20 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 14 đề thi Học kì 1 Toán 8 có đáp án - Đề 2

Câu 1:

Một hình thang có độ dài hai đáy là $6 c m$ và $10 c m$ . Độ dài đường trung bình của hình thang đó là:

A.

14 c m

B. $7 c m$

C.

8 c m

D. Một kết quả khác

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng: Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.

Cách giải:

Độ dài đường trung bình của hình thang bằng $\frac{6 + 10}{2} = 8 (c m)$

Câu 2:

Hai đường chéo cùng hình vuông có tính chất:

A. Bằng nhau, vuông góc với nhau.

B. Cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

C. Là tia phân giác của các góc của hình vuông.

D. Cả A, B, C.

Xem đáp án

Câu 2: Đáp án D

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của hình vuông.

Cách giải:

Hai đường chéo của hình vuông bằng nhau, vuông góc với nhau, giao nhau tại trung điểm của mỗi đường và là tia phân giác các góc của hình vuông nên A, B, C đều đúng.

Câu 3:

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình nào sau đây?

A. Hình thang cân

B. Hình bình hành.

C. Hình chữ nhật

D. Hình thoi

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình chữ nhật

Cách giải:

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Vậy tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình chữ nhật.

Câu 4:

Một hình chữ nhật có kích thước là $7 d m$ và $2 d m$ thì có diện tích là:

A.

14 d m

B.

7 d m^{2}

C.

14 d m^{3}

D. $14 d m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp:

Diện tích hình chữ nhật có các kích thước $a, b$ là $S = a b .$

Diện tích hình chữ nhật là: $S = 7.2 = 14 d m^{2}$ $7 d m$

Câu 5:

${(x - y)}^{2}$ bằng:

A.

x^{2} + y^{2}

B.

x^{2} - 2 x y + y^{2}

C.

y^{2} - x^{2}

D. $x^{2} - y^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

Cách giải:

Ta có: ${(x - y)}^{2} = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Câu 6:

Phân thức $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ rút gọn bằng:

A.

x

B. 2

C.

x + 1

D. $x - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Phân tích tử thức thành nhân tử bằng cách sử dụng hằng đẳng thức rồi rút gọn phân thức

Cách giải:

Ta có: $\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1) (x + 1)}{x - 1} = x + 1$

Câu 7:

Giá trị của biểu thức $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ tại $x = - 2$

A.

- 16

B. 0

C.

- 14

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp:

Dùng hẳng đẳng thức $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ để thu gọn biểu thức

Thay $x = - 2$ vào biểu thức đã thu gọn rồi tính toán

Cách giải:

Ta có: $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = x^{3} - 2^{3} = x^{3} - 8$

Thay $x = - 2$ vào $x^{3} - 8$ ta được: ${(- 2)}^{3} - 8 = - 8 - 8 = - 16$

Câu 8:

Phân thức $\frac{x - 3}{x (x - 2)}$ xác định với giá trị:

A.

x \neq 2

B.

x \neq 0

C.

x \neq 2; x \neq 0

D. $x \neq 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp:

Phân thức $\frac{A}{B}$ xác định khi $B \neq 0.$

Cách giải:

Phân thức $\frac{x - 3}{x (x - 2)}$ xác định khi $x . (x - 2) \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 2 \end{cases}$

Vậy $x \neq 2; x \neq 0.$

Câu 9:

Phân thức các đa thức sau thành nhân tử.

$5 x y^{2} - 10 x y z + 5 x z^{2}$

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng Phương pháp: đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ để phân tích thành nhân tử

Cách giải:

$5 x y^{2} - 10 x y x + 5 x z^{2} = 5 x (y^{2} - 2 y z + z^{2}) = 5 x {(y - z)}^{2}$

Câu 10:

Phân thức các đa thức sau thành nhân tử.

$x^{2} - 4 y^{2} + x + 2 y$

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ và Phương pháp: đặt nhân tử chung.

Cách giải:

$x^{2} - 4 y^{2} + x + 2 y = (x - 2 y) (x + 2 y) + (x + 2 y) = (x + 2 y) (x - 2 y + 1)$

Câu 11:

Tìm $x$ biết:

$x (x - 3) - x + 3 = 0$

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng Phương pháp: đặt nhân tử chung để biến đổi về dạng $A (x) . B (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} A (x) = 0 \\ B (x) = 0 \end{array}$

Cách giải:

$x (x - 3) - x + 3 = 0$

$\Leftrightarrow x (x - 3) - (x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1) (x - 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - 1 = 0 \\ x - 3 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Vậy $x = 1; x = 3.$

Câu 12:

Tìm $x$ biết:

$(2 x - 1) (x - 5) - 2 x^{2} + 10 x - 25 = 0$

Xem đáp án

Phương pháp:

Nhân đa thức với đa thức rồi rút gọn vế trái đưa về dạng tìm $x$ đã biết.

