11 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 5. Bài tập nâng cao có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng hai đường thẳng MA và BC vuông góc với nhau.

Xem đáp án

Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ ra phía ngoài của tam giác này các tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. (ảnh 1)

Vẽ hình bình hành DAEF. Khi đó AF đi qua M.

Gọi H là giao điểm của MA với BC.

Ta có: $E F = A D = A B .$

$\overset{⏜}{A E F} + \overset{⏜}{D A E} = 180 °$ mà $\overset{⏜}{B A C} + \overset{⏜}{D A E} = 180 °$ nên

$\overset{⏜}{A E F} = \overset{⏜}{B A C} . Δ A E F = Δ C A B (g . c . g) \Rightarrow \overset{⏜}{A_{1}} = \overset{⏜}{C_{1}} .$

Ta có: $\overset{⏜}{A_{1}} + \overset{⏜}{A_{2}} = 90 ° \Rightarrow \overset{⏜}{C_{1}} + \overset{⏜}{A_{2}} = 90 ° \Rightarrow \overset{⏜}{H} = 90 ° .$

Do đó: $M A ⊥ B C .$

Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác BCN vuông cân tại C. Chứng minh rằng tam giác DMN vuông cân.

Xem đáp án

Cho hình bình hành ABCD. Vẽ ra ngoài hình bình hành các tam giác ABM vuông cân tại A, tam giác BCN vuông cân tại C. (ảnh 1)

Ta đặt $\overset{⏜}{A D C} = α$ thì $\overset{⏜}{D A M} = 90 ° + α; \overset{⏜}{N C D} = 90 ° + α .$

$Δ D A M$ và $Δ N C D$ có:

$A M = C D (= A B); \overset{⏜}{D A M} = \overset{⏜}{N C D} (= 90 ° + α); A D = C N (= B C) .$

Do đó $Δ D A M = Δ N C D (c . g . c)$

$\Rightarrow D M = D N$ (1)

và $\overset{⏜}{D M A} = \overset{⏜}{N D C} .$

Kéo dài MA cắt CD tại H. Ta có:

$M A ⊥ A B \Rightarrow M H ⊥ C D .$

Xét $Δ M D H$ có $\overset{⏜}{D M A} + \overset{⏜}{A D M} + α = 90 °$

$\Rightarrow \overset{⏜}{N D C} + \overset{⏜}{A D M} + α = 90 °$

Hay $\overset{⏜}{M D N} = 90 °$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $Δ D M N$ vuông cân tại D

Câu 3:

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn

\frac{3}{2} (H A + H B + H C)

.

Xem đáp án

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Chứng minh rằng chu vi của tam giác ABC lớn hơn 3/2 (HA + HB + HC) (ảnh 1)

Vẽ $H M ∥ A C (M \in A B), H N ∥ A B (N \in A C) .$

Vì $C H ⊥ A B$ nên $C H ⊥ H N$ . Vì $B H ⊥ A C$ nên $B H ⊥ H M .$

Xét $Δ H B M$ vuông tại H có $B M > H B .$ (1)

Xét $Δ H C N$ vuông tại H có $C N > H C$ . (2)

Xét hình bình hành ANHM có

$A M + A N = A M + M H > H A .$ . (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra:

$B M + C N + A M + A N > H B + H C + H A$

do đó $(M B + A M) + (C N + A N) > H A + H B + H C$

hay $A B + A C > H A + H B + H C .$

Chứng minh tương tự, ta được: $B C + B A > H A + H B + H C$

$C A + C B > H A + H B + H C .$

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$2 (A B + B C + C A) > 3 (H A + H B + H C)$

Do đó $A B + B C + C A > \frac{3}{2} (H A + H B + H C) .$

Câu 4:

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) và một điểm O ở trong hình này. Chứng minh rằng có một tứ giác mà bốn cạnh lần lượt bằng OA, OB, OC, OD và bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình thang cân.

Xem đáp án

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) và một điểm O ở trong hình này. Chứng minh rằng có một tứ giác mà bốn cạnh lần lượt bằng OA, OB, OC, OD (ảnh 1)

Qua O dựng một đường thẳng song song với BC cắt AB và CD lần lượt tại E và G. Qua O dựng một đường thẳng song song với CD cắt AD tại H.

Qua E dựng một đường thẳng song song với OC cắt BC tại F.

Khi đó tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.

Thật vậy, các tứ giác AEOH, HOGD là những hình thang cân.

=> OA = EH, OD = HG (1)

Tứ giác EFCO là hình bình hành => OC = EF (2)

và OE = CF. Suy ra OG = BF

Vậy tứ giác OBFG là hình bình hành => OB = GF (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra tứ giác EFGH thỏa mãn đề bài.

