5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chủ đề 8: Dựng hình bình hành trong chứng minh các bài toán thực tiễn

Trắc nghiệm Chuyên đề Toán 9 Chuyên đề 9: Bài toán thực tế Hình học có đáp án

Chủ đề 8: Dựng hình bình hành trong chứng minh các bài toán thực tiễn

2992 lượt thi
5 câu hỏi
60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hai điểm dân cư nằm về hai phía của một con sông rộng. Người ta muốn xây cầu qua sông (vuông góc với bờ sông) và làm đường nối hai khu dân cư qua chiếc cầu. Phải đặt vị trí cầu ở đâu, để quãng đường giữa hai điểm dân cư là nhỏ nhất (hình vẽ)?

Hai điểm dân cư nằm về hai phía của một con sông rộng. Người ta muốn xây cầu qua sông (ảnh 1)

Xem đáp án

Giả sử nếu con sông rất đẹp, hẹp đến mức hai bờ sông a và b trùng nhau. Di chuyển điểm M, ta tìm được vị trí của M là giao điểm của bờ sông a và đoạn AB (Ta đã biết đây là bài toán quen thuộc: $M A + M B \geq A B \Rightarrow M A + M B$ ngắn nhất khi M là giao điểm của a và đoạn thẳng AB).

Từ đó ta cần tìm cách đưa ví dụ 1 về bài toán này. Ta làm như sau:

Dựng hình bình hành $A M N A^{'}$ : Ta có $A M = A^{'} N$ .

Vậy $A M + M N + N B = A A^{'} + A^{'} N + N B$ . Do AA' không đổi, nên $A^{'} N + N B$ nhỏ nhất khi N là giao điểm của A'B và bờ sông.

Cách dựng M, N:

- Dựng A' sao cho AMNA' là hình bình hành

- Dựng N là giao điểm của A'B và b.

Hai điểm dân cư nằm về hai phía của một con sông rộng. Người ta muốn xây cầu qua sông (ảnh 2)

- Dựng M sao cho NM vuông góc với bờ sông a $(M \in a)$ .

- M, N là các vị trí cần tìm.

Câu 2:

Hai xóm A và B cách nhau hai nhánh sông. Tìm địa điểm bắc cầu CD trên nhánh sông đối diện hai với điểm A và địa điểm bắc cầu EG trên nhánh sông đối diện với điểm B sao cho tổng khoảng cách từ A đến C đến D đến E đến G rồi đến B là nhỏ nhất. Biết rằng góc tạo bởi hai nhánh sông là góc nhọn.

Xem đáp án

Dựng các hình bình hành $A C D A^{'}, B G E B^{'}$ .

Nối A', B' cắt các nhánh sông tại D' và E' như hình vẽ.

Từ D' và E' ta suy ra C' và G' bằng phép dựng vuông góc.

Ta sẽ chứng minh rằng C'D' và E'G' là các địa điểm cần dựng.

Thật vậy $A C^{'} + C^{'} D^{'} + D^{'} E^{'} + E^{'} G^{'} + G^{'} B = A A^{'} + A^{'} D^{'} + D^{'} E^{'} + E^{'} B^{'} + B^{'} B \leq A A^{'} + A^{'} D + D E +$

$E B^{'} + B^{'} B = A C + C D + D E + E G + G B$ .

Hay $A C^{'} + C^{'} D^{'} + D^{'} E^{'} + E^{'} G^{'} + G^{'} B \leq A C + C D + D E + E G + G B$ (đpcm).

Hai xóm A và B cách nhau hai nhánh sông. Tìm địa điểm bắc cầu CD trên nhánh sông đối (ảnh 1)

Câu 3:

Hai điểm dân cư cách nhau ba con sông có lòng sông rộng khác nhau. Hãy bắc các cây cầu và làm đường nối hai điểm dân cư với con đường ngắn nhất (hình vẽ).

Hai điểm dân cư cách nhau ba con sông có lòng sông rộng khác nhau. Hãy bắc các cây cầu và (ảnh 1)

Xem đáp án

Gọi $C D, E F, G H$ là ba cây cầu bất kì bắc qua ba con sông.

Dựng các hình bình hành $B C D B_{1}, B_{1} E F B_{2}, B_{2} G H B_{3}$ .

