Hướng dẫn giải:

Ta có: MN//BC ⇒ AM/AB = AN/AC ⇔ 2/5 = 1,5/x ⇒ x = 3.75

Chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB/A'B' = CD/C'D' ⇒ AB.C'D' = A'B'.CD ⇔ AB/CD = A'B'/C'D'

Khi đó cả ( I ),( II ) đều đúng.

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Ta có: AB/CD = MN/PQ ⇔ 8/6 = 12/x ⇔ x = 72/8 = 9cm

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét với FG//HT ta có:

FG//HT ⇒ EF/ET = EG/HE ⇔ ET = ( EF.HE )/EG = (3.3)/2 = 4,5

Chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

+ MN/NP = MR/RQ → NR//PQ

+ MN/MP = MR/MQ → NR//PQ

Cả 3 đáp án A, B, C đều sai.

Chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

+ SL/LK = HI/IK → SH//LI

+ SL/SK = HI/HK → SH//LI

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Ta có: ED//BC ⇒ ED/BC = AE/AB = AD/AC = 3/5

Chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có: AC = √ (BC² - AB² ) = √ ( 5² - 3² ) = 4( cm )

Δ ABC, AD là đường phân giác của góc BACˆ ( D ∈ BC )

Ta có: DB/DC = AB/AC hay DB/AB = DC/AC

Khi đó ta có: DB/DC = AB/AC ⇒ DB/( DB + DC ) = AB /( AB + AC )

hay DB/5 = 3/( 3 + 4) ⇒ DB = 15/7 cm; DC = 20/7 ( cm )

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Δ ABC có AD là đường phân giác

Ta có: DB/DC = AB/AC và DC/DB = AC/AB

+ AC là phân giác góc ngoài của Δ ABD

Có: AD/AB = DC/BC

+ AB là phân giác góc ngoài của Δ ADC

Có: AD/AC = BD/BC

Khi đó ta có:

$\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=\frac{DC}{BC}+\frac{DB}{BC}=1$

$\Rightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}$

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Δ ABC có AD là phân giác trong của góc A.

Ta có: DB/DC = AB/AC ⇒ DB/( BC - DB ) = AB/AC

Hay 9/( 21 - 9) = 6/x ⇒ x = ( 12.6 )/9 = 8

Chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải:

Đường phân giác BACˆ cắt BC tại D

Ta có:

$\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$

$\Rightarrow \frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{DB}{DC}=\frac{3}{4}$

Chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải:

Ta có:Δ ABC ∼ Δ A'B'C' ⇒

 $\left\{\begin{array}{l}\frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=3\\ \hat{A}=\widehat{A\text{'}}; \hat{B}=\widehat{B\text{'}}; \hat{C}=\widehat{C\text{'}}\end{array}\right.$

Đáp án C sai.

Chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

$\Rightarrow \frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{2}{5}=\frac{AB+AC+BC}{A\text{'}B\text{'}+A\text{'}C\text{'}+B\text{'}C\text{'}}$

Khi đó

$\frac{P_{ABC}}{P_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{2}{5}\Rightarrow P_{ABC}=\frac{2}{5}{P}_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$

Mà P_A'B'C' - P_ABC = 30cm.

Vậy chu vi của Δ ABC là 20cm, chu vi của Δ A'B'C' là 50cm.

Chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

$\Rightarrow \frac{AB}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{AC}{A\text{'}C\text{'}}=\frac{BC}{B\text{'}C\text{'}}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A\text{'}B\text{'}=\frac{5}{2}AB=20cm\\ A\text{'}C\text{'}=\frac{5}{2}AC=15cm\end{array}\right.$

Chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ ABC ∼ Δ DEF

$\Rightarrow \frac{P_{ABC}}{P_{DEF}}=\frac{3}{5}\iff P_{DEF}=\frac{5P_{ABC}}{3}=\frac{5.12}{3}=20cm$

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC vuông tại A ta được

BC² = AC² + AB² ⇒ AB = √ (BC² - AC² ) = √ ( 5² - 3² ) = 4( cm )

Ta có:

$\cos \widehat{ACB}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}$

Xét tam giác DEF có:

$\cos \widehat{DEF}=\frac{D{E}^2+E{F}^2-D{F}^2}{2DE.EF}$

$=\frac{3^2+2,5^2-3^2}{2.3.2,5}=\frac{3}{5}$

Khi đó ACBˆ = DEFˆ

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Ta có: RS/PQ = RK/PM = SK/QM ⇒ Δ RSK ∼ Δ PQM

Chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải:

Ta có Δ RSK ∼ Δ PQM ⇔

 $\left\{\begin{array}{l}\widehat{RSK}=\widehat{PQM}\\ \widehat{RKS}=\widehat{PMQ}\\ \widehat{KRS}=\widehat{MPQ}\end{array}\right.$

Chọn đáp án A.

