13 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 14 đề thi Học kì 1 Toán 8 có đáp án - Đề 13

Câu 1:

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{2} - x y$

Xem đáp án

Phương pháp:

Dùng phương pháp đặt nhân tử chung.

Cách giải:

$x^{2} - x y = x (x - y)$

Câu 2:

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x y + x + y + 1$

Xem đáp án

Phương pháp:

Dùng phương pháp đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử.

Cách giải:

$x y + x + y + 1$

$\begin{array}{l} = x (y + 1) + (y + 1) \\ = (y + 1) (x + 1) \end{array}$

Câu 3:

Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^{3} - 7 x^{2} + 10 x$

Xem đáp án

Phương pháp:

Đặt nhân tử chung rồi tách hạng tử để nhóm các hạng tử thích hợp.

Cách giải:

$x^{3} - 7 x^{2} + 10 x$

$\begin{array}{l} = x (x^{2} - 7 x + 10) \\ = x (x^{2} - 2 x - 5 x + 10) \\ = x [x (x - 2) - 5 (x - 2)] \\ = x (x - 5) (x - 2) \end{array}$

Câu 4:

Rút gọn biểu thức:

x (1 - x) + (x + 1) (x - 2)

Xem đáp án

Phương pháp:

Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn.

Cách giải:

$x (1 - x) + (x + 1) (x - 2)$

$\begin{array}{l} = x - x^{2} + x^{2} - 2 x + x - 2 \\ = - 2 \end{array}$

Câu 5:

Tìm x biết:

{(x + 3)}^{2} - x^{2} = 45

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức sau đó rút gọn vế trái đưa về dạng tìm x thường gặp.

Cách giải:

${(x + 3)}^{2} - x^{2} = 45$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} = 45 \\ \Leftrightarrow 6 x = 36 \\ \Leftrightarrow x = 6 \end{array}$

Vậy $x = 6$ .

Câu 6:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x^{2} - 9}{3 (x + 5)}$ và $B = \frac{x}{x + 3} + \frac{2 x}{x - 3} - \frac{3 x^{2} + 9}{x^{2} - 9}$ với $x \neq - 5; x \neq \pm 3.$

Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 2$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Thay $x = 2$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A rồi tính toán.

Cách giải:

Điều kiện: $x \neq - 5; x \neq \pm 3.$

Với $x = 2$ (thỏa mãn điều kiện), thay vào A ta có:

$A = \frac{2^{2} - 9}{3. (2 + 5)} = - \frac{5}{21} .$

Vậy $A = - \frac{5}{21}$ khi $x = 2$

Câu 7:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x^{2} - 9}{3 (x + 5)}$ và $B = \frac{x}{x + 3} + \frac{2 x}{x - 3} - \frac{3 x^{2} + 9}{x^{2} - 9}$ với $x \neq - 5; x \neq \pm 3.$

Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

Phương pháp:

Qui đồng mẫu các phân thức rồi cộng trừ các phân thức, sau đó rút gọn.

Cách giải:

Điều kiện: $x \neq - 5; x \neq \pm 3.$

$B = \frac{x}{x + 3} + \frac{2 x}{x - 3} - \frac{3 x^{2} + 9}{x^{2} - 9}$

$\begin{array}{l} = \frac{x (x - 3) + 2 x (x + 3) - 3 x^{2} - 9}{(x - 3) (x + 3)} \\ = \frac{x^{2} - 3 x + 2 x^{2} + 6 x - 3 x^{2} - 9}{(x - 3) (x + 3)} \\ = \frac{3 x - 9}{(x - 3) (x + 3)} = \frac{3 (x - 3)}{(x - 3) (x + 3)} \\ = \frac{3}{x + 3} . \end{array}$

Vậy $B = \frac{3}{x + 3}$ với $x \neq - 5; x \neq \pm 3.$

Câu 8:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x^{2} - 9}{3 (x + 5)}$ và $B = \frac{x}{x + 3} + \frac{2 x}{x - 3} - \frac{3 x^{2} + 9}{x^{2} - 9}$ với $x \neq - 5; x \neq \pm 3.$

Cho P= A.B. Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.

Xem đáp án

Phương pháp:

Tính P. Sau đó biến đổi P về dạng $P = a + \frac{b}{f (x)}$ với $a, b \in Z$

Khi đó: $P \in Z \Rightarrow f (x) \in U (b)$ , từ đó ta tìm được x.

Kết hợp điều kiện của x rồi kết luận.

Cách giải:

Điều kiện: $x \neq - 5; x \neq \pm 3.$

Ta có: $P = A . B = \frac{(x^{2} - 9)}{3 (x + 5)} . \frac{3}{x + 3} = \frac{x - 3}{x + 5} = \frac{x + 5 - 8}{x + 5} = 1 - \frac{8}{x + 5}$

P có giá trị nguyên thì $\frac{8}{x + 5} \in ℤ \Rightarrow x + 5 \in U (8) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 4; \pm 8\}$

Ta có bảng sau:

Vậy để P có giá trị nguyên thì $x \in \{- 6; - 7; - 9; - 13; - 4; - 1\} .$

Câu 9:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi E là điểm đối xứng với H qua M

Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết: “Tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành” và “Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật”

Cách giải:

Xét tứ giác AHBE có

$A B \cap E H = \{M\}$

M là trung điểm AB (giả thiết)

M là trung điểm EH (E đối xứng với H qua M)

$\Rightarrow$ Tứ giác AHBE là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

Mà $A H B = 90 ° (A H ⊥ B C)$

$\Rightarrow$ AHBE là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).

