13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Phiếu luyện tập số 1 có đáp án

Câu 1:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh AG chia đôi MN.

Xem đáp án

Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD. Chứng minh AG chia đôi MN. (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AG và MN

Gọi H là trung điểm của BG

Theo tính chất của trọng tâm, ta có: BH = HG = GN

Xét $Δ A B G$ có MH là đường trung bình => MH // AG

Xét $Δ H M N$ có AG // MH và NG = GH nên ON = OM

Vậy AG chia đôi NM.

Câu 2:

Cho tứ giác ABCD có chụ vi là 4a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng EG và HF có một đoạn thẳng có độ dài không lớn hơn a.

Xem đáp án

Cho tứ giác ABCD có chụ vi là 4a. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng trong hai đoạn thẳng EG và HF (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BD

Xét $Δ A B D$ có HM là đường trung bình nên $H M = \frac{A B}{2}$

Xét $Δ B D C$ có MF là đường trung bình nên $M F = \frac{C D}{2}$

Xét ba điểm M, H, F có $H F \leq M H + M F = \frac{A B + C D}{2}$

Chứng minh tương tự, ta được: $E G \leq \frac{A D + B C}{2}$ .

Vậy $H F + E G \leq \frac{A B + C D + A B + C D}{2} = \frac{4 a}{2} = 2 a$

Suy ra một trong hai đoạn HF, EG có độ dài không lớn hơn a.

Câu 3:

Cho tam giác ABC, BC = 6 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho $A D = \frac{1}{3} A B$ . Vẽ $D E / / B C (E \in A C)$ . Tính độ dài DE.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC, BC = 6 cm. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 1/3AB. Vẽ DE // BC (E thuộc AC). Tính độ dài DE. (ảnh 1)

Gọi F là trung điểm của DB. Khi đó: AD = DF = FB

Vẽ $F H / / B C (H \in A C)$

Xét $Δ A F H$ có DE // FH và AD = DF nên AE = EH

Xét hình thang DECB có FH // BC và DF = FB nên EH = HC

Ta đặt DE = x

Ta có DE là đường trung bình của $Δ A F H \Rightarrow D F = \frac{1}{2} F H$ => FH = 2x

Ta có FH là đường trung bình của hình thang DECB $\Rightarrow F H = \frac{D E + B C}{2} \Rightarrow 2 x = \frac{x + 6}{2} \Rightarrow x = 2 (c m)$

Vậy DE = 2 (cm).

Câu 4:

Cho hình thang ABCD, AB là đáy nhỏ. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD , BC, BD và AC.

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng.

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD, AB là đáy nhỏ. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD , BC, BD và AC . a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng. (ảnh 1)

a) Xét $Δ A B D$ có MP là đường trung bình $\Rightarrow M P / / A B \Rightarrow M P / / C D$

Xét $Δ A D C$ có MQ là đường trung bình => MQ // CD

Xét hình thang ABCD có MN là đường trung bình => MN // CD

Qua điểm M có các đường thẳng MP, MQ, MN cùng song song với CD nên các đường thẳng trùng nhau, suy ra bốn điểm M, N, P, Qthẳng hàng.

Câu 5:

b) Chứng minh PQ // CD và

P Q = \frac{C D - A B}{2}

Xem đáp án

b) Ta có MN // CD nên PQ // CD; $P Q = M Q - M P = \frac{C D}{2} - \frac{A B}{2} = \frac{C D - A B}{2}$

Câu 6:

c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MP = PQ = QN

Xem đáp án

c) Ta có $M P = N Q = \frac{A B}{2}; M P = P Q \Leftrightarrow \frac{A B}{2} = \frac{C D - A B}{2}$

$\Leftrightarrow A B = C D - A B \Leftrightarrow 2 A B = C D$ (đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ)

Câu 7:

Trong hình sau, mỗi cạnh của tam giác màu xanh là đường trung bình tương ứng của các cạnh tam giác màu trắng. Hãy tính IK, EF.

Xem đáp án

Ta có:

I K = \frac{1}{2} M N = \frac{1}{4} D E = \frac{1}{4} .24 = 8 c m

E F = 2 M P = 4 H G = 4.4, 5 = 18 c m

Câu 8:

Ở hình sau, cho biết MN là đường trung bình của tam giác ABC, EF là đường trung bình của hình thang QWNM. Biết BC = 20 cm, EF = 3x, QW = x. Tính x.

Ở hình sau, cho biết MN là đường trung bình của tam giác ABC, EF là đường trung bình của hình thang QWNM. Biết BC = 20 cm, EF = 3x, QW = x. (ảnh 1)

Xem đáp án

Theo tính chất đường trung bình của hình thang QWNM ta có:

$E F = \frac{Q W + M N}{2} \Rightarrow 3 x = \frac{x + M N}{2} \Rightarrow M N = 5 x$ .

Mặt khác, vì MN là đường trung bình trong tam giác ABC nên:

$M N = \frac{1}{2} B C \Rightarrow 5 x = \frac{1}{2} .20 \Rightarrow x = 2$ .

Câu 9:

Cho tam giác nhọn ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng tứ giác BMNC là hình thang.

Xem đáp án

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC trong tam giác nhọn ABC nên suy ra MN là đường trung bình của tam giác => MN // BC => MNCB là hình thang.

Câu 10:

Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi A', B' ,C' thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d . Chứng minh rằng BB' + CC' = AA' .

Xem đáp án

Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi A', B' ,C' thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d (ảnh 1)

Gọi N là hình chiếu của M trên d.

Xét tứ giác BB'C'C có BB' // CC' (cùng vuông góc d)

=> BB'C'C là hình thang.

M là trung điểm BC và MN // BB' // CC' (cùng vuông góc d)

=> MN là đường trung bình của hình thang => BB'C'C

$\Rightarrow {BB}^{'} + {CC}^{'} = 2 MN$ (1)

Chứng minh được $Δ {AA}^{'} I = Δ MNI (g . c . g) \Rightarrow {AA}^{'} = MN$ (2)

Từ (1); (2) suy ra BB' + CC' = 2AA'

Câu 11:

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC

a) Chứng minh: $A D = \frac{1}{2} D C$

Xem đáp án

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC a) Chứng minh: AD = 1/2DC (ảnh 1)

a) Qua M kẻ MN // BD.

Trong $Δ A M N$ , có I là trung điểm của AM, $I D ∥ M N \Rightarrow A D = D N$ .

Trong $Δ B C D$ , có M là trung điểm của BC, $M N ∥ B D \Rightarrow N D = N C$ .

$\Rightarrow A D = D N = N C \Rightarrow A D = \frac{1}{2} D C$ .

Câu 12:

b) So sánh độ dài BD và ID.

Xem đáp án

b) Ta có:

\begin{array}{l} B D = 2 M N \\ M N = 2 I D \end{array}\} \Rightarrow B D = 4 I D

Câu 13:

Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các đường chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao bằng 10cm .

Xem đáp án

Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các đường chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao bằng 10cm . (ảnh 1)

Gọi giao điểm của AC và BD là G. Đường thẳng đi qua G vuông góc với AB, CD lần lượt tại E và F.

Theo tính chất đoạn chắn ta có EF = AH = 10cm.

Ta chứng minh được $Δ B C D = Δ A D C (c . c . c); Δ B C A = Δ A D B (c . c . c)$

$\Rightarrow \hat{B D C} = \hat{A C D}; \hat{B A C} = \hat{A B D}$

$\Rightarrow Δ A B G; Δ C D G$ cân tại G.

Mà GE, GF là đường cao của $Δ A B G; Δ C D G$ nên nó đồng thời là đường trung tuyến ứng với AB, CD.

Xét $Δ A B G; Δ C D G$ vuông tại G có GE, GF là đường trung tuyến.

$\Rightarrow G E = \frac{1}{2} A B; G F = \frac{1}{2} C D$ (Do trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

$\Rightarrow G E + G F = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} C D = \frac{1}{2} (A B + C D) \Rightarrow E F = \frac{1}{2} (A B + C D)$

Mà $M N = \frac{1}{2} (A B + C D)$ (vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD)

Suy ra: EF = MN = 10cm.