Ta có:

Chọn đáp án C. 

Hướng dẫn giải:

Xét Δ ABD và Δ BDC có:

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{BAD}=\widehat{DBc}\\ \widehat{ABD}=\widehat{BDC}\end{array}\Rightarrow ∆ABD~∆BDC \left(g-g\right)\right.$

⇒ AB/BD = AD/BC = BD/DC hay 12,5/x = x/28,5 ⇒ x2 = 1425/4 ⇔ x ≈ 18,87

Chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng tinh chất của đường phân giác ta có:

BD/DC = AB/AC ⇔ BD/( BC - DB) = AB/AC

hay BD /( 25 - BD) = 15/20 = 3/4 ⇔ 4BD = 75 - 3BD ⇔ 7BD = 75 ⇒ BD = 10(5/7)

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ABC có:

+ AD là đường phân giác có: DB/DC = AB/AC

+ BE là đường phân giác có: EC/EA = BC/AB

+ CF là đường phân giác có: FB/FA = BC/AC

Khi đó:

Chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải:

Ta có tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng nên tam có: P/P' = k = 5/9 ⇒ 9P - 5P' = 0

Mà

$P+P\text{'}=28\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}P=10cm\\ P\text{'}=18cm\end{array}\right.$

Chọn đáp án C.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

⇒ DF/SL = DE/SK = FE/LK

Chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải:

a) Từ giả thiết

CA/CB = 3/2

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}CA=3t\\ CB=2t\end{array}\right.$

với t > 0

Nên AB = 10 cm = CA + CB = 5t ⇔ t = 2

Vậy CB = 4 cm

b) Từ giả thiết

$\frac{DA}{DB}=\frac{3}{2}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}DA=3t\\ DB=2t\end{array}\right.$

Mặt khác D thuộc tia đối của tia BA nên DA > DB

Do đó AB = 10 cm = DA - DB = 3t - 2t ⇔ t = 10 cm

Vậy DB = 20 cm

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác ABC có MN//BC

Ta có:

$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow \frac{AM}{AB-AM}=\frac{AN}{AC-AN}$

$\iff \frac{AM}{BM}=\frac{AN}{NC}$

Hay 4/x = 5/3,5 ⇒ x = 4.3,5/5 = 2,8( cm )

Vậy x = 2,8( cm )

b) Áp dụng định lí Ta – lét vào tam giác DEF có PQ//EF

Ta có:

$\frac{PE}{DE}=\frac{QF}{DF}\Rightarrow \frac{PE}{DE-Pe}=\frac{QF}{DF=QF}$

Hay 10,5/x = 9/( 24 - 9) ⇒ x = (10,5.15 )/9 = 17,5 ( cm )

Vậy x = 17,5 ( cm )

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có:

DE//BC ⇒ BC/DE = AB/AD hay x/8 = 28,5/9,5

⇔ x = 8.28,5/9,5 = 456/19 ≈ 31,58

b) Ta có: A'B'//AB vì cùng vuông góc AA'

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét ta có:

A'B'//AB ⇒ AB/A'B' = AO/A'O hay x/4,2 = 6/3 ⇔ x = 8,4

Áp dụng định lí Py – ta – go với Δ OAB ta có:

OB² = A B² + OA² ⇒ y = √ ( 8, 4² + 6² ) ≈ 10,32

Hướng dẫn giải:

Áp dụng hệ quả của định lí Ta – lét cho OE//DC,

OF//DC và AB//DC ta được:

Điều phải chứng minh.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng tính chất đường phân giác BD của tam giác

ABC, ta có:

 $\frac{AB}{BC}=\frac{DA}{DC}=\frac{4}{5}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AB=4t\\ BC=5t\end{array} với t>0\right.$

với t > 0

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

BC² = AC² + AB² hay ( 5t )² = 9² + ( 4t )² ⇔ ( 3t )² = 9² ⇒ t = 3 (vì t > 0 )

Khi đó: AB = 12cm, BC = 15cm

Hướng dẫn giải:

Áp dụng tính chất của các đường phân giác BD và CE của tam giác ABC ta được:

+ AB/BC = AD/DC = 2/3 = 4/6

$\left\{\begin{array}{l}AB=4t\\ BC=6t\end{array}\right.$

với t > 0

+$\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AC=5t\\ BC=6t\end{array}\right.$