Câu 10:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi E là điểm đối xứng với H qua M.

Gọi N là trung điểm của AH. Chứng minh N là trung điểm của EC.

Xem đáp án

Phương pháp:

Chứng minh AEHC là hình bình hành sau đó suy ra hai đường chéo AH, EC giao nhau tại trung điểm N của mỗi đường.

Cách giải:

Vì AHBE là hình chữ nhật (theo câu a)

$\Rightarrow A E // B H; A E = B H (1)$

Vì $△ A B C$ cân tại A

AH là đường cao

AH đồng thời là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) $\Rightarrow H B = H C (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow A E = H C; A E // H C \Rightarrow$ AEHC là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

$\Rightarrow$ Hai đường chéo AH và EC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà N là trung điểm AH (gt)

$\Rightarrow$ N là trung điểm của EC (đpcm).

Câu 11:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi E là điểm đối xứng với H qua M.

Cho $A H = 8 cm; B C = 12 cm$ . Tính diện tích tam giác AMH.

Xem đáp án

Phương pháp:

Tính diện tích tam giác ABH , chứng minh từ đó ta tính được

Cách giải:

Ta có $H B = H C = \frac{B C}{2} = 6$ cm

Tam giác ABH vuông tại H nên $S_{A B H} = \frac{1}{2} . A H . H B = \frac{1}{2} .8.6 = 24 {cm}^{2}$

Tam giác HAB và tam giác HMA có cùng chiều cao hạ từ đỉnh H và cạnh đáy AB gấp hai lần cạnh đáy MA nên $S_{A B H} = 2 S_{A M H}$

Suy ra $S_{A M H} = \frac{1}{2} S_{A B H} = \frac{1}{2} .24 = 12 {cm}^{2}$

Vậy $S_{A M H} = 12 {cm}^{2}$

Câu 12:

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AH (H thuộc BC). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi E là điểm đối xứng với H qua M.

Trên tia đối của tia HA lấy điểm F. Kẻ $H K ⊥ F C$ (K thuộc FC). Gọi I, Q lần lượt là trung điểm của HK, KC. Chứng minh rằng: $B K ⊥ F I$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác và quan hệ từ vuông góc đến song song.

Cách giải:

Xét tam giác HKC có I, Q lần lượt là trung điểm cạnh HK, CQ nên IQ là đường trung bình $△ H K C$

$\Rightarrow I Q // H C$ (tính chất)

Mà $H C ⊥ H F \Rightarrow I Q ⊥ H F$

Xét tam giác HFO có $I Q ⊥ H F (c m t), H K ⊥ F Q (g t)$ mà $I \in H K \Rightarrow$ I là trực tâm của $△ H F Q$

$\Rightarrow F I ⊥ H Q$

Xét tam giác BCK có H, Q lần lượt là trung điểm cạnh BC, CQ nên HQ là đường trung bình $△ B C K$

$\Rightarrow H Q // B K$ mà $F I ⊥ H Q (c m t)$

$\Rightarrow B K ⊥ F I$ (đpcm)

Câu 13:

Cho $a + b + c = 0 (a \neq 0; b \neq 0; c \neq 0)$ . Tính giá trị của biểu thức $A = \frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2} - c^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2} - c^{2} - a^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2} - a^{2} - b^{2}}$

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(x + y)}^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$

Biến đổi để có $A = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2 a b c}$

Sau đó chứng minh $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ , từ đó ta tính được A.

Cách giải:

Vì $a + b + c = 0$ nên $a = - b - c \Rightarrow a^{2} = {(- b - c)}^{2} \Rightarrow a^{2} = b^{2} + 2 b c + c^{2}$

$\Rightarrow a^{2} - b^{2} - c^{2} = 2 b c$

Tương tự ta có: $b^{2} - a^{2} - c^{2} = 2 a c; c^{2} - b^{2} - a^{2} = 2 a b$

Khi đó: $A = \frac{a^{2}}{2 b c} + \frac{b^{2}}{2 c a} + \frac{c^{2}}{2 a b} = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2 a b c}$

Vì $a + b + c = 0$ nên $a + b = - c$

$\Leftrightarrow {(a + b)}^{3} = - c^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b) + c^{3} = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} = - 3 a b . (- c) \\ \Leftrightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \end{array}$

Từ đó: $A = \frac{a^{3} + b^{3} + c^{3}}{2 a b c} = \frac{3 a b c}{2 a b c} = \frac{3}{2}$

Vậy $A = \frac{3}{2} .$