18 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Phiếu luyện tập số 2 có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác ABC có độ dài BC = 12cm và M là trung điểm của cạnh AB. Tia Mx song song với BC cắt AC tại N. Chứng minh:

a. N là trung điểm của cạnh AC.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có độ dài BC = 12cm và M là trung điểm của cạnh AB. Tia Mx song song với BC cắt AC tại N. Chứng minh: a. N là trung điểm của cạnh AC. (ảnh 1)

a. Xét tam giác ABC ta có:

MN // BC (gt)

Mặt khác M là trung điểm của cạnh AB.

Suy ra N là trung điểm cạnh AC.

Câu 2:

b. Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Xem đáp án

b. Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC.

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow M N = \frac{1}{2} B C$ $\Rightarrow M N = 6 cm$

Câu 3:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CM và BN. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Chứng minh CD = 2CM.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CM và BN. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Chứng minh CD = 2CM. (ảnh 1)

Gọi N là trung điểm cạnh AC. Suy ra BN là đường trung tuyến của $Δ A B C$ .

Vì $Δ A B C$ là tam giác cân tại A nên dễ dàng chứng minh được BN = CM. (1)

Xét tam giác $Δ A C D$ có B, N lần lượt là trung điểm cạnh AD và AC.

=> BN là đường trung bình của tam giác của $Δ A C D$ .

$\Rightarrow B N = \frac{1}{2} D C \Rightarrow D C = 2 B N$ . (2)

Từ (1) (2) suy ra CD = 2CM.

Câu 4:

Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao. N là trung điểm của AC. Kẻ Ax // BC cắt MN tại E. Chứng minh rằng:

a. ME // AB.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường cao. N là trung điểm của AC. Kẻ Ax // BC cắt MN tại E. Chứng minh rằng: a. ME // AB. (ảnh 1)

a) Xét tam giác $Δ A B C$ cân tại A có AM là đường cao.

Suy ra AM cũng là đường trung tuyến.

Ta có: $Δ A B C$ có M, N lần lượt là trung điểm cạnh BC và AC.

=> MN là đường trung bình của tam giác ABC.

=> MN // AB

Mà M, N, E thẳng hàng nên => ME // AB.

Câu 5:

b. AE = MC

Xem đáp án

b. Xét $Δ A N E$ và $Δ C N M$ có:

$\hat{A E N} = \hat{C M N}$ (so le trong)

NA = NC (gt).

$\hat{A N E} = \hat{C N M}$ (đối đỉnh).

$\Rightarrow Δ A N E = Δ C N M (c . g . c)$ .

=> AE = MC( cặp cạnh tương ứng).

Câu 6:

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Tia BI cắt AC ở D. Qua M kẻ đường thẳng song song với BD cắt AC ở E. Chứng minh:

a. AD = DE = EC.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của AM. Tia BI cắt AC ở D. Chứng minh: a. AD = DE = EC. (ảnh 1)

a. Tam giác AEM có I là trung điểm của AM, ID // ME nên AD = DE. (1)

Tam giác BCD có M là trung điểm của BC, ME // BD nên DE = EC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AD = DE = EC.

Câu 7:

b. BD = 4ID

Xem đáp án

b, Tam giác AME có I, D lần lượt là trung điểm của AM, AE.

=> ID là đường trung bình của tam giác AME.

$\Rightarrow I D = \frac{1}{2} M E$ (3)

Tương tự ME là đường trung bình của tam giác BCD

$\Rightarrow M E = \frac{1}{2} B D$ (4)

Từ (3) (4) ta có: $\Rightarrow I D = \frac{1}{2} M E = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} B D = \frac{1}{4} B D$ .

Suy ra BD = 4ID.

Câu 8:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). E là trung điểm của AC, F là trung điểm của BD .đường thẳng EF // AB cắt BD tại Q, cắt BC tại Q.

a. Chứng minh PB = PD, QB = QC.

Xem đáp án

a) Xét tam giác ADB có F là trung điểm của BD, EP // AB nên P là trung điểm của AD.

=> PB = PD.

Xét tam giác ACB có E là trung điểm của AC, EQ // AB nên Q là trung điểm của BC.

=> QB = QC.

Câu 9:

b. Cho AB = 6cm; FE = 5cm. Tính các độ dài CD, EQ.

Xem đáp án

b, Ta có tam giác ADB có F là trung điểm của BD, P là trung điểm của AD.

=> PF là đường trung bình của tam giác ADB $\Rightarrow P F = \frac{1}{2} A B = 3 cm$ .

