5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1. Chứng minh hệ thức

Bài tập Toán 8 Chủ đề 1 và 2: Tổng hợp định lí ta-lét, tam giác đồng dạng và các bài toán liên quan có đáp án

Dạng 1. Chứng minh hệ thức

1179 lượt thi
5 câu hỏi
45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: $A E^{2} = E K . E G$

Xem đáp án

Vì $A D / / B K \Rightarrow \frac{E K}{A E} = \frac{E B}{E D}$ (1)

Vì $A B / / D G \Rightarrow \frac{A E}{E G} = \frac{E B}{E D}$ (2)

Từ (1) và (2) có: $\frac{E K}{A E} = \frac{E B}{E D} = \frac{A E}{E G} \Rightarrow A E^{2} = E K . E G$

Vậy $A E^{2} = E K . E G$

Câu 2:

Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng:

\frac{1}{A E} = \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G}

Xem đáp án

Vì $A D / / B K \Rightarrow \frac{A E}{A K} = \frac{D E}{D B} A B / / D G \Rightarrow \frac{A E}{A G} = \frac{B E}{B D}$ ;

nên $\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} = \frac{D E}{B D} + \frac{B E}{B D} = \frac{B D}{B D} = 1 \Rightarrow \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G} = \frac{1}{A E}$

Vậy $\frac{1}{A K} + \frac{1}{A G} = \frac{1}{A E}$ .

Câu 3:

Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.

Xem đáp án

Đặt $A B = a, A D = b$

Vì $A B / / C G \Rightarrow \frac{B K}{K C} = \frac{A B}{C G} = \frac{a}{C G}; A D / / C K \Rightarrow \frac{K C}{A D} = \frac{C G}{D G} = \frac{K C}{b}$ ; nên $\frac{B K}{a} = \frac{b}{D G}$

$\Rightarrow B K . D G = a . b$ (hằng số).

Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.

Câu 4:

Cho hình thang ABCD có $A B = a, C D = b$ . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng $\frac{1}{O E} = \frac{1}{O G} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .

Xem đáp án

Vì $O E / / A B$ nên $\frac{O E}{A B} = \frac{D E}{D A} \Leftrightarrow \frac{O E}{a} = \frac{D E}{D A}$ (theo hệ quả định lý Ta-lét) (1).

Vì $O E / / C D$ nên $\frac{O E}{D C} = \frac{A E}{D A} \Leftrightarrow \frac{O E}{b} = \frac{A E}{D A}$ (theo hệ quả định lý Ta-lét) (2).

Từ (1) và (2) ta được

$\frac{O E}{a} + \frac{O E}{b} = \frac{D E}{D A} + \frac{A E}{D A} = 1 \Leftrightarrow O E (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{O E}$

Tương tự có: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{O G}$

Vậy $\frac{1}{O E} = \frac{1}{O G} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ .

Câu 5:

Cho hình thang ABCD ( $A B / / C D$ ). Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho $\frac{D E}{D A} = \frac{B F}{B C} = \frac{1}{3}$ . Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EF với BD, AC.

Chứng minh rằng EM=NF.

Xem đáp án

Kẻ $A A^{'}, C C^{'}, E E^{'}, F F^{'}$ vuông góc với BD ( $A^{'}, C^{'}, E^{'}, F^{'}$ thuộc BD).

Vì $E E^{'} / / A A^{'}$ (cùng vuông góc với BD)

$\Rightarrow \frac{E E^{'}}{A A^{'}} = \frac{D E}{D A} = \frac{1}{3} \Rightarrow E E^{'} = \frac{1}{3} A A^{'}$

Tương tự có: $F F^{'} = \frac{1}{3} C C^{'}$

Vì $C C^{'} / / A A^{'}$ (cùng vuông góc với BD)

$\Rightarrow \frac{A A^{'}}{C C^{'}} = \frac{O A}{O C}$

Vì $E E^{'} / / F F^{'}$ (cùng vuông góc với BD)

\Rightarrow \frac{E M}{M F} = \frac{E E^{'}}{F F^{'}} = \frac{\frac{1}{3} A A^{'}}{\frac{1}{3} C C^{'}} = \frac{A A^{'}}{C C^{'}} = \frac{O A}{O C}

(1)

Tương tự $\frac{F N}{N E} = \frac{O B}{O D}$ (2)

Măt khác vì $A B / / C D \Rightarrow \frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}$ (3)

Từ (1), (2), (3) có $\frac{E M}{M F} = \frac{F N}{N E} \Rightarrow \frac{E M}{E M + M F} = \frac{F N}{F N + N E} \Rightarrow \frac{E M}{E F} = \frac{F N}{E F} \Rightarrow E M = F N$ .

Vậy $E M = N F$

Bắt đầu thi ngay