Đáp án A

Ta có |2 + 3x| = |4x – 3| $\iff \left[\begin{array}{l}2+3x=4x-3\\ 2+3x=3-4x\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=5\\ 7x=1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=5\\ x=\frac{1}{7}\end{array}\right.$

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là $x=\frac{1}{7}$

Đáp án A

Ta có |5 – 2x| = |x – 1| $\iff \left[\begin{array}{l}5-2x=x-1\\ 5-2x=1-x\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{l}5-2x=x-1\\ 5-2x=1-x\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=2\\ x=4\end{array}\right.$

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là x = 2

Đáp án D

TH1: |3x – 1| = 3x – 1 khi |3x – 1| ≥ 0 $\iff$ 3x ≥ 1 $\iff x \ge \frac{1}{3}$

Phương trình đã cho trở thành 3x – 1 = x + 4

$\iff$ 2x = 5 $\iff x =\frac{5}{2}$ (TM)

TH2: |3x – 1| = 1 – 3x khi 3x – 1 < 0 $\iff x < \frac{1}{3}$

Phương trình đã cho trở thành 1 – 3x = x + 4

$\iff$ 4x = -3 $\iff x =-\frac{3}{4}$ (TM)

Vậy $S =\left\{\frac{-3}{4};\frac{5}{2}\right\}$

Tổng các nghiệm của phương trình là $\frac{-3}{4}+\frac{5}{2}=\frac{7}{4}$

Đáp án A

Ta có |1 – x| - |2x – 1| = x – 2 (1)

Xét: +) 1 – x = 0 $\iff$ x = 1

+) 2x – 1 = 0 $\iff x = \frac{1}{2}$

Ta có bảng xét dấu đa thức 1 – x và 2x – 1 dưới đây

Từ bảng xét dấu ta có:

TH1: $x <\frac{1}{2}$ khi đó |2x – 1| = 1 – 2x; |1 – x| = 1 – x nên phương trình (1) trở thành

1 – x – (1 – 2x) = x – 2 $\iff$ 1 – x – 1 + 2x = x – 2 $\iff$ x = x – 2 $\iff$ 0 = - 2 (vô lý)

TH2: $\frac{1}{2} \le x \le 1$, khi đó |2x – 1| = 2x – 1; |1 – x| = 1 – x nên phương trình (1) trở thành 1 – x – (2x – 1) = x – 2 $\iff$ -3x + 2 = x – 2 $\iff$ -4x = -4 $\iff$ x = 1 (TM)

TH3: x > 1, khi đó |2x – 1| = 2x – 1; |1 – x| = x – 1 nên phương trình (1) trở thành x – 1 – (2x – 1) = x – 2 $\iff$ -x  = x – 2 $\iff$ 2x = 2 $\iff$ x = 1 (KTM)

Vậy phương trình có một nghiệm  x = 1

Đáp án A

Ta có:

+) x + 1 = 0 $\iff$ x = -1

+) x + 2 = 0 $\iff$ x = -2

Ta có bảng:

TH2: x < -2 ta có

|x + 1| - |x + 2| = x + 3

$\iff$ (-x – 1) – (-x – 2) = x + 3

$\iff$ 1 = x + 3

$\iff$ x = -2 (KTM)

TH2: -2 ≤ x ≤ -1 ta có

|x + 1| - |x + 2| = x + 3

$\iff$ (-x – 1) – (x + 2) = x + 3

$\iff$ -x – 1 – x – 2 = x + 3

$\iff$ -2x -3 = x + 3

$\iff$ -3x = 6

$\iff$ x = -2 (TM)

TH3: x > -1 ta có

|x + 1| - |x + 2| = x + 3

$\iff$ (x + 1) – (x + 2) = x + 3

$\iff$ x + 1 – x – 2 = x + 3

$\iff$ -1 = x + 3

$\iff$ x = -4 (KTM)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -2

Đáp án C

+) Xét phương trình 4|2x – 1| + 3 = 15 (1)

TH1: |2x – 1| = 2x – 1 khi $x \ge \frac{1}{2}$

Phương trình (1) trở thành 4(2x – 1) + 3 = 15

$\iff$ 4(2x – 1) = 12 $\iff$ 2x – 1 = 3

$\iff$ x = 2 (TM)

TH2: |2x – 1| = 1 – 2x khi $x < \frac{1}{2}$

Phương trình (1) trở thành 4(1 – 2x) + 3 = 15

$\iff$ 4(1 – 2x) = 12 $\iff$ 1 – 2x = 3

$\iff$ x = -1 (TM)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = -1; x = 2

+) Xét phương trình |7x + 1| - |5x + 6| = 0

$\iff$ |7x + 1| = |5x + 6|

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}7x+1=5x+6\\ 7x+1=-(5x+6)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}2x=5\\ 12x=-7\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ x=-\frac{7}{12}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm là $x=\frac{5}{2};x=-\frac{7}{12}$

Đáp án C

+) Xét phương trình 4|2x – 1| + 3 = 15 (1)

TH1: |2x – 1| = 2x – 1 khi $x \ge \frac{1}{2}$

Phương trình (1) trở thành 4(2x – 1) + 3 = 15

$\iff$ 4(2x – 1) = 12 $\iff$ 2x – 1 = 3

$\iff$ x = 2 (TM)

TH2: |2x – 1| = 1 – 2x khi $x < \frac{1}{2}$

Phương trình (1) trở thành 4(1 – 2x) + 3 = 15

$\iff$ 4(1 – 2x) = 12 $\iff$ 1 – 2x = 3

$\iff$ x = -1 (TM)

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm nguyên x = -1; x = 2 nên A và D đúng

