5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề kiểm tra giữa kỳ 2 Toán 8 có đáp án ( Mới nhất)_ đề số 7

Câu 1:

Cho biểu thức:

A = $\frac{x - 1}{x^{2} - 9}$ + $\frac{1}{x - 3}$ và B = $\frac{2}{x - 3}$ với x ≠ ± 3

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = −1.

b) Rút gọn biểu thức P = A : B.

c) Tìm x Î ℤ để P có giá trị là số nguyên.

Xem đáp án

a) Khi x = −1 (TMĐK), giá trị của biểu thức A bằng:

A = $\frac{x - 1}{x^{2} - 9}$ = $\frac{- 1 - 1}{{(- 1)}^{2} - 9}$ = $\frac{1}{4}$ .

Vậy khi x = −1 giá trị của biểu thức A bằng $\frac{1}{4}$ .

b) Ta có: A = $\frac{x - 1}{x^{2} - 9}$ + $\frac{1}{x - 3}$

= $\frac{x - 1}{x^{2} - 9}$ + $\frac{x + 3}{x^{2} - 9}$ = $\frac{2 x + 2}{(x - 3) (x + 3)}$ .

P = $\frac{A}{B}$ = $\frac{\frac{2 x + 2}{(x - 3) (x + 3)}}{\frac{2}{x - 3}} \frac{2 x + 2}{(x - 3) (x + 3)} : \frac{2}{x - 3}$

= $\frac{2 x + 2}{(x - 3) (x + 3)}$ . $\frac{x - 3}{2}$ = $\frac{x + 1}{x + 3} .$

c) Ta có: P = $\frac{x + 1}{x + 3}$ = $\frac{x + 3 - 2}{x + 3}$ = 1 − $\frac{2}{x + 3}$

Để P có giá trị nguyên thì giá trị của $\frac{2}{x + 3}$ cũng phải nguyên.

Do đó (x + 3) Î Ư(2) = {±1; ±2}.

Ta có bảng sau:

Cho biểu thức: A = x - 1/ x ^2 - 9 + 1/x +3 và B= x/x -3 với x khác cộng trừ 3 (ảnh 1)

Vậy các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên là: {−5; −4; −2; −1}.

Câu 2:

Giải các phương trình sau:

a) x(x − 1) − (x² − 3x + 5) = 0.

b) (x − 5)² + 6x − 30 = 0.

c)

\frac{x}{x - 2}

−

\frac{1}{x}

=

\frac{2}{x^{2} - 2 x}

.

Xem đáp án

a) x(x − 1) − (x² − 3x + 5) = 0

Û x² − x − x² + 3x − 5 = 0

Û 2x − 5 = 0

Û x = $\frac{5}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{\frac{5}{2}\}$ .

b) (x − 5)² + 6x − 30 = 0

Û (x − 5)² + 6(x – 5) = 0

Û (x – 5). [(x – 5) + 6] = 0

Û (x – 5). (x + 1) = 0

Û $[\begin{array}{l} x - 5 = 0 \\ x + 1 = 0 \end{array}$

Û $[\begin{array}{l} x = 5 \\ x = - 1 \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {5; −1}.

c) $\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x^{2} - 2 x}$

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\ x \neq 0 \\ x^{2} - 2 x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq 0 \\ x (x - 2) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 2 \\ x \neq 0 \end{cases}$

Phương trình đã cho tương đương với:

$\frac{x}{x - 2} - \frac{1}{x} = \frac{2}{x (x - 2)} \Leftrightarrow \frac{x . x}{x (x - 2)} - \frac{(x - 2)}{x (x - 2)} = \frac{2}{x (x - 2)}$

Þ x² – (x – 2) = 2

Û x² − x + 2 − 2 = 0

Û x² − x = 0

Û x(x – 1) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (L) \\ x = 1 (T M) \end{array}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}.

Câu 3:

Một xe ô tô chở hàng đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đến B ô tô dừng lại để giao hàng 30 phút rồi quay về A với vận tốc 60 km/h. Tính độ dài quãng đường AB, biết rằng tổng thời gian ô tô đi, thời gian về và nghỉ là 6 giờ.

Xem đáp án

Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0)

Xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h nên thời gian ô tô chở hàng đi từ A đến B là:

$\frac{x}{50}$ (giờ).

Ô tô đi từ B về A với vận tốc 60 km/h nên thời gian ô tô chở hàng đi từ B đến A là:

$\frac{x}{60}$ (giờ)

Đổi 30 phút = $\frac{1}{2}$ giờ.

Vì tổng thời gian ô tô đi, thời gian về và nghỉ là 6 giờ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{50}$ + $\frac{x}{60}$ + $\frac{1}{2}$ = 6

Û $(\frac{1}{50} + \frac{1}{60}) x = 6 - \frac{1}{2}$

Û $\frac{11}{300} x = \frac{11}{2}$

Û x = 150 (thỏa mãn)

Vậy độ dài quãng đường AB là 150 km.

