4 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chủ đề 4: Tiết kiệm trong tăng gia sản xuất có đáp án

Câu 1:

Trên một mảnh đất tăng gia trồng xu hào của một nông trường, các bác nông dân muốn trồng xu hào theo cách tiết kiệm đất và đạt số lượng cây trồng nhiều nhất (Tất nhiên không được quên điều kiện cần thiết về khoảng cách giữa hai cây để giúp cây có thể phát triển và cho thu hoạch được). Có hai phương án trồng xu hào được đưa ra như sau:

Trên một mảnh đất tăng gia trồng xu hào của một nông trường, các bác nông dân muốn trồng (ảnh 1)

Xem đáp án

Chắc nhiều bạn sẽ trả lời các trồng như hình 1 là hợp lí nhất, lợi nhất. Tuy nhiên sự thật không phải vậy. Bằng công cụ hình học sơ cấp, chúng ta sẽ chứng minh được rằng cách trồng ở hình 2 mới là tối ưu theo yêu cầu đề bài.

Thật vậy, giả sử khoảng đất xung quanh mỗi gốc cây để cho cây sống và phát triển là đường tròn có đường kính bằng đơn vị dài. Thế thì, giữa 4 cây trồng có một khoảng đất bỏ phí. Ở hình 1 đó là 1 “tứ giác đều cong” (tứ giác có 4 cung tròn bằng nhau), ở hình 2 là 2 “tam giác đều cong” (tam giác có 2 cung tròn bằng nhau). Ta hãy xét với hai cách trồng thì số đất bỏ phí nào ít hơn.

Diện tích của tứ giác đều cong bằng diện tích hình vuông trừ diện tích hình tròn, nên bằng: $1 - \frac{π}{4}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích 2 tam giác đều cong bằng diện tích hình thoi trừ đi diện tích hình tròn nên bằng: $2. \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{π}{4} = \frac{2 \sqrt{3} - π}{4}$ (đơn vị diện tích).

Tỉ số: $\frac{1 - \frac{π}{4}}{\frac{2 \sqrt{3} - π}{4}} > 2,5$

Vậy diện tích đất bỏ phí trong 4 cây trồng theo hình 1 gấp hơn 2 lần rưỡi diện tích đất bỏ phí trong 4 cây trồng theo hình 2.

Bây giờ ta xét số cây trồng theo cách nào được nhiều hơn. Mới thoạt nhìn chắc các bạn cho rằng trồng theo cách 2 được ít cây hơn vì cứ 2 hàng lại thiệt đi một cây. Nhưng đó chỉ là cách “Bỏ con săn sắt bắt con cá rô” đấy các bạn ạ. Nếu các bạn không tin chúng ta hãy tính thử.

Trong vườn 2, khoảng cách giữa hai hàng ngang là bằng chiều cao của tam giác đều nên bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}$ đơn vị dài.

Trong vườn 1, khoảng cách giữa hai hàng ngang là 1 đơn vị dài, do đó trồng theo cách 2 lợi được 1 khoảng đất là:

$1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,134$ (đơn vị dài).

Nói cách khác tức là cứ trung bình khoảng 7 hàng ngang thì cách trồng ở vườn 2 lợi hơn cách trồng ở vườn 1 là 1 hàng.

Để cụ thể giả sử số cây trồng mỗi hàng ngang là 15 cây thế thì cứ trồng 7 hàng thì theo cách 2 lợi được 15 cây nhưng phải bỏ bớt đi . cây (ở các hàng 2, 4, 5) nên còn lợi 12 cây.

Do đó nếu diện tích đất trồng càng rộng thì rõ ràng theo cách 2 (ở hình 2) càng trồng được nhiều cây và càng tiết kiện được đất.

Câu 2:

Trong một nhà máy, các anh thợ công nhân cần cắt một tấm tôn $1^{m} x 2^{m}$ ra nhiều miếng tròn, đường kính $0^{m},295$ . Bạn hãy cắt sao cho được nhiều miếng tròn nhất?

Xem đáp án

Nếu không chịu khó tính toán thì có thể bạn sẽ cắt theo kiểu đơn giản như hình 3 và được 21 miếng tròn. Nhưng nếu suy nghĩ kỹ hơn thì bạn sẽ thấy rằng cắt theo kiểu hình 4 thì lợi hơn và được 26 miếng.

