18 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Phiếu 2 có đáp án

Câu 1:

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

|x + 5| = 3 x + 1

Xem đáp án

a) $|x + 5| = 3 x + 1$

TH1: x + 5 = 3x + 1 với x $\geq - 5$

x = 2 (nhận)

TH2: –x - 5 = 3x + 1 với x < -5

x = $\frac{- 3}{2}$ (loại )

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2

Câu 2:

b.

\frac{3 (x - 1)}{4} + 1 \geq \frac{x + 2}{3}

Xem đáp án

b) $\frac{3 (x - 1)}{4} + 1 \geq \frac{x + 2}{3}$

$\begin{array}{l} \frac{3 (x - 1)}{4} + 1 \geq \frac{x + 2}{3} \Leftrightarrow 9 x - 9 + 12 \geq 4 x + 8 \\ \Leftrightarrow 5 x \geq 5 \Leftrightarrow x \geq 1 \end{array}$

Vậy bpt có nghiệm $x \geq 1$

Câu 3:

c.

\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4}

Xem đáp án

c) $\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{3}{x - 2} = \frac{2 (x - 11)}{x^{2} - 4}$ ĐKXĐ: $x \neq \pm 2$

=> (x – 2)(x – 2) – 3(x+2)=2(x-11) = 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + 4 - 3 x - 6 - 2 x + 22 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 9 x + 20 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 4 x - 5 x + 20 = 0 \\ \Leftrightarrow x (x - 4) - 5 (x - 4) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 4) (x - 5) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 (t m) \\ x = 5 (t m) \end{array}$

Vậy: tập nghiệm của phương trình là: S = {4;5}

Câu 4:

Giải các phương trình sau:

a) 2(x + 3) = 4x – ( 2+ x)

Xem đáp án

a) 2(x + 3) = 4x – ( 2+ x)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 x + 6 = 4 x - 2 - x \\ \Leftrightarrow 2 x - 3 x = - 2 - 6 \\ \Leftrightarrow - x = - 8 \\ \Leftrightarrow x = 8 \end{array}$

Câu 5:

b.

\frac{1}{x + 2} + \frac{5}{2 - x} = \frac{2 x - 3}{x^{2} - 4}

Xem đáp án

b) $\frac{1}{x + 2} + \frac{5}{2 - x} = \frac{2 x - 3}{x^{2} - 4}$ điều kiện x $\neq \pm 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{1}{x + 2} - \frac{5}{x - 2} = \frac{2 x - 3}{x^{2} - 4} \\ \Leftrightarrow x - 2 - 5 (x + 2) = 2 x - 3 \\ \Leftrightarrow x - 2 - 5 x - 10 = 2 x - 3 \\ \Leftrightarrow - 6 x = 9 \Leftrightarrow x = \frac{- 2}{3} (t m d k) \end{array}$

Câu 6:

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) (2x - 1)(x + 2) = (3x - 2)(2x - 1)

Xem đáp án

a) (2x - 1)(x + 2) = (3x - 2)(2x - 1)

<=> (2x-1)(x+2-3x+2) = 0

<=> (2x-1)(4-2x) = 0

<=> $x = \frac{1}{2}$ hoặc x = 2.

Vậy S = $\{\frac{1}{2}; 2\}$

Câu 7:

b.

\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{x^{2} + x + 1} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1}

Xem đáp án

b) $\frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{x^{2} + x + 1} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1}$

ĐKXĐ: $x \neq 1$

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x}{x^{2} + x + 1} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1} \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2} + x + 1}{x^{3} - 1} + \frac{2 x (x - 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 1} \end{array}$

$\Leftrightarrow$ x² +x+1+2x(x-1) =3x²

$\Leftrightarrow$ 3x²-x+1= 3x²

$\Leftrightarrow$ x = 1 (không thỏa mãn đk )