Câu 4:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua A kẻ đường cao AH (H Î BC).

a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HAC.

b) Khi cho AB = 6cm; AC = 8cm, tính độ dài đoạn BC và AH.

c) Từ H kẻ HE vuông góc với AC tại E. Chứng minh HE² = AE. EC.

d) Gọi I là trung điểm của AH, EI cắt AB tại F. Chứng minh AH² = FA. FB + EA. EC.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua A kẻ đường cao AH (H thuộc BC). (ảnh 1)

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90^{o}$

Theo đề bài, AH là đường cao của tam giác ABC nên AH ^ BC hay $\hat{A H C}$ = 90°

Do đó $\hat{B A C} = \hat{A H C}$ = 90°.

Xét ∆ABC và ∆HAC có:

$\hat{B A C} = \hat{A H C}$ = 90° (chứng minh trên)

$\hat{C}$ chung

Do đó ∆ABC

∽

∆HAC (g.g)

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào ∆ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB²+ AC²= 6²+ 8²= 100

Suy ra BC = 10 cm.

Tam giác ABC có AH là đường cao tương ứng với cạnh đáy BC nên:

S_ABC = $\frac{1}{2}$ .AH. BC (1)

Mặt khác, tam giác ABC vuông tại A nên:

S_ABC = $\frac{1}{2}$ .AB.AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_ABC = $\frac{1}{2}$ .AB.AC = $\frac{1}{2}$ .AH. BC

Do đó AH = $\frac{A B . A C}{B C}$ = $\frac{6.8}{10}$ = 4,8 (cm).

Vậy BC = 10 cm; AH = 4,8 cm.

c) Ta có: $\hat{A H E}$ + $\hat{E H C}$ = 90° và $\hat{E H C}$ + $\hat{E C H}$ = 90°

Suy ra $\hat{A H E}$ = $\hat{E C H}$

Xét ∆AEH và ∆CHE có:

$\hat{A H E} = \hat{E C H}$ (chứng minh trên)

$\hat{A E H} = \hat{H A C}$ = 90° (HE ^ AC tại E)

Do đó ∆AEH $∽$ ∆CHE (g.g)

Suy ra $\frac{A E}{H E} = \frac{H E}{C E}$ (các cạnh tương ứng)

Do đó HE² = AE. EC (đpcm) (1)

d) Ta có: AB ⊥ AC (vì ∆ABC vuông tại A) và HE ⊥ AC (giả thiết)

Suy ra AB // HE.

Do đó $\hat{B A I}$ = $\hat{I H E}$ (hai góc so le trong)

Xét ∆AIF và ∆EIH có:

$\hat{B A I}$ = $\hat{I H E}$ (chứng minh trên)

IA = IH (giả thiết)

$\hat{F I A}$ = $\hat{H I E}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó ∆AIF = ∆EIH (g.c.g)

Suy ra AF = HE (hai cạnh tương ứng)

Mà AF // HE (vì HE // AB)

Do đó AEHF là hình bình hành.

Mặt khác, $\hat{F A E}$ = 90°

Do đó AEHF là hình chữ nhật

Suy ra $\hat{A F H}$ = 90°.

Do đó $\hat{A F H}$ = $\hat{E H F}$ = 90°.

Mặt khác, ABCD là hình chữ nhật nên hai đường chéo AH và EF bằng nhau; AH cắt EF tại trung điểm I.

Suy ra IH = IF nên ∆HIF cân tại I.

Do đó $\hat{I H F} = \hat{I F H}$ .

Xét ∆AFH và ∆EHF có:

$\hat{I H F} = \hat{I F H}$ (chứng minh trên)

$\hat{A F H}$ = $\hat{E H F}$ = 90° (chứng minh trên)

Do đó ∆AFH $∽$ ∆EHF (g.g).

Suy ra $\frac{F A}{H F} = \frac{H F}{F B}$ (các cặp cạnh tương ứng)

Nên FA . FB = HF² (2)

Từ (1) và (2) suy ra AF. FB + AE. EC = HF² + HE²

Xét ∆FHE vuông góc tại H có:

HF² + HE²= EF² = AH²(vì EF = AH)

Do đó AH² = FA. FB + EA. EC (đpcm).

Câu 5:

Cho (a + b + c)²= a² + b² + c²và a, b, c khác 0.

Chứng minh rằng:

\frac{1}{a^{3}}

+

\frac{1}{b^{3}}

+

\frac{1}{c^{3}}

=

\frac{3}{a b c}

.

Xem đáp án

Ta có: (a + b + c)²= a² + b² + c²

$\Leftrightarrow$ ab + bc + ca = 0

Mà a, b, c khác 0 nên $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = 0

$\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = - \frac{1}{c} \Leftrightarrow {(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})}^{3} = {(- \frac{1}{c})}^{3} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + 3 . \frac{1}{a} . \frac{1}{b} . (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = - \frac{1}{c^{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c}$ (đpcm).