Trong một nhà máy, các anh thợ công nhân cần cắt một tấm tôn 1^mx2^m ra nhiều miếng tròn (ảnh 1)

Tại sao cắt theo kiểu hình 4 lợi hơn?

Lia do cũng giống như trồng cây ở ví dụ 1. Như ở đây ta sẽ lập luận hơi khác một chút. Cho d là đường kính của miếng tròn. Trong mỗi ô vuông ở hình 3, tỉ số diện tích sử dụng (tức là tỉ số diện tích miếng tròn so với diện tích ô vuông) bằng:

$π {(\frac{d}{2})}^{2} : d^{2} = \frac{π}{4}$

Nếu tấm tôn khá lớn so với các miếng tròn thì số ô lẻ (ô không tròn) ở rìa là không đáng kể và tỉ số diện tích sử dụng trên toàn tấm tôn bằng xấp xỉ $\frac{π}{4} \approx 78,5 %$ .

Mặt khác, theo kiểu cắt ở hình 4, ta có thể chia tấm tôn ra từng ô lục giác, trong mỗi ô đó tỉ số diện tích sử dụng là:

$π {(\frac{d}{2})}^{2} : 2 {(\frac{d}{2})}^{2} \sqrt{3} = \frac{π}{2 \sqrt{3}}$ ( $2 {(\frac{d}{2})}^{2} \sqrt{3}$ là diện tích lục giác – bạn nên kiểm tra lại).

Vậy tỉ số diện tích sử dụng theo kiểu cắt này xấp xỉ bằng $\frac{π}{2 \sqrt{3}} \approx 90,7 %$ .

Do đó cắt theo kiểu thứ hai lợi hơn hẳn so với kiểu thứ nhất.

Câu 3:

Tìm một ứng dụng sắp xếp theo kiểu như hình 4 nói trên tròn thực tế.

Xem đáp án

20 điếu thuốc trong bao thuốc là bất kì được sắp xếp theo kiểu hình 4 nói trên.

Tìm một ứng dụng sắp xếp theo kiểu như hình 4 nói trên tròn thực tế. (ảnh 1)

Câu 4:

Ngày 4/4/1918, một đạo luật của quốc hội Hoa Kỳ cho phép thêm một ngôi sao vào lá cờ khi có một bang nữa được nhận vào liên bang. Năm 1959 có 48 bang. Vì 48=6x8 nên các ngôi sao được sắp xếp một cách đẹp đẽ thành 6 hàng, mỗi hàng 8 sao. Năm 1959 có bang Alaska gia nhập liên bang nên có 49 bang. Vì 49=7x7 nên các ngôi sao được sắp xếp thành 7 hàng, mỗi hàng có 7 sao. Năm 1960 có thêm bang Hawaii, trên lá cờ của Hoa Kỳ phải có 50 ngôi sao. Vì 50=5x6+4x5 nên người ta quyết định xếp các ngôi sao thành 5 hàng 6 ngôi sao, đan xen với 4 hàng 5 sao, điều này đạt đến sự cân đối trong việc bố trí các ngôi sao như ta thấy trên lá cờ của Hoa Kỳ hiện nay như hình vẽ.

Một câu hỏi xuất hiện một cách tự nhiên là: Người ta sẽ xếp các ngôi sao như thế nào nếu có thêm một bang nữa (51 bang)?

Xem đáp án

Nếu xếp 51 ngôi sao thành 3 hàng, mỗi hàng gồm 17 ngôi sao thì không đạt yêu cầu cả về phương diện hiện thực lẫn phương diện thẩm mĩ. Phương án xếp các ngôi sao thành từng hàng trong khung hình chữ nhật phải đáp ứng các yêu cầu sau:

1. Số các ngôi sao trong hai hàng liền kể nhau sai khác ít tới mức có thể được, tức là bằng nhau hoặc chỉ hơn kém nhau một ngôi sao.

2. Số các hàng chẵn và số các hàng lẻ sai khác ít tới mức có thể được, tức là số các hàng chẵn bằng số các hàng lẻ hoặc sai khác 1.

