19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Bài tập nâng cao có đáp án - vietjack.online

Bài tập Toán 8 Chủ đề 4: Bất phương trình đưa về dạng bậc nhất có đáp án

Dạng 2: Bài tập nâng cao có đáp án

935 lượt thi
19 câu hỏi
45 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Giải bất phương trình

$a) (x + 5) (x - 8) < 0$

$\begin{array}{l} a) (x + 5) (x - 8) < 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x + 5 > 0 \\ x - 8 < 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x + 5 < 0 \\ x - 8 > 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > - 5 \\ x < 8 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < - 5 \\ x > 8 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow - 5 < x < 8 \end{array}$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S={x/-5<x<8}

Câu 2:

$b) (2 x - 3) (2 - x) > 0$

$\begin{array}{l} b) (2 x - 3) (2 - x) > 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 x - 3 > 0 \\ 2 - x > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2 x - 3 < 0 \\ 2 - x < 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > \frac{3}{2} \\ x < 2 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ x > 2 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow \frac{3}{2} < x < 2 \end{array}$

Vậy $\frac{3}{2} < x < 2$

Câu 3:

$c) 2 x^{2} - x - 6 > 0$

$\begin{array}{l} c) 2 x^{2} - x - 6 > 0 \\ \Leftrightarrow (x - 2) (3 x + 2) > 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 3 x + 2 > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x - 2 < 0 \\ 3 x + 2 < 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > 2 \\ x > \frac{- 2}{3} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < 2 \\ x < \frac{- 2}{3} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < \frac{- 2}{3} \end{array} \end{array}$

Vậy

[\begin{array}{l} x > 2 \\ x < \frac{- 2}{3} \end{array}

Câu 4:

$d) (x + 1) (x^{2} - x + 1) - x^{2} - x > 0$

$\begin{array}{l} d) (x + 1) (x^{2} - x + 1) - x^{2} - x > 0 \\ \Leftrightarrow (x + 1) (x^{2} - x + 1) - x (x + 1) > 0 \\ \Leftrightarrow (x + 1) (x^{2} - x + 1 - x) > 0 \\ \Leftrightarrow (x + 1) {(x - 1)}^{2} > 0 \\ \Leftrightarrow x + 1 > 0 \\ \Leftrightarrow x > 1 \end{array}$

Vậy x > 1

Câu 5:

$b) \frac{x}{x - 2} + \frac{x - 2}{x} > 2$

$\begin{array}{l} b) \frac{x}{x - 2} + \frac{x - 2}{x} > 2 \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{x (x - 2)} + \frac{{(x - 2)}^{2}}{x (x - 2)} - \frac{2 x (x - 2)}{x (x - 2)} > 0 \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2} + x^{2} - 4 x + 4 - 2 x^{2} + 4 x}{x (x - 2)} > 0 \Leftrightarrow \frac{4}{x (x - 2)} > 0 \Leftrightarrow x (x - 2) > 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < 0 \\ x - 2 < 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > 0 \\ x > 2 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x < 0 \\ x < 2 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array} \end{array}$

Vậy

[\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array}

Câu 6:

$c) \frac{4 x + 3}{2 x - 5} > - 3$

$\begin{array}{l} c) \frac{4 x + 3}{2 x - 5} \geq - 3 \Leftrightarrow \frac{4 x + 3}{2 x - 5} + 3 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{4 x + 3}{2 x - 5} + \frac{6 x - 15}{2 x - 5} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{10 x - 12}{2 x - 5} \geq 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} 10 x - 12 \geq 0 \\ 2 x - 5 \geq 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 10 x - 12 \leq 0 \\ 2 x - 5 < 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x \geq \frac{6}{5} \\ x > \frac{5}{2} \end{cases} \\ \{\begin{cases} x \leq \frac{6}{5} \\ x < \frac{5}{2} \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > \frac{5}{2} \\ x \leq \frac{6}{5} \end{array} \end{array}$

Vậy

[\begin{array}{l} x > \frac{5}{2} \\ x \leq \frac{6}{5} \end{array}

Câu 7:

Giải bất phương trình

$a) \frac{x + 1}{99} + \frac{x + 4}{96} + \frac{x + 5}{95} \geq - 3$

$\begin{array}{l} a) \frac{x + 1}{99} + \frac{x + 4}{96} + \frac{x + 5}{95} \geq - 3 \\ \Leftrightarrow \frac{x + 100}{99} + \frac{x + 100}{96} + \frac{x + 100}{95} \geq 0 \\ \Leftrightarrow (x + 100) (\frac{1}{99} + \frac{1}{96} + \frac{1}{95}) \geq 0 \\ \Leftrightarrow x + 100 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq - 10 \end{array}$

Vậy $x \geq - 10$

Câu 8:

