11 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Bất đẳng thức cô-si có đáp án

Câu 1:

Cho $a, b > 0$ . Chứng minh rằng: $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 4$ .

Xem đáp án

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:

- Cho cặp số a, b, ta được:

$a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ (1)

- Cho cặp số $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , ta được:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{2}{\sqrt{a b}}$ (2)

Nhân hai vế tương ứng của (1), (2), ta được:

$(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \geq 2 \sqrt{a b} . \frac{2}{\sqrt{a b}} = 4$ , đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi: $\{\begin{cases} a = b \\ \frac{1}{a} = \frac{1}{b} \end{cases} \Leftrightarrow a = b$

Câu 2:

Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Ta có:

$\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = (\frac{a}{b + c} + 1) + (\frac{b}{c + a} + 1) + (\frac{c}{a + b} + 1) - 3 = (a + b + c) (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b}) - 3 = \frac{1}{2} [(a + b) + (b + c) + (c + a)] [\frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} + \frac{1}{a + b}] - 3 \geq \frac{1}{2} .3 \sqrt[3]{(a + b) (b + c) (c + a)} .3 \frac{1}{\sqrt[3]{(a + b) (b + c) (c + a)}} - 3 = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $\{\begin{cases} a + b = b + c = c + a \\ \frac{1}{a + b} = \frac{1}{b + c} = \frac{1}{c + a} \end{cases} \Leftrightarrow a = b = c$ .

Câu 3:

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: $a b (a + b - 2 c) + b c (b + c - 2 a) + c a (c + a - 2 b) \geq 0$

Xem đáp án

Biến đổi bất phương trình về dạng:

$\frac{a + b - 2 c}{c} + \frac{b + c - 2 a}{a} + \frac{c + a - 2 b}{b} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} \geq 6$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho VT, ta được:

$\Leftrightarrow \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} \geq 6. \sqrt[6]{\frac{a}{c} . \frac{b}{c} . \frac{b}{a} . \frac{c}{a} . \frac{c}{b} . \frac{a}{b}} = 6$ , đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{a}{c} = \frac{b}{c} = \frac{b}{a} = \frac{c}{a} = \frac{c}{b} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow a = b = c$

Câu 4:

Cho $a, b > 0, m \in ℕ^{*}$ . Chứng minh rằng: ${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m + 1}$

Xem đáp án

Ta có:

$(1 + \frac{a}{b}) \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b}} \Leftrightarrow {(1 + \frac{a}{b})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} (1 + \frac{b}{a}) \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a}} \Leftrightarrow {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}}$

Suy ra:

${(1 + \frac{a}{b})}^{m} + {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \geq 2^{m} \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} + 2^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}} \geq 2. \sqrt{2^{m} . \sqrt{{(\frac{a}{b})}^{m}} {.2}^{m} \sqrt{{(\frac{b}{a})}^{m}}} = 2^{m + 1}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $\{\begin{cases} 1 = \frac{a}{b} \\ 1 = \frac{b}{a} \\ {(1 + \frac{a}{b})}^{m} = {(1 + \frac{b}{a})}^{m} \end{cases} \Leftrightarrow a = b$

Câu 5:

Cho hai số $a, b \geq 0$ .

a. Nếu $a + b = k - c o n s t$ , tính giá trị lớn nhất của ab.

Xem đáp án

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $a + b \geq 2 \sqrt{a b} \Leftrightarrow a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} = \frac{k^{2}}{4}$

Từ đó suy ra ${(a b)}_{M a x} = \frac{k^{2}}{4}$ , đạt được khi $a = b = \frac{k}{2}$ .

Câu 6:

b. Nếu $a b = k - c o n s t$ , tính giá trị nhỏ nhất của a + b.

Xem đáp án

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: $a + b \geq 2 \sqrt{a b} = 2 \sqrt{k}$

Từ đó suy ra ${(a + b)}_{M i n} = 2 \sqrt{k}$ , đạt được khi $a = b = \frac{k}{2}$

Câu 7:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

y = \frac{x}{3} + \frac{15}{x}

, với x > 0.

Xem đáp án

Với $x > 0$ , ta được $\frac{x}{3}, \frac{15}{x} > 0$ .

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

$y = \frac{x}{3} + \frac{12}{x} \geq 2. \sqrt{\frac{x}{3} . \frac{12}{x}} = 4$

Từ đó suy ra $y_{M i n} = 4$ , đạt được khi:

$\frac{x}{3} = \frac{12}{x} \Leftrightarrow x^{2} = 36 \Leftrightarrow x = 6 (x > 0)$

Câu 8:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: $y = x^{3} + \frac{3}{x^{2}}$ , với x > 0

Xem đáp án

Biến đổi: $y = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \geq 5 \sqrt[5]{\frac{1}{2} x^{3} . \frac{1}{2} x^{3} . \frac{1}{x^{2}} . \frac{1}{x^{2}} . \frac{1}{x^{2}}} = \frac{5}{\sqrt[5]{4}}$

Từ đó suy ra $y_{M i n} = \frac{5}{\sqrt[5]{4}}$ , đạt được khi:

$\frac{1}{2} x^{3} = \frac{1}{2} x^{3} = \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \Leftrightarrow x^{5} = 2 \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{2}$

Câu 9:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y = (x + 2) (3 - x)$ , với $- 2 \leq x \leq 3$

Xem đáp án

Với $- 2 \leq x \leq 3$ , ta được $x + 2 \geq 0$ và $3 - x \geq 0$ .

Do đó sử dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:

$y = (x + 2) (3 - x) \leq {[\frac{(x + 2) + (3 - x)}{2}]}^{2} = \frac{25}{4}$

Từ đó suy ra $y_{M a x} = \frac{25}{4}$ , đạt được khi:

$x + 2 = 3 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Câu 10:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: $y = x {(1 - x)}^{3}$ , với $0 \leq x \leq 1$ .

Xem đáp án

Biến đổi: $y = x {(1 - x)}^{3} = \frac{1}{3} .3 x {(1 - x)}^{3} = \frac{1}{3} .3 x (1 - x) (1 - x) (1 - x)$ ,

Rồi áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số không âm gồm 3x và 3 số 1 - x, ta được:

$y \leq \frac{1}{3} . {[\frac{3 x + (1 - x) + (1 - x) + (1 - x)}{4}]}^{4} = \frac{1}{3} . {(\frac{3}{4})}^{4} = \frac{3^{3}}{4^{4}}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi: $3 x = 1 - x = 1 - x = 1 - x \Leftrightarrow x = \frac{1}{4}$

Câu 11:

Giải phương trình:

\frac{3}{|x + 1|} + \frac{|x + 1|}{3} = 2

Xem đáp án

Điều kiện $x \neq - 1$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được:

$V T = \frac{3}{|x + 1|} + \frac{|x + 1|}{3} \geq 2. \sqrt{\frac{3}{|x + 1|} . \frac{|x + 1|}{3}} = 2 = V P$ .

Vậy phương trình tương đương với:

$\frac{3}{|x + 1|} = \frac{|x + 1|}{3} \Leftrightarrow 9 = {(x + 1)}^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 1 = 3 \\ x + 1 = - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = - 4 \end{array}$

Vậy, phương trình có 2 nghiệm x = 2 và x = -4.