10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Chứng minh các hệ thức hình học có đáp án

Câu 1:

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, N, P, Q. Khi đó tỉ số $\frac{MD}{AD}$ bằng:

A. $\frac{CP}{BC}$

B. $\frac{BQ}{BC}$

C. $\frac{CN}{BC}$

D. $\frac{CQ}{BQ}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, N, P, Q. (ảnh 1)

Xét tam giác ADB có MP // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{MD}{AD} = \frac{DP}{BD}$ (1)

Xét tam giác CDB có NP // DC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{DP}{BD} = \frac{CN}{CB}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{MD}{AD} = \frac{CN}{CB} = \frac{DP}{BD}$ .

Câu 2:

Cho góc xAy khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy các điểm B, C. Qua B và C kẻ hai đường thẳng song song với nhau, cắt Ay lần lượt tại D và E. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax tại F. Khi đó AC² bằng

A. AB ⋅ AF;

B. AB ⋅ BF;

C. CA ⋅ AF;

D. CB ⋅ AF.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho góc xAy khác góc bẹt. Trên tia Ax lấy các điểm B, C. Qua B và C kẻ hai đường thẳng song song với nhau, cắt Ay lần lượt tại D và E. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia Ax tại F. Khi đó AC2 bằng A. AB ⋅ AF; B. AB ⋅ BF; C. CA ⋅ AF; D. CB ⋅ AF. (ảnh 1)

Xét tam giác ACE có CE // BD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE}$ (1)

Xét tam giác AFE có FE // CD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AC}{AF} = \frac{AD}{AE}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AF} = \frac{AD}{AE}$ .

Từ đó ta có AC ⋅ AC = AB ⋅ AF hay AC2 = AB ⋅ AF.

Câu 3:

Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại D và E sao cho

\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}

. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$

B. $\frac{BD}{AB} = \frac{CE}{AC}$

C. $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{EC}$

D. DE // BC.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại D và E sao cho AD/ AB= AE/AC . Khẳng định nào sau đây là sai? (ảnh 1)

Trong tam giác ABC có $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$ nên DE // BC (định lí Thalès đảo).

Do đó theo định lí Thalès ta có $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ , $\frac{BD}{AB} = \frac{CE}{AC}$ .

Vậy C sai.

Câu 4:

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho $\frac{AO}{OD} = \frac{3}{2}$ . Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tỉ số $\frac{AI}{IB}$ là:

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BC = 2BD. Trên đoạn AD lấy điểm O sao cho (ảnh 1)

Kẻ DH // CI (H ∈ AB), do đó DH // IO.

Xét tam giác ADH có DH // IO nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AI}{IH} = \frac{AO}{OD}$ hay $\frac{AI}{IH} = \frac{3}{2}$ .

Suy ra AI = 3t và IH = 2t (với t > 0).

Ta có D thuộc cạnh BC và BC = 2BD, suy ra BC = 2CD.

Xét tam giác BIC có DH // IC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{BI}{IH} = \frac{BC}{CD}$ hay $\frac{BI}{IH} = \frac{2}{1}$

Suy ra BI = 2IH = 2 ⋅ 2t = 4t.

Vậy $\frac{AI}{IB} = \frac{3t}{4t} = \frac{3}{4}$ .

Câu 5:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D và kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC tại F. Khi đó $\frac{CE}{EB}$ bằng tỉ số

A. $\frac{FE}{AD}$

B. $\frac{CF}{EB}$

C. $\frac{ME}{AB}$

D. $\frac{CF}{DE}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB tại D và kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC tại F. (ảnh 1)

Xét tứ giác ADEF có:

AD // EF (D ∈ AB)

AF // DE (F ∈ AC)

Suy ra tứ giác ADEF là hình bình hành.

Do đó AF = DE (1).

Xét tam giác ABC có EF // AB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{CE}{EB} = \frac{CF}{FA}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{CE}{EB} = \frac{CF}{DE}$ .

Câu 6:

Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua H và vuông góc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C kẻ đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo thứ tự tại N và D. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. NC = ND;

B. DB = NC;

C. Cả A, B đều sai

D. Cả A, B đều đúng.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm BC và H là trực tâm của tam giác ABC. Đường thẳng qua H và vuông góc với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C kẻ đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo thứ tự tại N và D. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. NC = ND; B. DB = NC; C. Cả A, B đều sai; D. Cả A, B đều đúng. (ảnh 1)

Ta có AN ⊥ BC (do H là trực tâm của tam giác ABC) nên HN ⊥ CM (H ∈ AN, M ∈ BC).