Đặt x là số các hàng, mỗi hàng có r sao và y là số các hàng, mỗi hàng có s sao, ta cần có:

$\{\begin{matrix} x r + y s = 51 \\ r - s = 1 \end{matrix}$

Xảy ra 2 trường hợp:

a) Nếu x=y thì $x (s + 1) + x s = 51$ .

Suy ra: $x = \frac{51}{2 s + 1}$ .

Vì $51 = 3 x 17$ và x là số nguyên nên mẫu số 2s+1 chỉ có thể là 1, hoặc 3 hoặc 17 hoặc 51.

Nếu x=51 thì s=0,

Nếu x=17 thì s=1,

Nếu x=1 thì s=25.

Các trường hợp này đếu không đạt.

Còn với x=3 thì s=8 kéo theo y=3 và r=9.

Lúc đó, $51 = 3 x 9 + 3 x 8$ . Lá cờ với 51 ngôi sao có thể được xếp thành 3 hàng 9 ngôi sao và 3 hàng 8 ngôi sao. Ý định này quả thực có thể được chấp nhận để sắp xếp cho lá cờ trong tương lai.

b) Nếu $x - y = 1$ thì phương trình trên trở thành:

$x (s + 1) + (x - 1) s = 51$ hay $2 x s + x = 51 + s$ , mà $x = \frac{51 + s}{2 s + 1}$ là một số nguyên. Suy ra $2 (\frac{s + 51}{2 s + 1})$ cũng là một số nguyên, tức là $\frac{2 s + 1 + 101}{2 s + 1} = 1 + \frac{101}{2 s + 1}$ cũng là số nguyên. Vì 101 là số nguyên tố nên chỉ có thể s=50 hoặc s=0. Cả hai trường hợp này đều bị loại. Như vậy chỉ có thể sử dụng phương án như ở trường hợp a).

Điều gì xảy ra vào thời điểm năm 1960 có thêm bang Hawaii, số bang tăng từ 49 lên 50? Dĩ nhiên có thể sắp xếp 50 ngôi sao thành 5 hàng 10 ngôi sao hoặc 2 hàng 25 ngôi sao, nhưng cả hai phương án đó đều không phù hợp với tính thẩm mĩ.

Sử dụng các biến như đã nêu ở trên, trong trường hợp a), ta có:

$\{\begin{matrix} x r + y s = 50 \\ r - s = 1 \end{matrix}$

Và x=y, suy ra $x (s + 1) + x s = 50$ hay $x = \frac{50}{2 s + 1} = \frac{2.5.5}{2 s + 1}$ .

Vì 2s+1 là một số lẻ lớn hơn 1 nên nó chỉ có thể là 5 hoặc 25 từ đó s=2 hoặc s=12.

· Nếu s=2 thì x=y=10 và r=3, điều này tạo ra hình ảnh một khung hình chữ nhật “quá cao”, có 10 hàng 3 ngôi sao và 10 hàng 2 ngôi sao!

· Nếu s=12 thì x=y=2 và r=13 thì ta cũng nhận được một phương án không đạt.

Ta xét trường hợp b).

Từ $\{\begin{matrix} x r + y s = 50 \\ r - s = 1 \end{matrix}$ và $x - y = 1$ suy ra $x (s + 1) + (x - 1) s = 50$ .

Suy ra $2 x s + x = 50 + s$ hay $x = \frac{50 + s}{2 s + 1}$ là một số nguyên, nên

$2 (\frac{50 + s}{2 s + 1}) = \frac{2 s + 1 + 99}{2 s + 1} = 1 + \frac{99}{2 s + 1}$ cũng là số nguyên.

Ta có bảng các giá trị của s, r, x, y như sau:

Ngày 4/4/1918, một đạo luật của quốc hội Hoa Kỳ cho phép thêm một ngôi sao vào lá cờ khi (ảnh 1)

Hai cột thứ nhất và thứ tư trong bảng giá trị trên cho phương án không đạt.

Hai cột thứ hai và thứ ba ứng với $50 = 5 x 6 + 4 x 5$ chính là phương án sắp xếp lá cờ hiện nay và nó đã được chấp nhận.