Ta cần nhớ định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Ta cần nhớ định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Ta cần nhớ định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

+ Hình vuông là hình có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau

⇒ Hình vuông là đa giác đều.

⇒ Đáp án A đúng.

+ Hình thoi là hình có 4 cạnh bằng nhau nhưng 4 góc không bằng nhau.

⇒ Hình thoi không phải là đa giác đều.

⇒ Đáp án C sai.

+ Tổng số đo các góc của đa giác n cạnh là ( n - 2 ).180⁰.

Khi đó tổng các góc của đa giác lồi 8 cạnh là ( 8 - 2 ).180⁰ = 1080⁰.

⇒ Đáp án B đúng.

+ Số đo của một góc của đa giác đều n cạnh là $\frac{(\mathrm{n}-2).{180}^{\mathrm{o}}}{\mathrm{n}}$

Khi đó số đo của hình bát giác đều là $\frac{(8-2).{180}^{\mathrm{o}}}{8}$ = 135⁰.

⇒ Đáp án D sai.

Số đường chéo của đa giác n cạnh là $\frac{\mathrm{n}.(\mathrm{n}-3)}{2}$

Khi đó số đường chéo của đa giác 7 cạnh là $\frac{7.(7-3)}{2}$ = 14 (đường chéo)

Số đường chéo của đa giác n cạnh là $\frac{\mathrm{n}.(\mathrm{n}-3)}{2}$. ( n ∈ N, n ≥ 3 )

Theo giả thiết ta có $\frac{\mathrm{n}.(\mathrm{n}-3)}{2}$ = n ⇔ n( n - 3 ) = 2n ⇔ n² - 3n - 2n = 0

⇔ n² - 5n = 0 ⇔ n( n - 5 ) = 0 ⇔

So sánh điều kiện ta có n = 5 thỏa mãn.

Công thức diện tích hình chữ nhật là S_hcn = a.b

Trong đó : a là chiều dài, b là chiều rộng

Theo giả thiết: S_{ban đầu} = a.b

Khi đó ta có: S_sau = 4b.$\frac{1}{2}$.a = 2a.b = 2S_{ban đầu}

Do đó, diện tích sau tăng lên 2 lần.

Công thức diện tích hình chữ nhật là S_hcn = a.b

Trong đó : a là chiều dài, b là chiều rộng

Khi đó ta có: S_hcn = 4. 1,5 = 6( cm² ).

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a².

Khi đó ta có S_hv = 4.4 = 16 ( cm² ).

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh: S = $\frac{1}{2}$.a.b.

Khi đó ta có S = $\frac{1}{2}$. 6. 4 = 12( cm² ).

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a².

Ngoài công thức này, diện tích hình vuông còn một công thức mở rộng là:

Diện tích hình vuông bằng nửa tích của hai đường chéo

Khi đó ta có : S = $\frac{1}{2}$. 6. 6 = 18( cm² ).

Ta có diện tích của tam giác: S = $\frac{1}{2}$.a.h.

Trong đó: a là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao

Ta có: S_AHB + S_AHC = S_ABC ⇒ S_AHB = S_ABC - S_AHC

Ta có diện tích của tam giác: S = $\frac{1}{2}$b.h.

Trong đó: b là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao

Khi đó ta có :

S = $\frac{1}{2}$.AH.BC = $\frac{1}{2}.\frac{2}{3}$.BC.BC = $\frac{1}{3}$.BC².

Ta có diện tích Δ ABC là S = $\frac{1}{2}$AH.BC = $\frac{1}{2}$.6.4 = 12( cm² ).

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có AB² + AC² = BC² ⇒ AC = √ (BC² - AB²)

⇒ AC = √ (5² - 4²) = 3cm.

Khi đó S_ABC = $\frac{1}{2}$AB.AC = 1/2.4.3 = 6( cm$\frac{1}{2}$² )

Chọn đáp án A.

Chọn đáp án B.

Ta có: S = $\frac{1}{2}$( a + b ).h

Khi đó ta có:

= 3√ 2 .( √ 2 + 3/2 ) = 3( 2 +$\frac{3}{2\sqrt{2}}$)cm²

Diện tích của hình thang là S = $\frac{1}{2}$( a + b ).h

⇒ ( a + b ).h = 2S ⇔ h = $\frac{2\mathrm{S}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$.

Khi đó, chiều cao của hình thang là h = $\frac{2.15}{6+4}$ = 3( cm ).

Chọn đáp án B.

Ta có : S = a.h

Khi đó ta có: S = 4.2 = 8( cm² ).

Chọn đáp án D.