Tương tự ta có EQ là đường trung bình của tam giác ACB $\Rightarrow E Q = \frac{1}{2} A B = 3 cm$ .

Xét tam giác ACD có P, E lần lượt là trung điểm của AD, AC.

=> PE là đường trung bình của tam giác ACD.

$\Rightarrow P E = \frac{1}{2} C D$ mà $P E = P F + F E = 3 + 5 = 8 cm$ . Suy ra $C D = 2. P E = 16 cm$

Câu 10:

Cho hình thang vuông ABCD, có $\hat{A} = \hat{D} = 90 °$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD. Chứng minh:

a. Tam giác MAD là tam giác gì? Vì sao?

Xem đáp án

Cho hình thang vuông ABCD, có góc A = góc D = 90 độ. Chứng minh: a. Tam giác MAD là tam giác gì? Vì sao? (ảnh 1)

a, Xét hình thang ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD.

Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD.

=> MN // AB // DC.

Mà $A B ⊥ A D$ nên $M N ⊥ A D$ .

Tam giác AMD có MN vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên là tam giác cân.

Câu 11:

b.

\hat{M A B} = \hat{M D C}

Xem đáp án

b, Tam giác AMD cân tại M nên $\hat{M A D} = \hat{M D A}$ .

Mặt khác $\hat{M A D} + \hat{M A B} = 90 °$ , $\hat{M D A} + \hat{M D C} = 90 °$ .

Suy ra: $\hat{M A B} = \hat{M D C}$ .

Câu 12:

Cho hình thang ABCD cân, đáy nhỏ AB và đáy lớn CD. Góc nhọn hợp bởi hai đường chéo AC, BD bằng $60 °$ . Gọi M và N là hình chiếu của B và C lên AC và BD, P là trung điểm cạnh BC. Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều.

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD cân, đáy nhỏ AB và đáy lớn CD. Góc nhọn hợp bởi hai đường chéo AC, BD bằng 60 độ. Gọi M và N là hình chiếu của B và C lên AC và BD (ảnh 1)

Xét tam giác $Δ A D C$ và $Δ D B C$ có DC chung, $\hat{D} = \hat{C}$ (gt), AD = BC (gt).

Suy ra: $Δ A D C = Δ D B C (c . g . c)$ nên $\hat{B C D} = \hat{A D C}$ ( Cạnh tương ứng).

$\Rightarrow \hat{O D C} = \hat{O C D} \Rightarrow Δ O C D$ là tam giác cân, mà góc $\hat{D O C} = 60 °$ .

=> $\Rightarrow Δ O C D$ là tam giác đều.

Tương tự tam giác OAB là tam giác đều.

Ta có $Δ O C D, Δ O A B$ là các tam giác đều, BM, CN là các đường cao nên là trung tuyến.

Suy ra M là trung điểm OA, N là trung điểm OD. Do đó MN là đường trung bình của tam giác OAD $\Rightarrow M N = \frac{1}{2} A D$ (1)

Mặt khác PM, PN là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của các tam giác vuông $△$ MBC và $△$ NBC nên $P M = P N = \frac{1}{2} B C$ (2)

Mà AD = BC (3)

Từ (1) (2) (3) suy ra: PM = PN = MN. Vậy tam giác MNP là tam giác đều.

Câu 13:

Cho hình thang ABCD ( AB // CD, AB < CD). Trên AD lấy M, N, P sao cho AM = MN = NP = PQ. Từ M, N, P dựng các đường thẳng song song với hai đáy cắt BC lần lượt tại E, F, G. Chứng minh:

a. Chứng minh BE = EF = FG = GC.

Xem đáp án

Cho hình thang ABCD ( AB // CD, AB < CD). Trên AD lấy M, N, P sao cho AM = MN = NP = PQ.. Chứng minh: a. Chứng minh BE = EF = FG = GC. (ảnh 1)

a, Xét hình thang ANFD (AD // NF ) có M là trung điểm AN, ME // AD.

=> E là trung điểm DF => DE = EF (1)

Xét hình thang MEGP (ME // GP) có N là trung điểm MP, NF // ME

=> F là trung điểm FC => GC = FG (2)

Xét hình thang NFCB (NF // CB) có P là trung điểm NB, PG // NF.

=> G là trung điểm FC => GC = FG (3).

Từ (1) (2) (3) suy ra EG => DE = EF= FG = FC .

Câu 14:

b. Chứng minh

S_{Δ A B D} = 4 S_{Δ A B E}

Xem đáp án

b, Gọi B', N', F', E' lần lượt là hình chiếu vuông góc B, N, F, E lên AD.

