4)$ và B(1;1)