7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 5: Cung chứa góc có đáp án

Câu 1:

Cho đường tròn (O), P là một điểm cố định nằm trong (O) nhưng không trùng với tâm O. Một đường thẳng d thay đổi qua P cắt (O) tại A và B. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn AB khi d quay quanh P.

Xem đáp án

Phần thuận: (Hình 1)

Nối OM. Vì M là trung điểm của AB nên $OM ⊥ AB \Rightarrow \hat{POM} = 90 °$ , tức là M luôn nhìn đoạn OP dưới một góc vuông. Vậy M luôn thuộc đường tròn đường kính OP.

Cho đường tròn (O) , P là một điểm cố định nằm trong (O) nhưng không trùng với tâm O . (ảnh 1)

Giới hạn: Theo chứng minh trên thì mọi điểm M thuộc quỹ tích đều thuộc đường tròn đường kính OP.

Vị trí M trùng O tương ứng với trường hợp d đi qua O.

Như vậy, quỹ tích là cả đường tròn đường kính OP.

Phần đảo: (Hình 2)

Lấy một điểm M' bất kì thuộc đường tròn đường kính OP (M' khác O). Nối OM'. Qua M' kẻ đường thẳng d' vuông góc với OM' cắt (O) tại A' và B'. Do góc $\hat{O M^{'} P} = 90 °$ nên d' đi qua P.

Vì tam giác OA'B' cân tại O và OM' vuông góc với A'B' nên M' là trung điểm của A'B'.

Vậy M' là một điểm thuộc quỹ tích.

Kết luận: Quỹ tích là đường tròn đường kính OP.

Chú ý: Nếu P là một điểm nằm ngoài đường tròn thì quỹ tích sẽ chỉ là phần đường tròn đường kính OP nằm bên trong (O). Như vậy, phần đảo và phần giới hạn có ý nghĩa nói chung không thể bỏ qua.

Câu 2:

Cho một đường tròn (O) và dây AB cố định, điểm C chuyển động trên cung lớn AB (C khác A và B). Chứng minh rằng tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC chuyển động trên một cung tròn cố định.

Xem đáp án

Cho một đường tròn (O) và dây AB cố định, điểm C chuyển động trên cung lớn AB ( C khác A và B ). (ảnh 1)

Vì dây AB cố định nên

\hat{A C B} = \frac{1}{2} s đ \overset{⏜}{A B}

không đổi.

Đặt $\hat{A C B} = α$ . Ta có:

$\hat{B A C} + \hat{A B C} + \hat{A C B} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác).

$\Rightarrow \hat{B A C} + \hat{A B C} = 180 ° - \hat{A C B} = 180 ° - α$ .

Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên AI, BI lần lượt là tia phân giác của hai góc A và B. Suy ra

$\hat{I A B} = \frac{1}{2} \hat{B A C}; \hat{I B A} = \frac{1}{2} \hat{A B C} \Rightarrow \hat{I A B} + \hat{I B A} = \frac{1}{2} (\hat{B A C} + \hat{A B C}) = 90 ° - \frac{α}{2}$

Lại có: $\hat{A I B} + \hat{I A B} + \hat{I B A} = 180 °$ (tổng ba góc trong một tam giác).

$\Rightarrow \hat{A I B} = 180 ° - (\hat{I A B} + \hat{I B A}) = 180 ° - (90 ° - \frac{α}{2}) = 90 ° + \frac{α}{2}$ không đổi.

Vì AB cố định, I thuộc nửa mặt phẳng chứa cung lớn AB có bờ là đường thẳng AB nên I luôn chuyển động trên cung chứa góc $90 ° + \frac{α}{2}$ dựng trên đoạn AB.

Câu 3:

Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB.

a) Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

Xem đáp án

a)

Cho nửa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nửa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D (ảnh 1)

Phần thuận: Ta có $\hat{A C B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow \hat{B C D} = 90 °$ , mà $C D = C B$ (giả thiết).

Suy ra $Δ B C D$ vuông cân tại C.

$\Rightarrow \hat{C D B} = 45 °$ hay $\hat{A D B} = 45 °$ .

Mặt khác AB cố định. Do đó khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB thì D chuyển động trên cung chứa góc $45 °$ dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

Giới hạn: Ta có dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB.

- Dây AC lớn nhất bằng đường kính của đường tròn. Khi C trùng với B khi đó D trùng với B. Vậy B là điểm thuộc quỹ tích.

- Dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 khi C trùng với A, thì khi đó D trùng với B' là giao điểm của tiếp tuyến đường tròn đường kính AB tại A với cung chứa góc $45 °$ vẽ trên AB.

Phần đảo: Lấy điểm D' tùy ý trên cung BB', nối AD' cắt đường tròn đường kính AB tại C'. Nối BC', B'D'.

Ta có: $\hat{A D^{'} B} = 45 °$ (vì D nằm trên cung chứa góc $45 °$ dựng trên đoạn AB).

Trong đường tròn đường kính AB ta có: $\hat{A C^{'} B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow \hat{B C^{'} D^{'}} = 90 ° \Rightarrow Δ B C^{'} D^{'}$ vuông cân tại $C^{'} \Rightarrow C^{'} B = C^{'} D^{'}$ .