Xét tam giác ABB' có N là trung điểm AB, NN' // BB' ( cùng vuông góc AD).

=> N' là trung điểm AB' => NN' là đường trung bình của $△$ ABB'.

$\Rightarrow N N' = \frac{1}{2} B B'$ .

Tương tự ta có xét tam giác $Δ D F F'$ có EE' là đường trung bình.

$\Rightarrow F F' = 2 E E'$ .

Mà NN' = FF' do đó NN' = 2EE'

Ta có $S_{Δ A B D} = \frac{1}{2} B B' . A D = N N' . A D, S_{Δ A B E} = \frac{1}{2} E E' . A D = \frac{1}{4} N N' . A D$

$\Rightarrow \frac{S_{Δ A B D}}{S_{Δ A B E}} = \frac{\frac{1}{2} B B' . A D}{\frac{1}{2} E E' . A D} = \frac{N N' . A D}{\frac{1}{4} N N' . A D} = 4$

$\Rightarrow S_{Δ A B D} = 4 S_{Δ A B E}$

Câu 15:

b. Tam giác

Δ A I D, Δ B J C

là tam giác vuông.

Xem đáp án

b, Tam giác AIM cân ở Mnên MA = MI, mà MA = MD(gt)

$\Rightarrow M I = M D \Rightarrow Δ M I D$ cân ở M nên $\hat{D_{1}} = \hat{I_{1}}$ mà $\hat{D_{2}} = \hat{I_{1}}$ (cặp góc so le trong).

$\Rightarrow \hat{D_{1}} = \hat{D_{2}} = \frac{1}{2} \hat{D}$ .

Ta có: $\hat{A_{1}} = \frac{1}{2} \hat{A}, \hat{D_{1}} = \frac{1}{2} \hat{D} \Rightarrow \hat{A_{1}} + \hat{D_{1}} = \frac{1}{2} (\hat{A} + \hat{D}) = \frac{1}{2} .180 ° = 90 °$

Do đó tam giác AID là tam giác vuông tại .

Tương tự ta có $Δ N J C$ cân tại N nên $\hat{J_{2}} = \hat{C_{1}}$ mà $\hat{C_{2}} = \hat{J_{2}}$ ( cặp góc so le trong).

$\Rightarrow \hat{C_{1}} = \hat{C_{2}}$ .

Ta có: $\hat{B_{1}} = \frac{1}{2} \hat{B}, \hat{C_{1}} = \frac{1}{2} \hat{C} \Rightarrow \hat{B_{1}} + \hat{C_{1}} = \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C}) = \frac{1}{2} .180 ° = 90 °$

Suy ra tam giác BJC vuông tại J.

Câu 16:

c. $I M = \frac{1}{2} A D, J N = \frac{1}{2} B C$

Xem đáp án

c, Theo câu b, ta có: MA = MI = MD. Suy ra $M I = \frac{1}{2} A D$ .

JN = NB = NC. Suy ra $J N = \frac{1}{2} B C$ .

Câu 17:

d. Cho AB = 5cm, CD = 18cm, AD = 6cm, BC = 7cm. Tính độ dài đoạn thẳng IJ

Xem đáp án

d, Ta có: $M I = \frac{1}{2} A D = 3 cm, J N = \frac{1}{2} B C = 3, 5 cm$

MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên $MN = \frac{A B + C D}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9 cm$ .

$\Rightarrow J I = M N - M I - J N = 9 - 3 - 3, 5 = 2, 5 cm$

Câu 18:

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Vẽ đường thẳng d. qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi A', B', C', D' lần lượt là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d. Tìm hệ thức liên hệ giữa AA', BB', CC'.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Vẽ đường thẳng d. qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. (ảnh 1)

Gọi M' là hình chiếu của M trên d.

Ta có: $\{\begin{cases} B B' ⊥ d \\ C' C ⊥ d \\ M M' ⊥ d \end{cases} \Rightarrow M M' / / B B' / / C C'$ . Suy ra tứ giác BB'C'C là hình thang.

M là trung điểm của BC, MM' // BB' // CC'. Suy ra MM' là đường trung bình của hình thang BB'C'C.

$\Rightarrow M M' = \frac{B B' + C C'}{2} \Rightarrow 2 M M' = B B' + C C'$ . (1)

Mặt khác $Δ A A' I = Δ M M' I (c . g . c)$ . Do đó MM' = AA'. (2)

Từ (1) và (2) suy ra => 2AA' = BB' + CC'.