Câu 5:

Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không cắt các cạnh của hình bình hành. Qua các đỉnh A, B, C, D vẽ các đường thẳng vuông góc với xy, cắt xy lần lượt tại A', B', C', D'. Chứng minh rằng: AA' + CC' = BB' + DD'

Xem đáp án

Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không cắt các cạnh của hình bình hành. Qua các đỉnh A, B, C, D (ảnh 1)

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vẽ $O O^{'} ⊥ x y .$

Ta có: AA' // BB' // CC' // DD' // OO'

Xét hình thang AA'C'C có OA = OC và OO' = AA' nên O'A' = O'C'

Do đó OO' là đường trung bình của hình thang $A A^{'} C^{'} C \Rightarrow O O^{'} = \frac{A A^{'} + C C^{'}}{2}$ hay AA' + CC' = 2OO'

Xét hình thang DD'B'B, cũng chứng minh tương tự, ta có: BB' + DD' = 2OO'

Từ đó suy ra: AA' + CC' = BB' + DD'

Câu 6:

Cho hình bình hành ABCD (AD < AB) . Vẽ ra ngoài hình bình hành tam giác ABM cân tại B và tam giác ADN cân tại D sao cho $\overset{⏜}{A B M} = \overset{⏜}{A D N} .$

a) Chứng minh rằng CM = CN

Xem đáp án

Cho hình bình hành ABCD (AD < AB) . Vẽ ra ngoài hình bình hành tam giác ABM cân tại B a) Chứng minh rằng CM = CN (ảnh 1)

a) Vì ABCD là hình bình hành nên $\overset{⏜}{A B C} = \overset{⏜}{A D C} .$

Ta đặt $\overset{⏜}{A B C} = m °, \overset{⏜}{A B M} = n °,$ khi đó

$\overset{⏜}{M B C} = \overset{⏜}{C D N} = m ° + n °$

$Δ M B C$ và $Δ C D N$ có:

$M B = C D (= A B); \overset{⏜}{M B C} = \overset{⏜}{C D N}$ (chứng minh trên);

$B C = D N (= A D) .$

Vậy $Δ M B C = Δ C D N (c . g . c) \Rightarrow C M = C N .$

Câu 7:

b) Trên AC lấy một điểm O. Hãy so sánh OM với ON.

Xem đáp án

b) Các $Δ A B M$ và $Δ A N D$ là những tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau mà AB > AD nên AM > AN (bạn đọc tự chứng minh)

Xét

Δ A C M

và

Δ C A N

có CM = CN; CA chung và AM > AN nên

\overset{⏜}{A C M} > \overset{⏜}{A C N} .

Xét

Δ O C M

và

Δ O C N

có CM = CN; CO chung và

\overset{⏜}{A C M} > \overset{⏜}{A C N}

nên OM > ON

Câu 8:

Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình hình hành ABCD có đường chéo BD // PQ và BD // PQ. Chứng minh rằng mỗi đường thẳng BC và CD luôn đi qua một điểm cố định.

Xem đáp án

Cho đoạn thẳng PQ và một điểm A ở ngoài đường thẳng PQ. Vẽ hình hình hành ABCD có đường chéo BD // PQ và BD // PQ. (ảnh 1)

Qua A vẽ đường thẳng xy // PQ

Trên tia Ax lấy điểm M, trên tia Ay lấy điểm N sao cho AM = AN = PQ

Như vậy các điểm M và N cố định.

Tứ giác AMBD có hai cạnh đối diện song song và bằng nhau nên là hình bình hành => BM // AD

Mặt khác, BC // AD nên ba điểm B, M, C thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit)

Do đó đường thẳng BC đi qua điểm cố định M.

Chứng minh tương tự, ta được đường thẳng CD đi qua điểm cố định N.

Câu 9:

Trong tất cả các tứ giác với hai đường chéo có độ dài m và n cho trước và góc xen giữa hai đường chéo có độ lớn

α

cho trước hãy xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất.

Xem đáp án

Trong tất cả các tứ giác với hai đường chéo có độ dài m và n cho trước và góc xen giữa hai đường chéo có độ lớn (ảnh 1)

Xét tứ giác ABCD có $A C = m, B D = n$ và $\overset{⏜}{B O C} = α .$

Vẽ hình bình hành ADBE và vẽ hình bình hành CAEF.

Khi đó: $E F = A C = m; C F = A E = B D = n;$ $\overset{⏜}{E A C} = \overset{⏜}{B O C} = α .$

Như vậy hình bình hành CAEF hoàn toàn được xác định, do đó hai đường chéo AF và CE không đổi.

Dễ thấy tứ giác BFCD là hình bình hành => BF = CD

Chu vi tứ giác ABCD là:

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} A, B, F t h ẳ n g h à n g \\ C, B, E t h ẳ n g h à n g \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} A B ∥ C D \\ A D ∥ B C \end{cases}$