7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chủ đề 5: Trồng cây thẳng hàng trong thực tế có liên quan đến toán học không?

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án

Chủ đề 5: Trồng cây thẳng hàng trong thực tế có liên quan đến toán học không?

2987 lượt thi
7 câu hỏi
60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; BC' và B'C là C''. Chứng minh rằng ba điểm A'', B'', C'' thẳng hàng.

Xem đáp án

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; (ảnh 1)

Trường hợp 1: $A^{''} C^{''}$ không đi qua X $(X = A C \cap A^{'} C^{'})$

Kí hiệu $Y = A^{''} C^{''} \cap A^{'} C^{'}; Z = A^{''} C^{''} \cap A C$ ; ta gọi:

$B^{''} = A^{''} C^{''} \cap A C^{'}$ . Ta cần chứng minh: $A^{'}, B^{''}, C^{'}$ thẳng hàng.

Xét tam giác $X Y Z$ với đường thẳng đi qua ba điểm thảng hàng $A^{'}, B^{''}, C^{'}$ .

$A^{'}, B^{''}, C^{'}$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{A^{'} X}{A^{'} Y} . \frac{B^{''} Y}{B^{''} Z} . \frac{C Z}{C X} = 1$ (1)

Xét tam giác $X Y Z$ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $A^{'}, A^{''}, B$ , ta có:

$\frac{A^{'} X}{A^{'} Y} . \frac{A^{''} Y}{A^{''} Z} . \frac{B Z}{B X} = 1$ (2)

Tam giác $X Y Z$ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $B^{'}, C, C^{''}$ , ta có:

$\frac{C Z}{C X} . \frac{B^{'} X}{B^{'} Y} . \frac{C^{''} Y}{C^{''} Z} = 1$ (3)

Tam giác XYZ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng $A, B^{''}, C^{'}$ , ta có;

$\frac{A Z}{A X} . \frac{B^{''} Y}{B^{''} Z} . \frac{C^{'} X}{C^{'} Y} = 1$ (4)

Do $A, A^{''}, B^{'}$ thẳng hàng nên $\frac{A^{''} Y}{A^{''} Z} . \frac{A Z}{A X} . \frac{B^{'} X}{B^{'} Y} = 1$ (5)

Do $B, C^{''}, C^{'}$ thẳng hàng nên $\frac{B Z}{B X} . \frac{C^{'} X}{C^{'} Y} . \frac{C^{''} Y}{C^{''} Z} = 1$ (6)

Nhân (2), (3), (4) áp dụng (5), (6) ta suy ra (1)

Ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp 2: $A^{''} C^{''}$ đi qua X

Bạn đọc tự xét trường hợp này.

Như vậy bản chất của cách 1 ví dụ 1 là định lí Papus. Từ cơ sở toán này, chúng ta đưa ra cách giải tổng quát hơn cách 1 trong ví dụ 1 như sau:

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; (ảnh 2)

Câu 2:

Cho tam giác ABC với điểm M nằm trong tam giác. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Gọi K là giao điểm của DE và CM. Gọi H là giao điểm của DF và EM. Chứng minh rằng các đường thẳng $A D, B K, C H$ đồng quy.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC với điểm M nằm trong tam giác. Các tia AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB tương (ảnh 1)

Áp dụng định lí Ménélaus cho tam giác AMC (với bộ ba điểm thẳng hàng E, K, D) và tam giác BMA (với bộ ba điểm thẳng hàng F, H, D), ta có

$\frac{K M}{K C} . \frac{E C}{E A} . \frac{D A}{D M} = 1, \frac{B H}{H M} . \frac{D M}{D A} . \frac{F A}{F B} = 1$

Suy ra $\frac{K M}{K C} . \frac{E A}{E C} . \frac{D M}{D A}, \frac{B H}{H M} = \frac{F B}{F A} . \frac{D A}{D M}$ (1)

Áp dụng định lí Céva cho tam giác ABC với bộ ba đường thẳng đồng quy $A D, B E, C F$ : $\frac{C D}{B D} . \frac{B F}{F A} . \frac{A E}{E C} = 1$ .

Từ đó: $\frac{C D}{B D} = \frac{F A}{B F} . \frac{E C}{A E}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{K M}{K C} . \frac{B H}{H M} . \frac{C D}{B D} = 1$ .

Vậy theo phần đảo của định lí Céva, $B K, C H, M D$ đồng quy, hay $A D, B K, C H$ đồng quy.

Câu 3:

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây.

Xem đáp án

Cách 1

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 1)

Các hàng là $A B C, A T C^{'}, A D B^{'}, A^{'} B^{'} C^{'}, A^{'} T C, A^{'} D B, D I C, D K C^{'}, B T K, B I C^{'}, B^{'} T I, B^{'} K C$ .

Cách 2

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 2)

Các hàng là: $A C^{'} B, A T A^{'}, A K D, A B^{'} C, B^{'} I B, B^{'} K A^{'}, C K C^{'}, C T I, C D A^{'}, D T C^{'}, A^{'} I C^{'}, B T K$ .

Cách 3

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 3)

Các hàng là: $E G K, E A I, E B H, C B A, C H G, C I K, D H A, D I G, H I F, B K F, A G F$ .

Cách 4

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 12 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 4)

Các hàng là $A D B, A F C, B H E, B K F, B G C, G H D, G K E, G I F, C K D, C I E, H K I, D E F$ .

Câu 4:

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 18 hàng, mỗi hàng có 4 cây.

Xem đáp án

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 18 hàng, mỗi hàng có 4 cây. (ảnh 1)

Các hàng là: $A E T N, A X Z C, A F Y P, M E F Q, M X G D, M T J C, M L K N, B L X Q, B T Y D, B K Z P, N Z H D,$

$N J I P, C I Y Q, P H G Q, E X Y H, L T Z I, F X T K, G Y Z J$ .

Câu 5:

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 20 hàng, mỗi hàng có 4 cây.

Xem đáp án

Ta có một cách trồng cây như sau:

Trong một vườn cây có 20 cây. Hãy trồng thành 20 hàng, mỗi hàng có 4 cây. (ảnh 1)

Câu 6:

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 9 hàng, mỗi hàng có 3 cây.

Xem đáp án

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 9 hàng, mỗi hàng có 3 cây. (ảnh 1)

Câu 7:

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 5 hàng, mỗi hàng có 4 cây.

Xem đáp án

Bài toán này có 6 cách trồng cây như sau:

Trong một vườn cây có 10 cây. Hãy trồng thành 5 hàng, mỗi hàng có 4 cây. (ảnh 1)

Bắt đầu thi ngay