Xét hình thang ABCD

Từ B kẻ BH ⊥ CD, khi đó ta được hình chữ nhật ABHD ⇒ AB = DH = 2cm

⇒ HC = CD - DH = 4 - 2 = 2cm.

+ Xét Δ BDC có BH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

⇒ Δ BDC là tam giác cân tại     B.

Mà BCDˆ = 45⁰ ⇒ BDCˆ = 45⁰

⇒ DˆBC = 180⁰ - ( BCDˆ + BDCˆ ) = 180⁰ - 90⁰ = 90⁰.

⇒ Δ BDC là tam giác vuông cân tại B nên BH = $\frac{1}{2}$DC = 2cm.

Do đó

Diện tích của hình thoi là S = $\frac{1}{2}$d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

Diện tích của hình thoi là S = $\frac{1}{2}$d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

Khi đó, diện tích của hình thoi là S_{hình thoi} = $\frac{1}{2}$.8.10 = 40( cm² )

Diện tích của hình thoi là S = $\frac{1}{2}$d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ lần lượt là độ dài hai đường chéo.

Khi đó, diện tích của hình thoi là S_{hình thoi} = $\frac{1}{2}$. a√ 2 . a√ 3 = $\frac{{\mathrm{a}}^2\sqrt{6}}{2}$( cm² )

Xét hình thoi ABCD có BACˆ = 60⁰.

Ta có

⇒ Δ ABD đều

⇒ AB = AD = BD = 4cm

Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

Áp dụng định lí Py – ta – go ta có:

AH² + HB² = AB² ⇒ AH = √ (AB² - HB²)

⇒ AC = 2AH = 4√ 3 ( cm )

Do đó S_ABCD = $\frac{1}{2}$AC.BD = $\frac{1}{2}$.4√ 3 .4 = 8√ 3 ( cm² )

a) Tổng số đo các góc của đa giác n cạnh là ( n - 2 ).180⁰.

Tổng số đo của đa giác 14 cạnh là ( 14 - 2 ).180⁰ = 2160⁰.

b) Số đo của một góc của đa giác đều n cạnh là

Số đo một góc của đa giác 14 cạnh là

c) Số đường chéo của đa giác n cạnh là

Số đường chéo của đa giác 14 cạnh là đường chéo

Gọi chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật lần lượt là a,b

Diện tích hình chữ nhật là S_hcn = a.b.

a) Nếu chiều dài tăng lên 2 lần, chiều rộng không đổi thì khi đó chiều dài, chiều rộng mới là là 2a và b

Diện tích hình chữ nhật mới là S_m = 2a.b = 2S.

⇒ Diện tích hình chữ nhật tăng lên 2 lần.

b) Nếu chiều dài và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chiều dài, chiều rộng mới là 3a,3b

Diện tích hình chữ nhật mới là S_m = 3a.3b = 9S.

⇒ Diện tích hình chữ nhật tăng lên 9 lần.

c) Nếu chiều dài tăng 4 lần, chiều rộng giảm đi 4 lần thì chiều dài, chiều rộng mới là 4a, $\frac{1}{4}$b

Diện tích hình chữ nhật mới là S_m = 4a. $\frac{1}{4}$b = ab = S.

⇒ Diện tích hình chữ nhật không đổi.

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là a,b ( a > 0, b > 0 ). Khi đó diện tích của hình chữ nhật là S_hcn = a.b

a) Theo bài ra ta có: x.y = 28    ( 1 ) và x² = 16 = 4² ⇔ x = 4 (vì x > 0 ), trường hợp y² = 16 tương tự.

Thay x = 4 vào đẳng thức ( 1 ) ta có: 4y = 28 ⇔ y = 7.

Với x = 4, y = 7 thỏa mãn yêu cầu điều kiện.

Vậy hai kích thức của hình chữ nhật là 4cm, 7cm

b) Theo bài ra ta có $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{y}}=\frac{4}{9}$ ( 2 ) và x.y = 144    ( 3 )

Nhân theo vế đẳng thức ( 2 ) với ( 3 ) ta được x² = 8² ⇔ x = 8 (vì x > 0 )

Thay x = 8 vào đẳng thức ( 3 ) ta được 8y = 144 ⇔ y = 18.

Với x = 8, y = 18 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy kích thức của hình chữ nhật là 8cm, 18cm.

Xét Δ ABC cân tại A có AB = AC = b, BC = a.

Từ A kẻ AH ⊥ BC.

Ta có BH = HC = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{\mathrm{a}}{2}$

Khi đó ta có: S_ABC = $\frac{1}{2}$AH.BC = $\frac{1}{2}$.a.AH

Áp dụng định lý Py – to – go ta có:

AC² = AH² + HC² ⇒ AH = √ (AC² - HC²) .