+) Xét phương trình |7x + 1| - |5x + 6| = 0

$\iff$ |7x + 1| = |5x + 6|

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{l}7x+1=5x+6\\ 7x+1=-(5x+6)\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{l}2x=5\\ 12x=-7\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=\frac{5}{2}\\ x=-\frac{7}{12}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy phương trình (2) có hai nghiệm là $x=\frac{5}{2};x=-\frac{7}{12}$ nên B đúng

Dễ thấy các nghiệm của (1) không trùng với các nghiệm của (2) nên hai phương trình không tương đương hay C sai

Đáp án A

TH1: |1 – x| = 1 – x với 1 – x ≥ 0 $\iff$ x ≤ 1

Bất phương trình đã cho trở thành

1 – x ≥ 3 $\iff$ x ≤ -2, kết hợp điều kiện x ≤ 1 ta có x ≤ -2

TH2: |1 – x| = x – 1 với 1 – x < 0 $\iff$ x > 1

Bất phương trình đã cho trở thành

x – 1 ≥ 3 $\iff$ x ≥ 4, kết hợp điều kiện x > 1 ta có x ≥ 4

Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ 4, x ≤ -2

Đáp án C

TH1: 2x – 3 ≥ 0 $\iff$ 2x ≥ 3 $\iff x \ge \frac{3}{2}$ . Khi đó bất phương trình trở thành:

2x – 3 < 3 $\iff$ 2x < 6 $\iff$ x < 3

Kết hợp với $x \ge \frac{3}{2}$ ta được: $\frac{3}{2}\le x<3$

TH2: 2x – 3 < 0 $\iff x <\frac{3}{2}$. Khi đó bất phương trình trở thành:

-2x + 3 < 3 $\iff$ -2x < 0 $\iff$ x > 0

Kết hợp $x <\frac{3}{2}$ ta được $0 < x <\frac{3}{2}$.

Kết hợp nghiệm của hai trường hợp ta được:

$\left[\begin{array}{l}\frac{3}{2}\le x<3\\ 0<x<\frac{3}{2}\end{array}\right. \iff 0 < x < 3$

Vậy bất phương trình có nghiệm 0 < x < 3

Đáp án B

TH1: |x – 6| = x – 6 với x – 6 ≥ 0 $\iff$ x ≥ 6

Bất phương trình đã cho trở thành

x – 6 + 5 ≥ x $\iff$ -1 ≥ 0 (vô lý)

TH2: |x – 6| = 6 – x với x – 6 < 0 $\iff$ x < 6

Bất phương trình đã cho trở thành

6 – x + 5 ≥ x $\iff$ -2x ≥ -11 $\iff x \le \frac{11}{2}$ , kết hợp điều kiện x < 6 ta có $x \le \frac{11}{2}$

Bất phương trình có tập nghiệm $S=\left\{x \in R|x\le \frac{11}{2}\right\}$

Nghiệm nguyên dương lớn nhất thỏa mãn là x = 5

Đáp án A

TH1: -x + 2 ≥ 0 $\iff$ x ≤ 2 thì |-x + 2| = -x + 2. Khi đó:

(-x + 2) + 5 ≥ x – 2 $\iff$ -x + 7 – x + 2 ≥ 0

$\iff$ -2x + 9 ≥ 0 $\iff x \le \frac{9}{2}$

Kết hợp với x ≤ 2 ta được x ≤ 2

TH2: -x + 2 < 0 $\iff$ x > 2 thì |-x + 2| = x – 2. Khi đó

x – 2 + 5 ≥ x – 2 $\iff$ 5 > 0 (luôn đúng)

Do đó x > 2 luôn là nghiệm của bất phương trình

Vậy từ hai trường hợp ta thấy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x $\in$ R

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 1

Đáp án A

Điều kiện 209x ≥ 0 $\iff$ x ≥ 0

$$\begin{gathered} \left|x+\frac{1}{209}\right|+\left|x+\frac{2}{209}\right|+\left|x+\frac{3}{209}\right|+\mathrm{...}+\left|x+\frac{208}{209}\right|=209x \\ \iff x+\frac{1}{209}+x+\frac{2}{209}+x+\frac{3}{209}+\mathrm{...}+x+\frac{208}{209}=209x \\ \iff 208x+(\frac{1}{209}+\frac{2}{209}+\frac{3}{209}+\mathrm{...}+\frac{208}{209})=209x \\ \iff 208x+\frac{104.209}{209}=209x \\ \iff 208x +104 = 209x \\ \iff x =104 \left(TM\right) \end{gathered}$$

Vậy x = 104

Đáp án A

NX: VT ≥ 0 nên VP = 2020x – 2020 ≥ 0 $\iff$ x ≥ 1

Khi đó $x-\frac{1}{2020}>0,x-\frac{2}{2020}>0,\mathrm{...},x-\frac{2019}{2020}>0$

Phương trình trở thành

$$\begin{gathered} x-\frac{1}{2020}+x-\frac{2}{2020}+x-\frac{3}{2020}+\mathrm{...}+x-\frac{2019}{2020}=2020x-2020 \\ \iff 2019x-(\frac{1}{2020}+\frac{2}{2020}+\mathrm{...}+\frac{2019}{2020})= 2020x – 2020 \\ \iff 2019x -\frac{1+2+3+\mathrm{...}+2019}{2020}= 2020x – 2020 \\ \iff 2019x -\frac{(1+2019).2019}{2.2020}= 2020x – 2020 \\ \iff 2019x - \frac{2019}{2}= 2020x – 2020 \\ \iff 2020 - \frac{2019}{2}= 2020x – 2019x \\ \iff x=\frac{2021}{2}\left(TM\right) \end{gathered}$$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{2021}{2}$