$b) \frac{x - 5}{27} + \frac{x - 4}{28} + \frac{x - 3}{29} + \frac{x - 2}{30} < 4$

$\begin{array}{l} b) \frac{x - 5}{27} + \frac{x - 4}{28} + \frac{x - 3}{29} + \frac{x - 2}{30} < 4 \\ \Leftrightarrow \frac{x - 32}{27} + \frac{x - 32}{28} + \frac{x - 32}{29} + \frac{x - 32}{30} < 0 \\ \Leftrightarrow (x - 32) (\frac{1}{27} + \frac{1}{28} + \frac{1}{29} + \frac{1}{30}) < 0 \\ \Leftrightarrow x - 32 < 0 \Leftrightarrow x < 32 \end{array}$

Vậy x < 32

Câu 9:

$c) \frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100$

$\begin{array}{l} c) \frac{x + 1}{2019} + \frac{x + 2}{2018} + \frac{x + 3}{2017} + ... + \frac{x + 100}{1920} > - 100 \\ \Leftrightarrow \frac{x + 2020}{2019} + \frac{x + 2020}{2018} + ... + \frac{x + 2020}{1920} > 0 \\ \Leftrightarrow (x + 2020) (\frac{1}{2019} + \frac{1}{2018} + ... + \frac{1}{1920}) > 0 \\ \Leftrightarrow x + 2020 > 0 \Leftrightarrow x > - 2020 \end{array}$

Vậy x > -2020

Câu 10:

Giải bất phương trình

$a) \frac{x + 5}{95} + \frac{x + 6}{94} + \frac{x + 7}{93} \geq \frac{x + 8}{92} + \frac{x + 9}{91} + \frac{x + 10}{90}$

$\begin{array}{l} a) \frac{x + 5}{95} + \frac{x + 6}{94} + \frac{x + 7}{93} \geq \frac{x + 8}{92} + \frac{x + 9}{91} + \frac{x + 10}{90} \\ \Leftrightarrow \frac{x + 100}{95} + \frac{x + 100}{94} + \frac{x + 100}{93} - \frac{x + 100}{92} - \frac{x + 100}{91} - \frac{x + 100}{90} \geq 0 \\ \Leftrightarrow (x + 100) (\frac{1}{95} - \frac{1}{92} + \frac{1}{94} - \frac{1}{91} + \frac{1}{93} - \frac{1}{90}) \geq 0 (1) \end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l} \frac{1}{95} < \frac{1}{92} \Leftrightarrow \frac{1}{95} - \frac{1}{92} < 0 \\ \frac{1}{94} < \frac{1}{91} \Leftrightarrow \frac{1}{94} - \frac{1}{91} < 0 \\ \frac{1}{93} < \frac{1}{90} \Leftrightarrow \frac{1}{93} - \frac{1}{90} < 0 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{95} - \frac{1}{92} + \frac{1}{94} - \frac{1}{91} + \frac{1}{93} - \frac{1}{90} < 0 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow x + 100 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq - 100$

Vậy $x \leq - 100$

Câu 11:

$b) \frac{x - 5}{921} + \frac{x - 7}{919} + \frac{x - 9}{917} < \frac{x - 17}{909} + \frac{x - 18}{908} + \frac{x - 19}{907}$

$\begin{array}{l} b) \frac{x - 5}{921} + \frac{x - 7}{919} + \frac{x - 9}{917} < \frac{x - 17}{909} + \frac{x - 18}{908} + \frac{x - 19}{907} \\ \Leftrightarrow \frac{x - 926}{921} + \frac{x - 926}{919} + \frac{x - 926}{917} - \frac{x - 926}{909} - \frac{x - 18}{908} - \frac{x - 19}{907} < 0 \\ \Leftrightarrow (x - 926) (\frac{1}{921} - \frac{1}{909} + \frac{1}{919} - \frac{1}{908} + \frac{1}{917} - \frac{1}{907}) < 0 (1) \end{array}$

Ta có

$\begin{array}{l} \frac{1}{921} < \frac{1}{909} \Leftrightarrow \frac{1}{921} - \frac{1}{909} < 0 \\ \frac{1}{919} < \frac{1}{908} \Leftrightarrow \frac{1}{919} - \frac{1}{908} < 0 \\ \frac{1}{917} < \frac{1}{907} \Leftrightarrow \frac{1}{917} - \frac{1}{907} < 0 \end{array}$

$\Rightarrow \frac{1}{921} - \frac{1}{909} + \frac{1}{919} - \frac{1}{908} + \frac{1}{917} - \frac{1}{907} < 0 \Rightarrow (1) \Leftrightarrow x - 926 > 0 \Leftrightarrow x > 926$

Vậy x > 926

Câu 12:

Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d,e ta có

$a) a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

a. Ta có

$\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a \\ \Leftrightarrow 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} > 2 a b + 2 b c + 2 c a \\ \Leftrightarrow a^{2} - 2 a b + b^{2} + b^{2} - 2 b c + c^{2} + c^{2} - 2 c a + c^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow {(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0 \end{array}$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng với mọi a,b,c nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$ luôn đúng

Đẳng thức sảy ra khi a - b = b - c = c - a = 0 hay a = b = c

Câu 13:

$b) a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} \geq a (b + c + d + e)$

b. Ta có:

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} \geq a (b + c + d + e) \Leftrightarrow 4 (a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2}) \geq 4 a (b + c + d + e) \Leftrightarrow (a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}) + (a^{2} - 4 a c + 4 c^{2}) + (a^{2} - 4 a d + 4 d^{2}) + (a^{2} - 4 a e + 4 e^{2}) \geq 0 \Leftrightarrow {(a - 2 b)}^{2} + {(a - 2 c)}^{2} + {(a - 2 d)}^{2} + {(a - 2 e)}^{2} \geq 0$

Bất đẳng thức luôn đúng với mọi a,b,c,d, e nên $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} + e^{2} \geq a (b + c + d + e)$ luôn đúng.

Đẳng thức sảy ra khi a - 2b = a - 2c = a - 2d = a - 2e hay a = 2b = 2c = 2d = 2e

Câu 14:

Cho a, b,c, d là các số thực. Chứng minh rằng:

$a) \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{2}$

a) Ta xét hiệu

$\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - {(\frac{a + b}{2})}^{2} = \frac{2 (a^{2} + b^{2})}{4} - \frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{4} = \frac{1}{4} (2 a^{2} + 2 b^{2} - a^{2} - b^{2} - 2 a b) = \frac{1}{4} {(a - b)}^{2} \geq 0$

Vậy $\frac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq {(\frac{a + b}{2})}^{2}$ Dấu bằng xảy ra khi a = b

Câu 15:

$b) \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} \geq {(\frac{a + b + c}{3})}^{2}$

b)Ta xét hiệu: $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} - {(\frac{a + b + c}{3})}^{2} = \frac{1}{9} [{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}] \geq 0$

Vậy $\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3} \geq {(\frac{a + b + c}{3})}^{2}$ Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

Câu 16:

a^{3} > 36

\frac{a^{2}}{3} + b^{2} + c^{2} > a b + b c + c a

Xét hiệu $\frac{a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{12} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - a c > 0$

$\Leftrightarrow (\frac{a^{2}}{4} + b^{2} + c^{2} - a b - a c + 2 b c) + \frac{a^{2}}{12} - 3 b c > 0 \Leftrightarrow {(\frac{a}{2} - b - c)}^{2} + \frac{a^{3} - 36 a b c}{12 a}$

Do $a^{3} > 36 = > \frac{a^{3} - 36 a b c}{12 a} > 0$ =>ĐPCM

Câu 17:

Cho a, b là các số dương thỏa mãn: $a^{3} + b^{3} = a^{5} + b^{5}$ , Chứng minh rằng: $a^{2} + b^{2} \leq 1 + a b$

Ta có:

$a^{2} + b^{2} \leq 1 + a b \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - a b \leq 1 \Leftrightarrow (a + b) (a^{2} + b^{2} - a b) \leq a + b$

$\Leftrightarrow a^{3} + b^{3} \leq a + b \Leftrightarrow (a^{3} + b^{3}) (a^{3} + b^{3}) \leq (a + b) (a^{5} + b^{5}) \Leftrightarrow 2 a^{3} b^{3} \leq a b^{5} + a^{5} b \Leftrightarrow a b (a^{4} - 2 a^{2} b^{2} + b^{4}) \geq 0 \Leftrightarrow a b {(a^{2} - b^{2})}^{2} \geq 0, \forall a, b > 0$

Câu 18:

Cho a, b, c > 0, CMR:

\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} \geq \frac{3}{2}

Từ $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$ , Đặt $\{\begin{cases} x = a + b \\ y = b + c \\ z = c + a \end{cases}$

$\Rightarrow 2 (a + b + c) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a}) \geq 9 \Leftrightarrow \frac{a + b + c}{a + b} + \frac{a + b + c}{b + c} + \frac{a + b + c}{c + a} \geq \frac{9}{2} \Rightarrow \frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} \geq \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Câu 19:

Cho a, b > 0, CMR:

\frac{a}{b + 1} + \frac{b}{a + 1} + \frac{1}{a + b} \geq \frac{3}{2}

Từ $(x + y + z) (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}) \geq 9$

$\Rightarrow (\frac{a}{b + 1} + 1) + (\frac{b}{a + 1} + 1) + (\frac{1}{a + b} + 1) - 3 = (a + b + 1) (\frac{1}{a + b} + \frac{1}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}) - 3 \geq \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương