9 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Tính chất đường phân giác của tam giác có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho tam giác ABC có: AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Các đường phân giác BD và CE cắt nhau ở I. Tỉ số diện tích các tam giác DIE và ABC là:

A. $\frac{4}{55}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{1}{10}$

D. $\frac{2}{45}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\frac{A D}{A B} = \frac{D C}{B C}$ (t/c) $\Rightarrow \frac{A D}{4} = \frac{D C}{6} = \frac{A D + D C}{4 + 6} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow A D = 4 . \frac{1}{2} = 2, D C = 6 . \frac{1}{2} = 3$

Suy ra $\frac{D I}{I B} = \frac{D C}{C B} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{D I}{D B} = \frac{1}{3}$

$\frac{B E}{E A} = \frac{B C}{A C} = \frac{6}{5} \Rightarrow \frac{B E}{B A} = \frac{6}{11}$

$\frac{A D}{D C} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{A D}{A C} = \frac{2}{5}$

Suy ra $S_{D I E} = \frac{1}{3} S_{B D E}$

$\Rightarrow S_{D I E} = \frac{1}{3} . \frac{6}{11} . \frac{2}{5} = \frac{4}{55} S_{A B C}$

Vậy $\frac{S_{D I E}}{S_{A B C}} = \frac{4}{55}$

Câu 2:

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt AC ở E. Gọi I là giao điểm của AM và DE.

1. Chọn khẳng định đúng

A. DE // BC

B. DI = IE

C. DI > IE

D. Cả A, B đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Vì MD và ME lần lượt là phân giác của $\hat{A M B}, \hat{A M C}$ nên $\frac{D A}{D B} = \frac{M A}{M B}, \frac{E A}{E C} = \frac{M A}{M C}$

Mà MB = MC nên $\frac{D A}{D B} = \frac{E A}{E C}$ => DE // BC (định lí Talet đảo)

Vì DE // BC nên $\frac{D I}{B M} = \frac{A I}{A M} = \frac{I E}{M C}$ (hệ quả định lí Talet) mà BM = MC nên DI = IE.

Nên cả A, B đều đúng

Câu 3:

Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt AC ở E. Gọi I là giao điểm của AM và DE.

2. Tính độ dài DE, biết BC = 30cm, AM = 10cm.

A. 9cm

B. 6cm

C. 15cm

D. 12cm

Xem đáp án

Đáp án D

Vì DI = IE (cmt) nên MI là đường trung tuyến của tam giác MDE.

ΔMDE vuông (vì MD, ME là tia phân giác của góc kề bù) nên MI = DI = IE

Đặt DI = MI = x, ta có $\frac{D I}{B M} = \frac{A I}{A M}$ (cmt) nên $\frac{x}{15} = \frac{10 - x}{10}$

Từ đó x = 6 suy ra DE = 12cm

Câu 4:

Cho tam giác ABC có: AB = 12cm, BC = 15cm, AC = 18cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác và G là trọng tâm tam giác.

1. Chọn khẳng định sai:

A. IG // BC

B. $\frac{A I}{I D} = \frac{A G}{G M}$

C. $\hat{A B G} = \hat{C B G}$

D. $\frac{I D}{A D} = \frac{M G}{M A}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi D, M là giao điểm của AI, AG với BC.

Vì AD là tia phân giác góc $\hat{B A C}$ nên $\frac{B D}{A B} = \frac{D C}{A C}$ (t/c)

$\Rightarrow \frac{B D}{12} = \frac{D C}{18} = \frac{B D + D C}{12 + 18} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow B D = 12 . \frac{1}{2} = 6, D C = 18 . \frac{1}{2} = 9$

Lại có: BI là tia phân giác $\hat{A B D}$ nên $\frac{A I}{I D} = \frac{A B}{B D} = \frac{12}{6} = 2$ (tính chất)

=> $\frac{I D}{A D} = \frac{M G}{M A} = \frac{1}{3}$ hay D đúng

Mà AG = 2GM (vì G là trọng tâm)

Nên $\frac{A I}{I D} = \frac{A G}{G M} = 2$ hay B đúng

Theo định lí đảo của định lí Talet ta có:

IG // DM => IG // BC hay A đúng

Chỉ có C sai

Câu 5:

Cho tam giác ABC có: AB = 12cm, BC = 15cm, AC = 18cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác và G là trọng tâm tam giác.