Cách giải:

$(2 x - 1) (x - 5) - 2 x^{2} + 10 x - 25 = 0$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} - 10 x - x + 5 - 2 x^{2} + 10 x - 25 = 0$

$\Leftrightarrow - x - 20 = 0$

$\Leftrightarrow x = - 20$

Vậy $x = - 20.$

Câu 13:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Rút gọn biểu thức $A .$

Xem đáp án

Phương pháp:

Qui đồng mẫu thức rồi cộng trừ và rút gọn phân thức

Cách giải:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Rút gọn biểu thức

Với $x \neq \pm 2$ ta có:

$A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}}$

$= \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x^{2} + 4 x}{x^{2} - 4}$

$= \frac{(x + 1) (x + 2) + (x - 1) (x - 2) - (x^{2} + 4 x)}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{x^{2} + 3 x + 2 + x^{2} - 3 x + 2 - x^{2} - 4 x}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{x^{2} - 4 x + 4}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{{(x - 2)}^{2}}{(x - 2) (x + 2)}$

$= \frac{x - 2}{x + 2} .$

Vậy $A = \frac{x - 2}{x + 2}$ với $x \neq \pm 2.$

Câu 14:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 4.$

Xem đáp án

Phương pháp:

Thay $x = 4 (t m d k)$ vào phân thức vừa thu gọn rồi tính toán

Cách giải:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x = 4.$

Thay $x = 4 (t m d k)$ vào biểu thức $A = \frac{x - 2}{x + 2}$ ta được:

$A = \frac{4 - 2}{4 + 2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Vậy $A = \frac{1}{3}$ khi $x = 4.$

Câu 15:

Cho biểu thức $A = \frac{x + 1}{x - 2} + \frac{x - 1}{x + 2} + \frac{x^{2} + 4 x}{4 - x^{2}} (x \neq \pm 2)$

Tìm giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên dương.

Xem đáp án

Phương pháp:

Biến đổi $A$ về dạng $A = m + \frac{b}{B (x)}$ với $m, b \in Z .$

Từ đó để có giá trị nguyên thì

Sau đó lập luận để mang giá trị nguyên dương.

Cách giải:

Tìm giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A$ nhận giá trị nguyên dương.

Ta có $A = \frac{x - 2}{x + 2}$ với $x \neq \pm 2.$

Xét $A = \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 2 - 4}{x + 2} = 1 - \frac{4}{x + 2}$

Để $A$ có giá trị nguyên thì $\frac{4}{x + 2}$ có giá trị nguyên

Suy ra $(x + 2) \in U (4) = \{- 1; 1; - 2; 2; - 4; 4\}$

Ta có bảng sau:

$x + 2$	$- 1$	1	$- 2$	2	$- 4$	4
$x$	$- 3$	$- 1$	$- 4$	0	$- 6$	2
$A$	5 (tm)	$- 3$ (ktm)	3 (tm)	(ktm)	2 (tm)	0 (ktm)

Vì $A$ có giá trị nguyên dương nên ta có $x \in \{- 3; - 4; - 6\} .$

Câu 16:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Chứng minh tứ giác $D E B F$ là hình bình hành.

Xem đáp án

Phương pháp:

Tứ giác có cặp đối song song và bằng nhau là hình bình hành

Cách giải:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Chứng minh tứ giác $D E B F$ là hình bình hành.

Xét hình bình hành $A B C D$ có $A B / / C D \Rightarrow B E / / D F; A E / / D F; A B = C D$ mà $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A B, C D$ nên $A E = E B = D F = F C = \frac{A B}{2} .$

Xét tứ giác $D E B F$ có $A B / / D F; E B = D F (c m t)$ nên $D E B F$ là hình bình hành (dhnb)

Câu 17:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Chứng minh tứ giác $A E F D$ là hình thoi.

Xem đáp án

Phương pháp:

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

Cách giải:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Chứng minh tứ giác $A E F D$ là hình thoi.