Nối $A B_{3}$ cắt bờ con sông thứ nhất đối diện với điểm A tại H'. Dựng $H^{'} G^{'}$ vuông góc với bờ sông còn lại của con sông thứ nhất. Nối $G^{'} B_{2}$ cắt bờ con sông thứ hai đối diện với G' tại F'. Dựng $F^{'} E^{'}$ vuông góc với bờ sông còn lại của con sông thứ hai. Nối $E^{'} B_{1}$ cắt bờ con sông thứ ba đối diện với điểm E' với D'. Dựng D'C' vuông góc với bờ sông còn lại của con sông thứ ba (hình vẽ). Ta có các cây cầu $H^{'} G^{'}, F^{'} E^{'}, D^{'} C^{'}$ là các cây cầu cần dựng.

Thật vậy, $A H^{'} + H^{'} G^{'} + G^{'} F^{'} + F^{'} E^{'} + E^{'} D^{'} + D^{'} C^{'} + C^{'} B = H^{'} G^{'} + F^{'} E + D^{'} C^{'} + A H^{'} + G^{'} F^{'} +$ $E^{'} D^{'} + C^{'} B = H^{'} G^{'} + F^{'} E + D^{'} C^{'} + A H^{'} + G^{'} F^{'} + E^{'} B_{1} = H^{'} G^{'} + F^{'} E + D^{'} C^{'} + A H^{'} + G^{'} B_{2} = H^{'} G^{'} +$ $F^{'} E + D^{'} C^{'} \leq A H + H B_{3} + H G + F E + D C \leq A H + H G + G F + F B_{2} + F E + D C \leq A H + H G + G F +$ $F E + E D + D B_{1} + D C = A H + H G + G F + F E + E D + D C + C B$ .

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Câu 4:

Cho điểm A₁ cố định, đoạn C₁D₁thuộc đường thẳng d có độ dài không đổi chuyển động trên đường thẳng này. Tìm vị trí của $C_{1} D_{1}$ để chu vi tam giác $A_{1} C_{1} D_{1}$ bé nhất.

Xem đáp án

Cho điểm A1 cố định, đoạn C1D1 thuộc đường thẳng d có độ dài không đổi chuyển động trên (ảnh 1)

Để chứng minh chu vi của tam giác $A_{1} C_{1} D_{1}$ bé nhất, ta cần chứng minh $A_{1} C_{1} + A_{1} D_{1}$ bé nhất.

Dựng hình bình hành $A_{1} C_{1} D_{1} A_{2}$ (hình vẽ).

Gọi K là điểm đối xứng với A₂ qua đường thẳng d.
Nối $K A_{1}$ cắt đường thẳng d tại ${C^{'}}_{1}$ .

Dựng hình bình hành $A_{2} {C^{'}}_{1} {D^{'}}_{1} A_{1}$ .

Ta có

$C_{1} A_{1} + A_{1} D_{1} \geq C_{1} A_{1} + C_{1} A_{2} = C_{1} A_{1} + C_{1} K \geq A_{1} K = A_{1} {C^{'}}_{1} + {C^{'}}_{1} A_{2} = {C^{'}}_{1} A_{1} + {D^{'}}_{1} A_{1}$ .

Dấu “=” xảy ra khi C₁ trùng với ${C^{'}}_{1}$ .

Câu 5:

Cho hai điểm A, B cố định nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Đoạn CD thuộc đường thẳng d có độ dài không đổi và chuyển động trên đoạn thẳng này. Tìm vị trí của CD để chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất.

Xem đáp án

Cho hai điểm A, B cố định nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Đoạn CD thuộc đường thẳng d (ảnh 1)

Dựng hình bình hành $B C D B^{'}$ .

Chu vi tứ giác ABCD nhỏ nhất khi BC+AD nhỏ nhất.

Hay $B^{'} D + A D$ nhỏ nhất.

Theo ví dụ 1, §, hệ thức này nhỏ nhất khi điểm D trùng với D' là giao của EA với d (E là điểm đối xứng của B' qua d).

Dựng hình bình hành $B B^{'} D^{'} C^{'}$ .

Ta có $B C + A D = B^{'} D + A D = D E + A D$

$\geq A E \Leftrightarrow B C + A D$

$\geq B^{'} D^{'} + A D^{'} = B C^{'} + A D^{'}$ .

Dấu “=” xảy ra khi CD trùng với C'D'.

Bắt đầu thi ngay