9 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng minh có đáp án

Bài tập Toán 8 Chủ đề 5: Đường trung bình của tam giác, của hình thang có đáp án

Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng minh có đáp án

1357 lượt thi
9 câu hỏi
45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh:

△

AFD cân tại F

Xem đáp án

Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh: a) AFD cân tại F; (ảnh 1)

a) Ta có È là đường trung bình của hình thang ABCD.

Þ EF//AB.

Suy ra EF ^ AD

Khi đó EF vừa trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác AFD Þ ĐPCM.

Câu 2:

\hat{B A F} = \hat{C D F} .

Xem đáp án

b) Tam giác AFD cân tại F nên $\hat{E A F} = \hat{E D F}$

Suy ra

\hat{F A B} = \hat{C D F}

Câu 3:

Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài của $\hat{A}$ và $\hat{D}$ cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của $\hat{B}$ và $\hat{C}$ cắt nhau tại F. Chứng minh:

a) EF song song với AB và CD

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngoài của góc A và góc D cắt nhau tại E a) EF song song với AB và CD (ảnh 1)

a) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD.

Ta có: $\hat{A D E} = \frac{1}{2} \hat{D}$ ngoài, $\hat{D A E} = \frac{1}{2} \hat{A}$ ngoài.

Mà $\overset{⏜}{A}$ ngoài + $\overset{⏜}{D}$ ngoài = 180⁰ (do AB//CD)

$\Rightarrow \hat{A D E} + \hat{D A E} = 90^{0}$ , tức là tam giác ADE vuông tại E.

Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và E là trung điểm của AM.

Chứng minh tương tự, ta được F là trung điểm của BN.

Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM

Câu 4:

b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD

Xem đáp án

b) Từ ý a), $EF = \frac{1}{2} (A B + B C + C D + D A)$

Câu 5:

Cho hình thang cân ABCD (AB < CD). Vẽ $A H ⊥ C D$ . Chứng minh rằng:

a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo;

Xem đáp án

Cho hình thang cân ABCD (AB < CD). Vẽ AH vuông CD. Chứng minh rằng: a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo; (ảnh 1)

a) Vẽ $B K ⊥ C D$ ta được AH // BK và AB // HK

\Rightarrow A B = H K Δ A D H = Δ B C K \Rightarrow H D = K C .

Ta có:

H D + K C = C D - H K \Leftrightarrow 2 H D = C D - A B

\Leftrightarrow H D = \frac{C D - A B}{2} .

Theo ví dụ 4 thì đoạn thẳng PQ nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy. Vậy HD = PQ

Câu 6:

b) HC bằng đường trung bình của hình thang.

Xem đáp án

b) Ta có:

H C = C D - H D = C D - \frac{C D - A B}{2} = \frac{C D + A B}{2} .

Đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy. Do đó HC bằng độ dài đường trung bình của hình thang.

Câu 7:

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho

B O = \frac{1}{2} B C

. Đường thẳng OM cắt OC tại N. Chứng minh rằng:

A N = \frac{1}{4} A C

Xem đáp án

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho BO = 1/2BC. (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của BC.

Vẽ $B E // O N, D F // O N (E, F \in A C)$ .

Ta có: $O B = B D = D C = \frac{1}{2} B C .$

- Xét $Δ A B E$ có MN // BE và MQ = MB nên NA = NE (1)

- Xét hình thang ONFD có BE // ON và OB = BD nên NE = EF (2)

- Xét $Δ C B E$ có DF // BE và BD = DC nên EF = FC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AN = NE = EF = FC, do đó $A N = \frac{1}{4} A C .$

Câu 8:

Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại B, tam giác CAN vuông cân tại C. Chứng minh rằng khi A di động trên một nửa mặt phẳng bờ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại B, tam giác CAN vuông cân tại C. (ảnh 1)

Gọi O là trung điểm của MN.

Vẽ $O F ⊥ B C; A H ⊥ B C; M D ⊥ B C$ và $N E ⊥ B C$

Ta có: $O F // A H // M D // N E .$

$Δ B M D = Δ A B H$ (cạnh huyền – góc nhọn)

=> MD = BH và BD = AH

Tương tự, $Δ C N E = Δ A C H$

=> NE = CH và CE = AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra BD = CE (=AH).

Dễ thấy OF là đường trung bình của hình thang MDEN

$\Rightarrow O F = \frac{M D + N E}{2} = \frac{B H + C H}{2} = \frac{B C}{2}$ (không đổi).

Ta có: $F D = F E; B D = C E \Rightarrow F B = F C$ .

Vậy O nằm trên đường trung trực của BC và cách BC một khoảng không đổi là $\frac{B C}{2}$ . Do đó O là một điểm cố định.

Suy ra MN đi qua một điểm cố định là điểm O.

Câu 9:

Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D sao cho $\hat{C} = \hat{D}$ . Gọi H và F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: $H F = \frac{1}{2} C D$ .

Xem đáp án

Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D (ảnh 1)

Gọi E là trung điểm của CM, G là trung điểm của DM. Khi đó EG là đường trung bình của $Δ M C D \Rightarrow E G = \frac{1}{2} C D . (1)$

$Δ C A M$ và $Δ D B M$ cân tại C và D mà $\hat{C} = \hat{D}$ nên

các góc ở đáy của chúng bằng nhau:

$\hat{C A M} = \hat{C M A} = \hat{D M B} = \hat{D B M}$

=> CA // DM và CM // DB (vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau).

Xét $Δ C M B$ có EF là đường trung bình => EF // MB.

Xét $Δ D A M$ có HG là đường trung bình => HG // AM.

Suy ra: EF // HG (vì cùng song song với AB). Vậy tứ giác EFGH là hình thang.

Xét hình thang ACDM có EH là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH // AC.

Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG // DB.

Do đó $\hat{E H G} = \hat{C A M}, \hat{F G H} = \hat{D B M} .$

Mặt khác $\hat{C A M} = \hat{D B M}$ (chứng minh trên) nên $\hat{E H G} = \hat{F G H}$ .

Vậy hình thang EFGH là hình thang cân => HF = EG

Từ (1) và (2) suy ra: $H F = \frac{1}{2} C D$ .

Bắt đầu thi ngay