10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để chứng minh có đáp án

Bài tập Toán 8 Chủ đề 5: Đường trung bình của tam giác, của hình thang có đáp án

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để chứng minh có đáp án

1355 lượt thi
10 câu hỏi
45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:

a) EF là đường trung bình của tam giác ABC

Xem đáp án

Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Chứng minh: a) EF là đường trung bình của tam giác ABC; (ảnh 1)

a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song song với AC. Suy ra Mx đi qua trung điểm E của AB (theo Định lí 1).

Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC. Khi đó EF trở thành đường trung bình của tam giác ABC;

Câu 2:

b) AM là đường trung trực của EF

Xem đáp án

b) Do ME và MF cũng là đường trung bình nên có ME = MF = AE = AF. Suy ra AM là đường trung trực của EF.

Câu 3:

c) DC = 4DI

Xem đáp án

c) Vì DI là đường trung bình của tam giác AEM nên DI = $\frac{1}{2}$ EM.(1)

Tương tự, ta được: EM = $\frac{1}{2}$ DC (2)

Từ (1) và (2) Þ DC = 4DI

Câu 4:

Cho tứ giác ABCD đường chéo BD là đường trung trực của AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AB. Vẽ

M E ⊥ B C

và

N F ⊥ C D (E \in B C, F \in C D)

. Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, NF và AC đồng quy

Xem đáp án

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: $A C ⊥ B D$ và OA = OC.

Xét $Δ A B D$ có MN là đường trung bình

=> MN // BD và $O A ⊥ M N$ (vì $O A ⊥ B D$ ).

Xét $Δ A B C$ có ON là đường trung bình

=> ON // BC và $O N ⊥ M E$ (vì $M E ⊥ B C$ ).

Xét $Δ A C D$ có OM là đường trung bình

=> OM // CDvà $O M ⊥ N F$ (vì $N F ⊥ C D$ ).

Xét $Δ O M N$ có OA, ME, NF là ba đường cao nên chúng đồng quy.

Câu 5:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Đường thẳng MN cắt tia AB và AC lần lượt là tại P và Q. Hỏi hai điểm D và E phải có điều kiện gì để tam giác APQ cân tại A?

Xem đáp án

Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. (ảnh 1)

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét $Δ E B C$ có OMlà đường trung bình

=> OM // CE và $O M = \frac{C E}{2}$ .

Xét $Δ D B C$ có ON là đường trung bình

=> ON // BD và $O N = \frac{B D}{2}$ .

Ta có: $\hat{M_{1}} = \hat{A Q P}, \hat{N_{1}} = \hat{A P Q}$ (so le trong).

$Δ A P Q$ cân tại $A \Leftrightarrow \hat{Q} = \hat{P} \Leftrightarrow \hat{N_{1}} = \hat{M_{1}} \Leftrightarrow O M = O N \Leftrightarrow C E = B D$ .

Câu 6:

Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên Bx và Cy.

a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang;

Xem đáp án

Cho tam giác ABC. Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang; (ảnh 1)

a) Gọi D và E thứ tự là giao điểm của AH và AK với đường thẳng BC.

$Δ A B D$ có BH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao nên là tam giác cân => HA = HD.

Tương tự, ta có: KA = KE.

Xét $Δ A D E$ có HK là đường trung

bình nên HK // DE

=> HK // BC

Do đó tứ giác BCKH là hình thang.

Câu 7:

b) Tam giác ABC phải có điều kiện gì để hình thang BCKH là hình thang cân?

Xem đáp án

b) Ta có: $\hat{H_{1}} = \hat{B_{1}}; \hat{K_{1}} = \hat{C_{1}}$ (so le trong).

Hình thang BCKH là hình thang cân $\Leftrightarrow \hat{H_{1}} = \hat{K_{1}} \Leftrightarrow \hat{B_{1}} = \hat{C_{1}}$

$\Leftrightarrow \hat{A B D} = \hat{A C E} \Leftrightarrow \hat{A B C} = \hat{A C B} \Leftrightarrow Δ A B C$ cân tại .

Câu 8:

Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến BC bằng nửa độ dài AH.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực. Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến BC bằng nửa độ dài AH. (ảnh 1)

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CA.

Gọi F và G lần lượt là trung điểm của AH và BG.