Vậy pt vô nghiệm

Câu 8:

c. 2 +

\frac{3 (x + 1)}{8} < 3 - \frac{x - 1}{4}

Xem đáp án

c) 2 + $\frac{3 (x + 1)}{8} < 3 - \frac{x - 1}{4}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{16 + 3 x + 3}{8} < \frac{24 - 2 (x - 1)}{8} \\ \Leftrightarrow 3 x + 19 < 26 - 2 x \\ \Leftrightarrow 5 x < 7 \\ \Leftrightarrow x < \frac{7}{5} \end{array}$

Tập nghiệm của bpt là S = $\{x \in R | x < \frac{7}{5}\}$

Câu 9:

Cho biểu thức P = $(\frac{1 + x}{1 - x} - \frac{1 - x}{1 + x} - \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}) : \frac{x^{2} + 4 x + 4}{(x + 1) . (x + 2)}$

a) Rút gọn P.

Xem đáp án

$P = \frac{{(1 + x)}^{2} - {(1 - x)}^{2} + 2 x^{2}}{(1 - x) . (1 + x)} : \frac{{(x + 2)}^{2}}{(x + 1) . (x + 2)} = \frac{1 + 2 x + x^{2} - 1 + 2 x - x^{2} + 2 x^{2}}{(1 - x) (1 + x)} : \frac{x + 2}{x + 1} = \frac{2 x (x + 2)}{(1 - x) (1 + x)} \cdot \frac{1 + x}{x + 2} = \frac{2 x}{1 - x}$

Câu 10:

b) Tính giá trị của P, biết $|x| = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

ĐKXĐ : x $\neq \pm$ 1 và x $\neq$ 2 .

Với $|x| = \frac{1}{2}$ thì x = $\frac{1}{2}$ hoặc x = - $\frac{1}{2}$

Nếu $x = \frac{1}{2}$ ta có P = $\frac{2 \cdot \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

Nếux = - $\frac{1}{2}$ ta có P = $\frac{2 \cdot (- \frac{1}{2})}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{- 1}{\frac{3}{2}} = - \frac{2}{3}$

Câu 11:

c) Tìm giá trị của x, biết P $\leq - 1$

Xem đáp án

P $\leq - 1 \Leftrightarrow \frac{2 x}{1 - x} \leq - 1 \Leftrightarrow \frac{2 x}{1 - x} + 1 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{x + 1}{1 - x} \leq 0 (*)$

- TH 1 (*) $\Rightarrow \{\begin{cases} x + 1 \geq 0 \\ 1 - x < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - 1 \\ x > 1 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1$

- TH 2 (*) $\Rightarrow \{\begin{cases} x + 1 \leq 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \leq - 1 \\ x < 1 \end{cases} \Leftrightarrow x \leq - 1$

Vậy với x > 1 hoặc $x \leq - 1$ thì P $\leq - 1$ .

Câu 12:

d) Tìm các số nguyên dương x > 2 để P nhận giá trị nguyên

Xem đáp án

Ta có: $P = \frac{2 x}{1 - x} = - \frac{2 x}{x - 1} = - \frac{2 x - 2 + 2}{x - 1} = \frac{2 (x - 1) + 2}{x - 1} = 2 + \frac{2}{x - 1}$

Để P nhận giá trị nguyên thì $\frac{2}{x - 1}$ nguyên => x - 1 là ước của 2 (Ư(2) = $\{\pm 2; \pm 1\}$ )

Mà x $\in$ Z ; x > 2 (GT) => x $\geq$ do đó x - 1 $\geq 2$ .

Khi đó ta có : x - 1 = 2 => x = 3.