Kết luận: Vậy quỹ tích các điểm D khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung $\overset{⏜}{B B^{'}}$ nằm trên cung chứa góc $45 °$ vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.

Câu 4:

b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho.

Xem đáp án

b) Phần thuận: Trong đường tròn đường kính AB ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

b) Trên tia CA lấy điểm E sao cho CE = CB. Tìm quỹ tích các điểm E khi C chạy trên nửa đường tròn đã cho. (ảnh 1)

Mà CE = CB (giả thiết) nên suy ra $Δ C B E$ vuông tại C.

$\Rightarrow \hat{C E B} = 45 ° \Rightarrow \hat{A E B} = 180 ° - \hat{C E B} = 135 °$ (hai góc kề bù).

Mặt khác, AB cố định, nên khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì E chuyển động trên cung chứa góc $135 °$ dựng trên đoạn thẳng AB cố định.

Giới hạn: Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính của đường tròn, thì C trùng với B khi đó E trùng với B. Suy ra B là một điểm của quỹ tích.

Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A, thì khi đó E trùng với A nên A là một điểm của quỹ tích.

Phần đảo: Lấy E' bất kỳ trên cung chứa góc $135 °$ . Kẻ AE' cắt đường tròn đường kính AB tại C'. Nối BE', BC'.

Ta có: $\hat{A E^{'} B} = 135 °$ (vì E nằm trên cung chứa góc $135 °$ ).

$\Rightarrow \hat{B E^{'} C^{'}} = 180 ° - \hat{A E^{'} B} = 45 °$ (hai góc kề bù).

Trong đường tròn đường kính AB có: $\hat{A C^{'} B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra tam giác E'C'B vuông cân tại C'. Do đó C'E = C'B.

Vậy C' là một điểm thuộc quỹ tích.

Kết luận: Vậy E chuyển động trên một cung chứa góc

135 °

vẽ trên đoạn AB, nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C.

Câu 5:

Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây AC quay quanh A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B ta vẽ hình vuông ACDE. Hỏi:

a) Điểm D di động trên đường nào?

Xem đáp án

a)

Cho nửa đường tròn đường kính AB và một dây AC quay quanh A . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B ta vẽ hình vuông ACDE. (ảnh 1)

Phần thuận: Ta có

\hat{A C B} = 90 °

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\hat{A C D} = 90 °$ (do ACDE là hình vuông).

$\Rightarrow B, C, D$ thẳng hàng.

$\hat{A D B} = 45 °$ (do ACDE là hình vuông) và AB cố định nên quỹ tích điểm D là cung chứa góc $45 °$ dựng trên đoạn AB.

Giới hạn: Dây AC thay đổi phụ thuộc vào vị trí của điểm C trên nửa đường tròn đường kính AB.

+ Nếu C trùng với A thì $D \equiv B^{'}$ . Vậy A là một điểm thuộc quỹ tích.

+ Nếu C trùng với B thì $D \equiv A \equiv E$ . (B' là giao điểm của tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn).

Phần đảo: HS tự làm.

Kết luận: Quỹ tích điểm D là cung AB' nằm trên cung chứa góc $45 °$ dựng trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C.

Câu 6:

b) Điểm E di động trên đường nào?

Xem đáp án

b)

b) Điểm E di động trên đường nào? (ảnh 1)

Phần thuận: Từ A kẻ tiếp tuyến Ay với nửa đường tròn.

Gọi $F = E D \cap A y$ .

Xét $Δ A E F$ và $Δ A C B$ có:

$\hat{A E F} = \hat{A C B} = 90 °$ ;

$A E = A C$ (do $A C D E$ là hình vuông);

$\hat{E A F} = \hat{B A C}$ (cùng phụ với $\hat{C A F}$ ).

$\Rightarrow Δ A E F = Δ A C F$ (cạnh góc vuông – góc nhọn)

$\Rightarrow A F = A B \Rightarrow A F$ cố định.

Mà $\hat{A E F} = 90 °$ nên E nằm trên đường tròn đường kính AF.

Phần đảo: HS tự làm.

Giới hạn: Tương tự câu a, ta có điểm E nằm trên đường tròn đường kính AF, trong nửa mặt phẳng không chứa điềm .

Kết luận: Quỹ tích điểm E là nửa đường tròn đường kính AF, trong nửa mặt phẳng không chứa điềm B.

Câu 7:

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. Gọi M là giao điểm của hai đường thẳng DE và BF. Tìm quỹ tích của điểm M khi E di động trên cạnh BC.

Xem đáp án

Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E , trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF. (ảnh 1)

Phần thuận:

Δ C B F = Δ C D E \Rightarrow \hat{C B M} = \hat{C D E} \Rightarrow Δ D C E ~ Δ B M E (g.g) \Rightarrow \hat{B M D} = \hat{D C E} = 90 °

=> M nằm trên đường tròn đường kính BD.

Giới hạn: E trùng với C thì M cũng trùng với C, E trùng với B thì M cũng trùng với B. Suy ra M thuộc cung nhỏ BC.

Phần đảo: Lấy điểm M thuộc quỹ tích và chứng minh CE = CF.

Kết luận: Quỹ tích của điểm M là cung nhỏ BC của đường tròn đường kính BD.