Ta có MN là đường trung bình của $Δ A B C$ , FG là đường trung bình của $Δ A B H$ .

Suy ra MN // AB và $M N = \frac{1}{2} A B$

FG = AB và $F G = \frac{1}{2} A B$ .

Do đó MN // FG và MN = FG. Dễ thấy $O M // A D, O N // B E$ .

$Δ O M N$ và $Δ H F G$ có: $M N = F G; \hat{O M N} = \hat{H F G}; \hat{O N M} = \hat{H G F}$ (hai góc có cạnh tương ứng song song).

Vậy $Δ O M N = Δ H F G (g.c.g) \Rightarrow O M = H F = \frac{A H}{2}$ .

Câu 9:

Cho tam giác ABCcân tại A, đường cao AH và đường phân giác BD. Biết rằng $A H = \frac{1}{2} B D$ , tính số đo các góc của tam giác ABC

Xem đáp án

Cho tam giác ABCcân tại A, đường cao AH và đường phân giác BD. Biết rằng AH = 1/2BD, tính số đo các góc của tam giác ABC (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BD thì: $M D = \frac{1}{2} B D = A H$ .

$Δ A B C$ cân tại A, AH là đường cao nên HB = HC.

Ta có HM là đường trung bình của $Δ B C D \Rightarrow H M // A C$ .

Hình thang HMAD có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.

$Δ A D H = Δ D A M (c . c . c) \Rightarrow \hat{A_{1}} = \hat{D_{1}} \Leftrightarrow 90 ° - \hat{C_{}} = \hat{B_{1}} + \hat{C}$ (1)

Ta đặt $\hat{B} = \hat{C} = x$ thì $(1) \Leftrightarrow 90 ° - x = \frac{x}{2} + x \Leftrightarrow x = 36 °$

Vậy $Δ A B C$ có $\hat{B} = \hat{C} = 36 °; \hat{A} = 108 °$ .

Câu 10:

Cho đoạn thẳng AB và n điểm

O_{1}, O_{2}, ..., O_{n}

không nằm giữa A và B sao cho

O_{1} A + O_{2} A + ... + O_{n} A = O_{1} B + O_{2} B + ... + O_{n} B = a

. Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho

O_{1} M + O_{2} M + ... + O_{n} M \leq a .

Xem đáp án

Gọi M là trung điểm của AB và O là một điểm tùy ý không nằm giữa A và B.

- Trường hợp O nằm trên tia đối của tia AB hay tia đối của tia BA (h.3.16), ta chứng minh được $O M = \frac{O A + O B}{2} . (1)$

Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1, O2, ....,On không nằm giữa A và B sao cho O1A + O2A +... + OnA = O1B + O2B +... +OnB = a. C (ảnh 1)

- Trường hợp O không thẳng hàng với A và B (h.3.17).

Cho đoạn thẳng AB và n điểm O1, O2, ....,On không nằm giữa A và B sao cho O1A + O2A +... + OnA = O1B + O2B +... +OnB = a. C (ảnh 2)

Gọi N là trung điểm của OB, khi đó MN là đường trung bình của $Δ O A B, M N = \frac{O A}{2}$ .

Xét $Δ O M N$ , ta có: $O M < M N + O N$

$\Rightarrow O M < \frac{O A + O B}{2} . (2)$

Từ (1) và (2) suy ra: $O M \leq \frac{O A + O B}{2} . (*)$

Áp dụng hệ thức (*) đối với n điểm $O_{1}, O_{2}, \dots, O_{n}$ ta có:

$O_{1} M \leq \frac{O_{1} A + O_{1} B}{2}; O_{2} M \leq \frac{O_{2} A + O_{2} B}{2}; \dots; O_{n} M \leq \frac{O_{n} A + O_{n} B}{2} .$

Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:

$O_{1} M + O_{2} M + \dots O_{n} M \leq \frac{O_{1} A + O_{1} B}{2} + \frac{O_{2} A + O_{2} B}{2} + \dots + \frac{O_{n} A + O_{n} B}{2} = \frac{O_{1} A + O_{2} A + \dots + O_{n} A}{2} + \frac{O_{1} B + O_{2} B + \dots + O_{n} B}{2} = \frac{a}{2} + \frac{a}{2} = a$

Như vậy điểm cần tìm chính là trung điểm M của AB.

Bắt đầu thi ngay