Theo đề bài ta có IK // DC, IK ⊥ HM, do đó HM ⊥ DC hay HM ⊥ NC (N ∈ DC).

Tam giác HNC có: HM ⊥ NC, CM ⊥ HN.

Do đó M là trực tâm của tam giác HNC.

Suy ra MN ⊥ HC.

Lại có HC ⊥ AB nên MN // AB hay MN // DB.

Xét tam giác CBD có MN // DB nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{CM}{MB} = \frac{CN}{ND}$ hay $\frac{CN}{ND} = 1$ (Vì CM = MB, do M là trung điểm của BC)

Suy ra CN = ND.

Câu 7:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kì trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại H. Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD tại G. Khi đó AH ⋅ CD bằng

A. AD ⋅ GB;

B. AD ⋅ CG;

C. GB ⋅ GC;

D. AB ⋅ CG.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kì trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD tại H. Đường thẳng kẻ qua F song song với BD cắt CD tại G. Khi đó AH ⋅ CD bằng A. AD ⋅ GB; B. AD ⋅ CG; C. GB ⋅ GC; D. AB ⋅ CG. (ảnh 1)

Xét tam giác ABD có HE // BD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AH}{AD} = \frac{AE}{AB}$ (1).

Xét tam giác CBD có GF // BD nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{CF}{CB} = \frac{CG}{CD}$ (2).

Xét tam giác ABC có EF // AC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AE}{AB} = \frac{CF}{CB}$ (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{AH}{AD} = \frac{AE}{AB} = \frac{CF}{CB} = \frac{CG}{CD}$ hay $\frac{AH}{AD} = \frac{CG}{CD}$ .

Từ đó suy ra AH ⋅ CD = AD ⋅ CG.

Câu 8:

Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm D, E, trên tia Oy lấy hai điểm F, G sao cho FD // EG. Đường thẳng kẻ qua G song song với EF cắt Ox tại H.

Tích OD ⋅ OH bằng

A. OB²;

B. CE²;

C. OE²;

D. EB².

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho góc xOy khác góc bẹt. Trên tia Ox lấy hai điểm D, E, trên tia Oy lấy hai điểm F, G sao cho FD // EG. Đường thẳng kẻ qua G song song với EF cắt Ox tại H. Tích OD ⋅ OH bằng A. OB2; B. CE2; C. OE2; D. EB2. (ảnh 1)

Xét tam giác OHG có EF // HG nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{OF}{OG} = \frac{OE}{OH}$ (1).

Xét tam giác OEG có DF // EG nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{OF}{OG} = \frac{OD}{OE}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{OE}{OH} = \frac{OD}{OE}$ .

Từ đó ta có OE ⋅ OE = OH ⋅ OD hay OE²= OH ⋅ OD.

Câu 9:

Cho tam giác ABC, từ điểm D trên cạnh AB kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB. Gọi M là giao điểm của DF và BC. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\frac{DM}{MF} = \frac{AD}{AB}$

B. $\frac{DM}{MF} = \frac{AC}{AB}$

C. $\frac{MF}{MD} = \frac{AC}{AB}$

D. $\frac{DM}{MF} = \frac{AB}{AC}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cho tam giác ABC, từ điểm D trên cạnh AB kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF = DB. Gọi M là giao điểm của DF và BC. Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Xét tam giác ABC có DE // BC nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AC}{EC} = \frac{AB}{BD}$ hay $\frac{AC}{AB} = \frac{EC}{BD}$ (1).

Xét tam giác DEF có DE // MC (M ∈ BC) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{DM}{MF} = \frac{EC}{CF}$ (2).

Mà CF = DB (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\frac{DM}{MF} = \frac{AC}{AB}$ .

Câu 10:

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC). Khi đó $\frac{AE}{AB} + \frac{AN}{AF}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{7}{6}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH lấy các điểm K, I sao cho AK = KI = IH. Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF // BC, MN // BC (E, M ∈ AB; F, N ∈ AC). (ảnh 1)

Vì MN // BC, EF // BC nên MN // BC // EF.

Trong tam giác ABH có EI // BH (I ∈ EF, H ∈ BC) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AE}{AB} = \frac{AI}{AH}$ hay $\frac{AE}{AB} = \frac{2}{3}$ .

Trong tam giác AIF có KN // IF (I ∈ EF, K ∈ MN) nên theo định lí Thalès ta có:

$\frac{AN}{AF} = \frac{AK}{AI}$ hay $\frac{AN}{AF} = \frac{1}{2}$ .

Ta có $\frac{AE}{AB} + \frac{AN}{AF} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{7}{6}$ .