5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức có đáp án

Bài tập Toán 8 Chủ đề 6: Bất đẳng thức có đáp án

Dạng 1: Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức có đáp án

729 lượt thi
5 câu hỏi
45 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c luôn có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Xem đáp án

Ta có ba cách trình bày theo phương pháp 1 (mang tính minh họa), như sau:

Cách 1: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{2} - a b + \frac{b^{2}}{2}) + (\frac{b^{2}}{2} - b c + \frac{c^{2}}{2}) + (\frac{c^{2}}{2} - c a + \frac{a^{2}}{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(\frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{b}{\sqrt{2}} - \frac{c}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{c}{\sqrt{2}} - \frac{a}{\sqrt{2}})}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 2: Ta biến đổi bất đẳng thức như sau:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) \geq 2 (a b + b c + c a) \Leftrightarrow (a^{2} + b^{2} - 2 a b) + (b^{2} + c^{2} - 2 b c) + (c^{2} + a^{2} - 2 c a) \geq 0$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0$ , luôn đúng.

Cách 3: Ta luôn có:

$\{\begin{cases} {(a - b)}^{2} \geq 0 \\ {(b - c)}^{2} \geq 0 \\ {(c - a)}^{2} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0 \\ b^{2} + c^{2} - 2 b c \geq 0 \\ c^{2} + a^{2} - 2 c a \geq 0 \end{cases}$ (I)

Cộng theo vế các bất phương trình trong hệ (I), ta được:

$2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 2 (a b + b c + c a) \geq 0 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$ , đpcm.

Câu 2:

Chứng minh rằng với mọi $n \in ℕ^{*}$ luôn có: $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} < 1$

Xem đáp án

Nhận xét rằng: $\frac{1}{k (k + 1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}$

Do đó: $V T = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} < 1$ , đpcm.

Câu 3:

Chứng minh rằng với mọi $a, b \in ℝ$ luôn có: $\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$

Xem đáp án

Ta đi chứng minh với mọi x, y luôn có:

$\frac{x + y}{2} . \frac{x^{3} + y^{3}}{2} \leq \frac{x^{4} + y^{4}}{2}$ (*)

Thật vậy:

$(*) \Leftrightarrow (x + y) (x^{3} + y^{3}) \leq 2 (x^{4} + y^{4}) \Leftrightarrow x y (x^{2} + y^{2}) \Leftrightarrow x y (x^{2} + y^{2}) \leq x^{4} + y^{4}$

${(x - y)}^{2} [{(\frac{x + y}{2})}^{2} + \frac{3 y^{2}}{4}] \geq 0$ , luôn đúng.

Khi đó áp dụng (*), ta được:

$\frac{a + b}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2} = [\frac{a + b}{2} . \frac{a^{3} + b^{3}}{2}] . \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

$\leq \frac{a^{4} + b^{4}}{2} . \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \leq \frac{a^{6} + b^{6}}{2}$ , đpcm.

Câu 4:

Cho $a, b, c \in (0; 1)$ , chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: $a (1 - b) > \frac{1}{4}, b (1 - c) > \frac{1}{4}, c (1 - a) > \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Giả sử trái lại cả ba bất đẳng thức đều đúng, khi đó nhân theo vế ba bất đẳng thức ta được:

$a (1 - b) . b (1 - c) . c (1 - a) > \frac{1}{64} \Leftrightarrow a (1 - a) . b (1 - b) . c (1 - c) > \frac{1}{64}$ (*)

Ta có nhận xét:

$a (1 - a) = a - a^{2} = \frac{1}{4} - {(a + \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4}$

Chứng minh tương tự, ta có:

$b (1 - b) \leq \frac{1}{4}, c (1 - c) \leq \frac{1}{4}$

Do đó:

$a (1 - a) . b (1 - b) . c (1 - c) \leq \frac{1}{64}$ , tức là (*) sai.

Câu 5:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền.

Chứng minh rằng: $a^{3} > b^{3} + c^{3}$

Xem đáp án

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông với a là cạnh huyền nên a > b và a > c.

Theo định lí Py-ta-go, ta có:

$a^{2} = b^{2} + c^{2}$

Ta có nhận xét:

$a^{3} = a^{2} . a = (b^{2} + c^{2}) . a = b^{2} . a + c^{2} . a >_{a > c}^{a > b} b^{2} . b + c^{2} . c = b^{3} + c^{3}$ , đpcm.

Bắt đầu thi ngay