Khi đó S_ABC = $\frac{1}{2}$AH.BC

Do đó diện tích của tam giác đều các cạnh bằng a là

Xét Δ ABC cân tại A có BC = 30( cm )

⇒ BH = CH = 15( cm ).

Áp dụng đinh lý Py – ta – go ta có:

AB = √ (AH² + HB²) = √ (20² + 15²) = 25( cm )

Kẻ BK ⊥ AC, giờ ta phải tính BK = ?

Ta có : S_ABC = $\frac{1}{2}$.AH.BC = $\frac{1}{2}$.20.30 = 300 ( cm² )

Mặt khác S_ABC = $\frac{1}{2}.$BK.AC = $\frac{1}{2}$.BK.25

Do đó, ta có $\frac{1}{2}$.BK.25 = 300 ⇔ BK = $\frac{2.300}{25}$ = 24( cm ).

Theo bài ra ta có S_ABCD = AB.BC = 23.BC = 828 ⇒ BC = 36 ( cm )

Khi đó ta có

Vậy diện tích hình thang ABED là 972( cm² )

Công thức diện tích của hình thoi là S = $\frac{1}{2}$.d₁.d₂

Trong đó d₁,d₂ là độ dài của hai đường chéo.

Khi đó diện tích hình thoi cần tìm là: S = $\frac{1}{2}$.10.12 = 60( cm² )

Vậy diện tích hình thoi cần tìm là 60( cm² )

Nhận thấy: Hình vuông và hình ngũ giác đều thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Ta chứng minh đa giác có số cạnh lớn hơn 5 không thỏa mãn yêu cầu của bài toán bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử tồn tại đa giác AA₁A₂ ... A_n với n ≥ 6 có các đường chéo có độ dài bằng nhau.

⇒ A₁A₄ = A₂A₅ vì chúng là các đường chéo.

Xét tứ giác A₁A₂A₄A₅, có các đoạn thẳng A₁A₄,A₂A₅ là các đường chéo; còn A₁A₅,A₂A₄ là các cạnh của tứ giác nên tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối.

Hay A₁A₅ + A₂A₄ < A₁A₄ + A₂A₅ mẫu thuẫn với giải thiết quy nạp vì A₁A₅,A₂A₄ cũng là hai đường chéo của đa giác.

⇒ Giả thiết đưa ra là sai.

Vậy đa giác có số cạnh lớn hơn 5 thì không thỏa mãn yêu cầu bài.

Theo giả thiết ta có FG//AD, HK//AB nên HE//AF và AH//EF.

Xét tứ giác AFEH có:

⇒ AFEH là hình bình hành.

Mà Aˆ = 90⁰ ⇒ AFEH là hình chữ nhật.

⇒ Δ AFE = Δ AHE ( c - g - c ) → S_AFE = S_AHE.

Tương tự: S_EKC = S_EGC; S_ABC = S_ADC

⇒ S_ABC - S_AFE - S_EKC = S_ADC - S_AHE - S_EGC hay S_EFBK = S_EHDG.

Đặt S_DEG = a. Ta cần chứng minh:

S_CEG = 2a; S_CED = 3a; S_ABG = 4a; S_ABE = 6a; S_ABC = 12a

Đường trung tuyến AD và BE cứt nhau tại G nên G là trọng tâm của Δ ABC

⇒ Khoảng cách từ G đến các đỉnh của tam giác bằng $\frac{2}{3}$ độ dài các đường trung tuyến tương ứng.

Ta có S_BDG = 2S_DGE = 2a (vì chung đường cao kẻ từ D xuống BE và BG = 2GE )

S_BDG = S_CGD = 2a (vì chung đường cao kẻ từ G xuống BC và BD = DC )

Do đó S_BDC = S_BDG + S_CGD = 2a + 2a = 4a.

Lại có S_CEG = $\frac{1}{2}$S_BGC = $\frac{1}{2}$.4a = 2a (vì chung đường cao kẻ từ C xuống BE và BG = 2GE )

+ S_EDC = S_EBD = 2a + a = 3a (vì chung đường cao kẻ từ E xuống BC và BD = DC )

+ S_AGB = 2S_GBD = 4a (vì chung đường cao kẻ từ B xuống AD và AG = 2GD )

+ S_AEB = $\frac{3}{2}$S_AGB = $\frac{3}{2}$.4a = 6a (vì chung đường cao kẻ từ A xuống BE và BE = $\frac{3}{2}$BG )

+ S_ABC = 2S_ABE = 2.6a = 12a.