Theo giả thiết ta có: PABC = AB + AC + BC = 15t = 45 ⇒ t = 3

Vậy AB = 12( cm ); BC = 18( cm ); AC = 15( cm )

Hướng dẫn giải:

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' là k

Ta có:

$k=\frac{A"B"}{A\text{'}B\text{'}}=\frac{1}{{\displaystyle \frac{A\text{'}B\text{'}}{A"B"}}}=\frac{1}{k_1}$

Điều đố chứng tỏ Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' theo tỉ số đồng dạng là k = 1/k₁

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A'B'C' ∼ Δ ABC là k₃

Thì k₁ = A'B'/A''B'' , k₂ = A''B''/AB ⇒ k3 = A'B'/AB = A'B'/A''B'' . A''B''/AB = k₁ . k₂

Điều đó chứng tỏ Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₃ = k₁ k₂

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

Δ A'B'C' ∼ Δ ABC

$\Rightarrow \frac{A\text{'}B\text{'}}{AB}=\frac{A\text{'}C\text{'}}{AC}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{3}{5}$

$=\frac{A\text{'}B\text{'}+A\text{'}C\text{'}+B\text{'}C\text{'}}{AB+AC+BC}=\frac{3}{5}$

$\Rightarrow \frac{P_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{P_{ABC}}=\frac{3}{5}$

b) Theo giả thiết ta có: P_ABC - P_A'B'C' = 40dm

Khi đó ta có:

$\frac{P_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{P_{ABC}}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{P_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{P_{ABC}-P_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}=\frac{3}{5-3}$

Hay

$\frac{P_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}}{40}=\frac{3}{2}\Rightarrow P_{A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=60\left(dm\right); P_{ABC}=20dm$

Hướng dẫn giải:

Ta có: Δ AHB ∼ Δ CHA ⇒ AH/HC = HB/HA

Hay HA/36 = 25/HA ⇔ H A2 = 302 ⇒ HA = 30( cm )

Ta có: SABC = 1/2 AH.BC = 1/2 .30.61 = 915( cm2 )

Áp dụng định lý Py – ta –go ta được:

$\left\{\begin{array}{l}AB\approx 39\left(cm\right)\\ AC\approx 47\left(cm\right)\end{array}\right.\Rightarrow P_{ABC}\approx 147\left(cm\right)$

Hướng dẫn giải:

a) Từ giả thiết và tính chất về góc của tam giác vuông BCD ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\\ \widehat{B_2}+\widehat{D_1}={90}^0\end{array}\right.$

⇒ B₁ˆ + B₂ˆ = 900 ⇒ EBDˆ = 900 , do ABCˆ là góc bẹt

Vậy trong hình vẽ có 3 tam giác vuông là ABE, BCD, EDB

b) Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\hat{A}=\hat{C}\\ \widehat{B_1}=\widehat{D_1}\end{array}\right.$

⇒ Δ CDB ∼ Δ ABE ( g - g )

⇒ CD/AB = BC/AE hay CD/15 = 10/12 ⇔ CD = ( 10.15)/12 ⇒ CD = 18 ( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABE có:

B E² = A E² + A B² ⇒ B E² = 10² + 15² ⇒ BE ≈ 18,0( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông BCD có:

B D² = C D² + B C² ⇒ B D² = 18² + 12² = 468 ⇒ BD ≈ 21,6( cm )

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông EBD có:

E D² = B D² + B E² ⇒ E D² = 325 + 468 = 793 ⇒ ED ≈ 28,2( cm )

c) Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{S}_{BDE}=\frac{1}{2}BE.BD=\frac{1}{2}\sqrt{325}.\sqrt{468}=\frac{1}{2}\sqrt{152100}=195\left(c{m}^2\right)\\ S_{AEB}+S_{BCD}=\frac{1}{2}.15.10+\frac{1}{2}.12.18=183\left(c{m}^2\right)\end{array}\right.$

Vậy S_BED > S_AEB + S_BCD

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Py – ta –go và tam giác CDB vuông tại C ta được: B D² = D C² + B C²

Hay 30² = D C² + 24² ⇔ D C² = 18² ⇔ DC = 18( cm )

Xét Δ BEA và Δ DBC có:

$\left\{\begin{array}{l}\hat{A}=\hat{C}={90}^0\\ \frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}=\frac{5}{3}\end{array}\right.\Rightarrow ∆BEA~∆DBC\left(c-g-c\right)$

Từ định nghĩa về tam giác đồng dạng và tính chất về góc của tam giác vuông DCB. Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{B_1}=\widehat{D_1}\\ \widehat{B_2}+\widehat{D_1}={90}^0\end{array}\right.$

