5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2. Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Bài tập Toán 8 Chủ đề 1 và 2: Tổng hợp định lí ta-lét, tam giác đồng dạng và các bài toán liên quan có đáp án

Dạng 2. Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc

1181 lượt thi
5 câu hỏi
45 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).

Tính cạnh hình thoi biết AB= c, BC=a.

Xem đáp án

Gọi độ dài cạnh hình thoi là x.

Vì $E D / / B C$ nên $\frac{E D}{B C} = \frac{A E}{A B}$ (hệ quả định lý Ta-lét)

$\Rightarrow \frac{x}{a} = \frac{c - x}{c} \Leftrightarrow c x = a (c - x) \Leftrightarrow c x = a c - a x$

$\Leftrightarrow (a + c) x = a c \Leftrightarrow x = \frac{a c}{a + c}$

Vậy $x = \frac{a c}{a + c}$ .

Câu 2:

Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).

Chứng minh

B D < \frac{2 a c}{a + c}

với AB= c, BC=a.

Xem đáp án

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho $B K = B A$ .

Ta có tam giác ABK cân tại B nên $\hat{B K A} = \hat{B A K} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ (tính chất góc ngoài tam giác).

Mà $\hat{E B D} = \hat{D B F} = \frac{1}{2} \hat{A B C} \Rightarrow \hat{A K B} = \hat{D B F} \Rightarrow B D / / A K \Rightarrow \frac{B D}{A K} = \frac{C B}{C K}$ (hệ quả định lý Ta-lét)

$\Rightarrow \frac{B D}{A K} = \frac{C B}{B C + B K} = \frac{a}{a + c}$ (1)

Trong tam giác ABK có:

$A K < A B + B K = c + c = 2 c$ (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2).

Từ (1) và (2) có: $B D < \frac{a}{a + c} .2 c = \frac{2 a c}{a + c}$

Vậy $B D < \frac{2 a c}{a + c}$ .

Câu 3:

Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).

Tính độ dài AB, BC, biết AD=m, DC=n, DE=d.

Xem đáp án

Vì $E D / / B C$ nên $\frac{E D}{B C} = \frac{A D}{A C}$ (hệ quả định lý Ta-lét)

Tương tự có $A B = \frac{d (m + n)}{n}$

Vậy $B C = \frac{d (m + n)}{m}$ và $A B = \frac{d (m + n)}{n}$ .

Câu 4:

Cho tam giác ABC, $P Q / / B C$ với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết $P Q = a, F E = b$ . Tính độ dài của BC.

Xem đáp án

Định hướng

Sau khi vẽ hình ta thấy hình thang PQCB có đủ các điều kiện của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1. Do đó ta có thể sử dụng kết quả của Ví dụ 2 để giải quyết bài toán.

Lời giải

Đặt $B C = x$ .

Áp dụng kết quả của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1 ta có:

$\frac{1}{G E} = \frac{1}{G F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{x} \Rightarrow G E = G F = \frac{a x}{a + x}$

$\Rightarrow G E + G F = 2 \frac{a x}{a + x} \Leftrightarrow E F = \frac{2 a x}{a + x} \Leftrightarrow b = \frac{2 a x}{a + x}$

$\Leftrightarrow a b + b x - 2 a x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a b}{2 a - b}$

Vậy $B C = \frac{a b}{2 a - b}$ .

Câu 5:

Trên cạnh BC của hình vuông ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho $C F = 3$ . Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho . Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC.

Xem đáp án

Gọi H là giao điểm của CM và AB, G là giao điểm của AM và DF.

Vì $A B / / C G$ nên $\frac{A B}{C G} = \frac{B E}{E C} = \frac{B E}{B C - B E} = \frac{2}{6 - 2} = \frac{1}{2}$ (hệ quả định lý Ta-lét)

$\Rightarrow C G = 2 A B = 2.6 = 12 \Rightarrow F G = C G - C F = 12 - 3 = 9$

Vì $A H / / C G$ nên $\frac{B H}{A B} = \frac{C F}{F G}$

$\Rightarrow \frac{B H}{6} = \frac{3}{9} \Rightarrow B H = 6. \frac{3}{9} = 2 \Rightarrow B H = B E$

Xét $Δ B A E$ và $Δ B C H$ có:

$\{\begin{cases} B E = B H (theo treân) \\ \hat{A B E} = \hat{C B H} = 90 ° \\ A B = B C (tính chát hình vuong) \end{cases}$

$\Rightarrow Δ B A E = Δ B C H (c . g . c) \Rightarrow \hat{B E A} = \hat{B H C} \Rightarrow \hat{A M C} = \hat{M A H} + \hat{A H M} = \hat{M A H} + \hat{A E B} = 90 °$

Vậy $\hat{A M C} = 90 °$ .

Bắt đầu thi ngay