Đặt S_ABC = 9a. Ta có:

+ S_ABE = $\frac{1}{3}$S_ABC = $\frac{1}{3}$.9a = 3a (vì chung đường cao kẻ từ A xuống BC và BC = 3BE)

+ S_ADE = $\frac{1}{3}$S_ABE = $\frac{1}{3}$.3a = a (vì chung đường cao kẻ từ E xuống AB và AB = 3AD )

Do đó S_BDE = S_ABE - S_ADE = 3a - a = 2a.

Tương tự: S_ADF = S_CEF = 2a

Vậy S_DEF = 9a - 6a = 3a hay S_ABC = 3S_DEF.

Gọi diện tích ABC, ABH,BCH,CAH lần lượt là S,S₁,S₂,S₃.

Ta có S = S₁ + S₂ + S₃.

+ Các tam giác ABC và ABH có chung đáy AB nên tỉ số đường cao bằng tỉ số diện tích:

+ Tương tự:

Khi đó ta có

Xét tam giác ABC có BC = a, AC = b

Kẻ AH ⊥ BC thì AH và AC lần lượt là đường xiên.

Đường vuông góc kẻ từ A ở ngoài đường thẳng BC đến đường thẳng đó nên đường AH là đường ngắn nhất hay AH ≤ AC.

Khi đó ta có:

Mặt khác ta có:

+ 4ab = ( a + b )² - ( a - b )² ≤ ( a + b )²    ( 1 )

+ 2( a² + b² ) = ( a + b )² + ( a - b )² ≥ ( a + b )²     ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ), ta có: 4ab ≤ 2( a² + b² ) ⇒

Hay (đpcm)

Xét hình thang ABCD ( AB//CD ) có AC ⊥ BD và AC = 6dm, BD = 3,6dm.

Kẻ đường cao BH của hình thang.

Ta có

Kẻ BE//AC thì BD ⊥ BE thì hình thang ABEC có hai cặp cạnh đối song song → ABEC là hình bình hành.

Do đó, ta có: CD + AB = CD + CE = DE

Khi đó ta có

⇒ S là diện tích của tam giác DBE vuông tại B.

Khi đó S = $\frac{1}{2}$BD.BE = $\frac{1}{2}$.3,6. 6 = 10,8( dm² )

Vậy diện tích của hình thang là 10,8( dm² )

Xét hình bình bình ABCD có AB = CD = 8( cm ) và AD = BC = 6( cm )

Từ A kẻ các đường cao AH,AK.

Khi đó ta có:

+ S_hbh = AH.CD = 8.AH

+ S_hbh = AK.BC = 6.AK

Mà một hình bình hành thì chỉ có một diện tích chung nên 8.AH = 6.AK

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AH = 5( cm ) thì:

8.5 = 6.AK ⇔ AK = $\frac{8.5}{6}$ = $\frac{20}{3}$ ( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

Nếu độ dài đường cao thứ nhất là AK = 5( cm ) thì:

8.AH = 6.5 ⇔ AH = $\frac{6.5}{8}$ = $\frac{15}{4}$ ( cm ) là độ dài đường cao thứ hai.

Vậy bài toán này có hai đáp số

Gọi H là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

Theo giải thiết ta có: AC + BD = 46( cm )

⇔ ( HB + HD ) + ( HC + HA ) = 46

⇔ 2HB + 2HA = 46 ⇔ HA + HB = 23

Khi đó ta có: HA + HB = 23 ⇔ ( HA + HB )² = 23²

⇔ HA² + 2HA.HB + HB² = 23²    ( 1 )

Mặt khác, theo định lí Py – to – go ta có: AH² + HB² = AB² = 17²    ( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có: 17² + 2HA.HB = 23² ⇒ HA.HB = $\frac{{23}^2-{17}^2}{2}$ = 120.

Hay $\frac{\mathrm{AC}}{2}.\frac{\mathrm{BD}}{2}$ = 120 ⇔ $\frac{1}{2}$.AC.BD = 240 ⇒ S_ABCD = 240( cm² )

Vậy diện tích hình thoi là 240cm².

Diện tích của hình thoi ABCD là S = $\frac{1}{2}$AC.BD

Gọi O là giao điểm của AC và BD

⇒ S = 2OA.OB

Từ giả thiết ta có hình thoi ABCD có Aˆ = 60⁰ nên Δ ABD đều

Do đó Δ ABO là nửa tam giác đều có BO = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{6}{2}$ = 3( cm ).

Áo dụng định lí Py – to – go ta có:

AB² = AO² + BO² ⇒ AO = √ (AB² - BO²) = √ (6² - 3²) = 3√ 3 ( cm )

Khi đó ta có: S = 2OA.OB = 2.3√ 3 .3 = 18√ 3 ( cm² )

Vậy diện tích hình thoi là 18√ 3 ( cm² )