⇒ B₁ˆ + B₂ˆ = 900 ⇒ EBDˆ = 90⁰ (do ABCˆ là góc bẹt)

Vậy EBDˆ = 90⁰

Hướng dẫn giải:

Đặt S_ABC = S. Vì DE//AC nên Δ BED ∼ Δ BAC

$\Rightarrow \frac{S_{BED}}{S}={\left(\frac{BD}{BC}\right)}^2=\frac{16}{S}={\left(\frac{4}{\sqrt{S}}\right)}^2\Rightarrow \frac{BD}{BC}=\frac{4}{\sqrt{S}} \left(1\right)$

Lại có DF//AB nên Δ CDF ∼ Δ CBA

$\Rightarrow \frac{S_{CDF}}{S}={\left(\frac{CD}{CB}\right)}^2={\left(\frac{5}{\sqrt{S}}\right)}^2\Rightarrow \frac{CD}{CB}=\frac{5}{\sqrt{S}} \left(2\right)$

Cộng theo vế của đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

$\frac{BD}{BC}+\frac{CD}{CB}=\frac{4}{\sqrt{S}}+\frac{5}{\sqrt{S}}$

$\Rightarrow 1=\frac{9}{\sqrt{S}}\iff S=81\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích của tam giác ABC là 81cm²

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác ABC vuông tại A, ta được:

B C² = A C² + A B² ⇒ B C² = 15² + 20²

⇔ B C² = 25² ⇔ BC = 25( cm )

Đặt BD = x ⇒ DC = 25 - x

Áp dụng định lý Py 0 ta – go vào hai tam giác vuông AHB và AHC, ta được:

$\left\{\begin{array}{l}A{B}^2=B{H}^2+H{A}^2\\ A{C}^2=C{H}^2+H{A}^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}H{A}^2={15}^2-x^2 \left(1\right)\\ H{A}^2={20}^2-{\left(25-x\right)}^2 \left(2\right)\end{array}\right.$

Trừ theo vế các đẳng thức ( 1 ) và ( 2 ) ta được:

152 - x2 - 202 + ( 25 - x )2 = 0 ⇔ 50x = 450 ⇔ x = 9( cm )

Nên HC = 25 - 9 = 16( cm )

Thay x = 9 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: H A2 = 152 - 92 = 122 ⇔ HA = 12( cm )

Áp dụng tính chất đường phân giác AD vào tam giác AHB, ta được:

$\frac{DB}{DH}=\frac{AB}{HA}\Rightarrow \frac{DB}{DH}=\frac{5}{4}\Rightarrow \frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{DB}{5}=\frac{DH}{4}=\frac{DB+DH}{5+\$}=\frac{BH}{9}=\frac{9}{9}=1\Rightarrow DH=4\left(cm\right)$

Áp dụng tính chất đường chất đường phân giác AE của tam giác ACH, ta được:

$\frac{EC}{EH}=\frac{CA}{HA}\Rightarrow \frac{EC}{EH}=\frac{5}{3}\Rightarrow \frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{EC}{5}=\frac{EH}{3}=\frac{EC+EH}{3+5}=\frac{CH}{8}=\frac{16}{8}=2\Rightarrow HE=6\left(cm\right)$

Hướng dẫn giải:

a) Áp dụng tính chất đường phân giác AD và BI và tam giác ABC và tam giác ABD.

Ta có: DI/IA = DB/AB = BD/c    ( 1 )

$+ \frac{BD}{AB}=\frac{CD}{AC}$

$\Rightarrow \frac{BD}{c}=\frac{DC}{b}=\frac{DB+DC}{b+c}=\frac{BC}{b+c}=\frac{a}{b+c}$

$\Rightarrow DB=\frac{ac}{b+c}$  (2)

Thay ( 2 ) vào ( 1 ) ta được:

$\frac{DI}{IA}=\frac{ac}{c(b+c)}=\frac{a}{b+c}$

Suy ra:

 $\frac{DI}{a}=\frac{IA}{b+c}=\frac{DI+IA}{a+b+c}=\frac{AD}{a+b+c}$

$\Rightarrow \frac{DI}{DA}=\frac{a}{a+b+c}$

b) Chứng minh tương tự như câu a, ta được:

$\frac{EI}{EB}=\frac{b}{a+b+c} \left(4\right);\frac{FI}{FC}=\frac{c}{a+b+C}$  (5)

Công theo vế các đẳng thức ( 3 ),( 4 ),( 5 ) ta được:

 $\frac{DI}{DA}+\frac{EI}{EB}+\frac{FI}{FC}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1$