3 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2. Chứng minh hệ thức hình học

Bài tập Toán 8 Chủ đề 2: Định lí đảo và hệ quả của Định lí Ta-lét có đáp án

Dạng 2. Chứng minh hệ thức hình học

1400 lượt thi
3 câu hỏi
45 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua O song song với hai đáy cắt AD,BC lần lượt ở E và F. Chứng minh rằng $O E = O F$ .

Xem đáp án

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $E O ∥ D C, O F ∥ D C$ và $A B ∥ D C$ , ta được:

\{\begin{matrix} \frac{E O}{D C} = \frac{A O}{A C} \\ \frac{O F}{D C} = \frac{B O}{B D} \\ \frac{A O}{A C} = \frac{B O}{B D} \end{matrix} \Rightarrow \frac{E O}{D C} = \frac{O F}{D C} \Rightarrow E O = O F

Câu 2:

Cho hình thang ABCD (AB//CD). Một đường thẳng qua giao điểm O của hai đường chéo và song song với hai đáy, cắt BC ở I. Chứng minh rằng $\frac{1}{A B} + \frac{1}{C D} = \frac{1}{O I}$ .

Xem đáp án

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $O I ∥ A B, O I ∥ D C$ , ta được:

$\frac{O I}{A B} = \frac{C I}{C B}$ (1); $\frac{O I}{D C} = \frac{B I}{B C}$ (2).

Cộng theo vế các đẳng thức (1) và (2), ta được:

$\frac{O I}{A B} + \frac{O I}{C D} = \frac{B I + I C}{B C} = \frac{B C}{B C} = 1 \Rightarrow \frac{1}{A B} + \frac{1}{C D} = \frac{1}{O I}$ .

Câu 3:

Cho hình thang ABCD (AB//CD $, A B \neq C D$ ) có O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của AD và BC. Đường thẳng IO cắt AB và CD theo thứ tự ở M và N. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB,N là trung điểm của CD. Có nhận xét gì về kết quả của bài toán.

Xem đáp án

Đặt $A M = a, M B = b, D N = c, N C = d$ .

Ta phải chứng minh $a = b, c = d$ .

Áp dụng hệ quả của định lí Ta-lét cho $A M ∥ C N, M B ∥ N D$ và $A M ∥ D N, M B ∥ N C$ , ta được:

$\{\begin{matrix} \frac{A M}{C N} = \frac{M O}{O N} \\ \frac{M B}{N D} = \frac{M O}{O N} \end{matrix} \Rightarrow \frac{A M}{C N} = \frac{M B}{N D}$ , hay $\frac{a}{c} = \frac{b}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ (1);

$\{\begin{matrix} \frac{A M}{D N} = \frac{I M}{I N} \\ \frac{M B}{N C} = \frac{I M}{I N} \end{matrix} \Rightarrow \frac{A M}{D N} = \frac{M B}{N C}$ , hay $\frac{a}{d} = \frac{b}{c} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{d}{c}$ (2).

Nhân theo vế các đẳng thức (1) và (2) ta được ${(\frac{a}{b})}^{2} = \frac{c d}{c d} = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Rightarrow a = b$ .

Thay $a = b$ vào (1) ta được $c = d$ .

Nhận xét: Trong một hình thang có hai đáy không bằng nhau thì giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là bốn điểm thẳng hàng.

Đây chính là nội dung của: Bổ đề về hình thang.

Bắt đầu thi ngay