2. Độ dài IG là:

A. 1 cm

B. 2 cm

C. 1,5 cm

D. 2,5 cm

Xem đáp án

Đáp án A

Do M là trung điểm BC nên $M B = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} . 15 = 7, 5 c m$

Mà BD = 6cm nên DM = 7,5 cm – 6cm = 1,5 cm

Do IG // DM nên $\frac{I G}{D M} = \frac{A G}{A M} = \frac{2}{3}$ $\Rightarrow I G = \frac{2}{3} D M = \frac{1}{3} . 1, 5 = 1 c m$

Câu 6:

Cho tam giác ABC, $\hat{A} = 90^{\circ}$ , AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH (H $\in$ BC). Tia phân giác của $\hat{H A B}$ cắt HB tại D. Tia phân giác của $\hat{H A C}$ cắt HC tại E. Tính DH?

A. 4cm

B. 6cm

C. 9cm

D. 12cm

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 7:

Cho tam giác ABC, $\hat{A} = 90^{0}$ , AB = 15cm, AC = 20cm, đường cao AH (H $\in$ BC). Tia phân giác của $\hat{H A B}$ cắt HB tại D. Tia phân giác của $\hat{H A C}$ cắt HC tại E. Tính HE?

A. 4cm

B. 6cm

C. 9cm

D. 12cm

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 8:

Cho tam giác ABC, AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Tính BI?

A. 9cm

B. 6cm

D. $3 \sqrt{5} c m$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: AB = AC = 10cm

Suy ra ΔABC cân tại A

Có I là giao các đường phân giác của ΔABC

Suy ra AI, BI là đường phân giác của ΔABC

Gọi H là giao của AI và BC

Khi đó ta có AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân ABC (tính chất tam giác cân).

=> H là trung điểm của cạnh BC

$\Rightarrow B H = H C = \frac{B C}{2} = \frac{12}{2} = 6 c m$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$A H^{2} + B H^{2} = A B^{2} \Leftrightarrow A H^{2} + 6^{2} = 10^{2} \Leftrightarrow A H^{2} = 100 - 36 = 64$

=> AH = 8

Vì BI là phân giác của tam giác ABH nên: $\frac{A B}{B H} = \frac{A I}{I H} = \frac{A H - I H}{I H}$

$\Leftrightarrow \frac{10}{6} = \frac{8 - I H}{I H}$ $\Leftrightarrow$ 10IH = 48 – 6IH $\Leftrightarrow$ IH = 3

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác BHI vuông tại H, ta có:

$B I^{2} = I H^{2} + B H^{2} \Leftrightarrow B I^{2} = 3^{2} + 6^{2} \Leftrightarrow B I^{2} = 45 \Rightarrow B I = 3 \sqrt{5}$

Câu 9:

Cho tam giác ABC, AB = AC = 10cm, BC = 12cm. Gọi I là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC. Độ dài AI là:

A. 9cm

B. 6cm

C. 5cm

D. $3 \sqrt{5} c m$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: AB = AC = 10cm

Suy ra ΔABC cân tại A

Có I là giao các đường phân giác của ΔABC

Suy ra AI, BI là đường phân giác của ΔABC

Gọi H là giao của AI và BC

Khi đó ta có AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân ABC (tính chất tam giác cân).

=> H là trung điểm của cạnh BC

$\Rightarrow B H = H C = \frac{B C}{2} = \frac{12}{2} = 6 c m$

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$A H^{2} + B H^{2} = A B^{2} \Leftrightarrow A H^{2} + 6^{2} = 10^{2} \Leftrightarrow A H^{2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow A H = 8$

Vì BI là phân giác của tam giác ABH nên: $\frac{A I}{I H} = \frac{A B}{B H} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow \frac{A I}{5} = \frac{I H}{3}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{A I}{5} = \frac{I H}{3} = \frac{A I + I H}{5 + 3} = \frac{A H}{8} = \frac{8}{8} = 1 \Rightarrow A I = 5 (c m)$