Câu 13:

Cho biểu thức A = $\frac{(2 - 3 x) . (x + 1)}{x^{2} + 2 x + 1}$ . Tìm giá trị của x để A là số dương

Xem đáp án

A = $\frac{(2 - 3 x) (x + 1)}{x^{2} + 2 x + 1} = \frac{(2 - 3 x) (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{2 - 3 x}{x + 1}$

$\Rightarrow A > 0 \Leftrightarrow \frac{2 - 3 x}{x + 1} > 0$

TH1 : $\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2 - 3 x > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x \leq \frac{2}{3} \\ x > - 1 \end{cases} \Rightarrow - 1 < x \leq \frac{2}{3} \end{array}$

TH2 : $\{\begin{cases} 2 - 3 x < 0 \\ x + 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > \frac{2}{3} \\ x < - 1 \end{cases}$ ( vô lí )

Vậy với x thỏa mãn $- 1 < x \leq \frac{2}{3}$ thì A > 0

Câu 14:

Một người đi ô tô từ A đến B với vận tốc 35 km/h. Lúc từ B về A người đó đi với vận tốc bằng $\frac{6}{5}$ vận tốc lúc đi. Do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính quãng đường AB.

Xem đáp án

Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 0 )

Vận tốc từ B dến A : 42 km/h

Thời gian từ A đến B là : $\frac{x}{35}$ (h)

Thời gian từ B đến A là : $\frac{x}{42}$ (h)

Theo đề bài ta có phương trình : $\frac{x}{35} - \frac{x}{42} = \frac{1}{2}$

Giải phương trình được: x = 105 (TM)

Vậy quãng đường AB là 105 km

Câu 15:

Một bạn học sinh đi học từ nhà đến trường với vận tốc trung bình 4 km/h. Sau khi đi được $\frac{2}{3}$ quãng đường bạn ấy đã tăng vận tốc lên 5 km/h. Tính quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó, biết rằng thời gian bạn ấy đi từ nhà đến trường là 28 phút.

Xem đáp án

Gọi quãng đường cần tìm là x (km).

Điều kiện x > 0

Quãng đường đi với vận tốc 4km/h là $\frac{2}{3}$ x (km)

Thời gian đi là $\frac{2}{3}$ x : 4 = $\frac{x}{6}$ (giờ)

Quãng đường đi với vận tốc 5km/h là $\frac{1}{3}$ x(km)

Thời gian đi là $\frac{1}{3}$ x : 5 = $\frac{x}{15}$ (giờ)

Thời gian đi hêt quãng đường là 28 phút = $\frac{7}{15}$ giờ

Ta có phương trình: $\frac{x}{6} + \frac{x}{15} = \frac{7}{15}$

Giải phương trình ta tìn được x = 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy quãng đường từ nhà đến trường của bạn học sinh đó là 2km

Câu 16:

Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày theo kế hoạch phải sản xuất 50 sản phẩm. Khi thực 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn làm vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

Xem đáp án

Gọi số sản phẩm tổ phải làm theo kế hoạch là x (sp, x > 0)

Tổng số sản phẩm tổ làm được thực tế là x + 13 (sp)

Thời gian hoàn thành số sản phẩm theo kế hoạch là $\frac{x}{50}$ (ngày)

Thời gian hoàn thành tổng số sản phẩm thực tế là $\frac{x + 13}{57}$ (ngày)

Vì tổ hoàn thành số sản phẩm trước kế hoạch 1 ngày nên ta có phương trình $\frac{x + 13}{57} + 1 = \frac{x}{50}$

Giải phương trình ta được x = 500

Câu 17:

a) Cho x > 0, y > 0. Chứng minh rằng

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}

Xem đáp án

$\begin{array}{l} a) T a c {ó (x-y)}^{2} \geq 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \\ \Leftrightarrow x^{2} + 2 x y + y^{2} \geq 4 x y \Leftrightarrow {(x + y)}^{2} \geq 4 x y \\ \Leftrightarrow \frac{x + y}{x y} \geq \frac{4}{x + y} \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y} \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y

Câu 18:

b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Xem đáp án

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có a + b – c > 0; b + c – a > 0; c + a – b > 0

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có

$\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} \geq \frac{2}{b} \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{2}{c} \frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c} \geq \frac{2}{a}$

Cộng tùng vế các bất đẳng trên ta được $\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$