Xét tứ giác $A B C D$ có $A B = 2 B C \Rightarrow A B = 2 A D \Rightarrow A D = \frac{A B}{2}$

Do đó $A E = A D = \frac{A B}{2} .$

Xét tứ giác $A E F D$ có $A E / / D F; A E = D F = \frac{A B}{2}$ (cmt) nên là hình bình hành (dhnb)

Lại có $A E = A D = \frac{A B}{2} (c m t)$ nên hình bình hành $A E F D$ là hình thoi (dhnb)

Câu 18:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Hình bình hành $A B C D$ có thêm điều kiện gì thì tứ giác $M E N F$ là hình vuông. Khi đó tính diện tích của tứ giác $M E N F$ biết $B C = 3 c m .$

Xem đáp án

Phương pháp:

Tứ giác có hai cặp đối song song là hình bình hành

Hình bình hành có 1 góc vuông là hình chữ nhật

Cách giải:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Gọi $M$ là giao điểm của $D E$ và $A F; N$ là giao điểm của $E C$ và $B F .$ Tứ giác $M E N F$ là hình gì? Vì sao?

Xét tứ giác $A E C F$ có $\{\begin{cases} A E / / F C \\ A E = F C (= \frac{A B}{2}) \end{cases} \Rightarrow A E C F$ là hình bình hành.

Suy ra $A F / / E C$ hay $E N / / M F$

Vì $E B F D$ là hình bình hành (theo câu a) nên $E D / / B F \Rightarrow E M / / F N$

Xét tứ giác $E M F N$ có $E N / / M F$ và $E M / / F N$ nên $E M F N$ là hình bình hành (dhnb)

Vì $A E F D$ là hình thoi (theo câu b) nên $A F ⊥ D E$ (tính chất)

Suy ra $E M F = 90 ° \Rightarrow$ hình bình bành $E M F N$ có 1 góc vuông nên nó là hình chữ nhật (dhnb)

Câu 19:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Hình bình hành $A B C D$ có thêm điều kiện gì thì tứ giác $M E N F$ là hình vuông. Khi đó tính diện tích của tứ giác $M E N F$ biết $B C = 3 c m .$

Xem đáp án

Phương pháp:

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Diện tích hình vuông cạnh $a$ bằng $a^{2} .$

Cách giải:

Cho hình bình hành $A B C D$ có $A B = 2 B C; E, F$ theo thứ tự là trung điểm của $A B$ và $C D .$

Hình bình hành $A B C D$ có thêm điều kiện gì thì tứ giác $M E N F$ là hình vuông. Khi đó tính diện tích của tứ giác $M E N F$ biết $B C = 3 c m .$

Theo câu trên ta có $M E N F$ là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật $M E N F$ là hình vuông thì $E M = E N$

Vì $A E F D$ là hình thoi nên $M$ là trung điểm của $E D .$

Chứng minh tương tự ta cũng có $E B C F$ là hình thoi nên $N$ là trung điểm của $E C .$

Từ đó $E M = E N \Leftrightarrow E D = E C$ suy ra tam giác $E D C$ cân tại $E,$ lại có $E F$ là đường trung tuyến của $Δ E D C$ nên $E F$ cũng là đường cao $\Rightarrow E F ⊥ D C .$

Vì $A E F D$ là hình thoi nên $E F / / A D$

Suy ra $A D ⊥ D C$

Từ đó hình bình hành $A B C D$ có $A D ⊥ D C$ nên nó là hình chữ nhật.

Vậy để $M E N F$ là hình vuông thì $A B C D$ là hình chữ nhật.

+) Ta có: $B C = A D = E F = 3 c m$ (tính chất)

Đặt $M E = x (x > 0)$

Xét hình vuông $M E N F$ có $M E = M F = x$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông MEF ta có: $M E^{2} + M F^{2} = E F^{2}$

$\Leftrightarrow x^{2} + x^{2} = 4^{2}$

$\Leftrightarrow 2 x^{2} = 16$

$\Leftrightarrow x^{2} = 8$

Diện tích hình vuông $M E N F$ là $S = M E^{2} = x^{2} = 8 (c m^{2})$

Câu 20:

Cho ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ và $a, b, c$ là 3 số khác 0.

Chứng minh: $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c} .$

Xem đáp án

Phương pháp

Áp dụng hằng đẳng thức ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c)$

và ${(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a^{2} + b^{2})$

Cách giải:

Ta có: ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 (a b + a c + b c)$

Mà theo đề bài ${(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Suy ra $2 (a b + a c + b c) = 0 \Leftrightarrow a b + a c + b c = 0$

$\Leftrightarrow a b + a c = - b c$

$\Leftrightarrow {(a b + a c)}^{3} = - b^{3} c^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + 3 a^{2} b c (a b + a c) = - b^{3} c^{3}$

$\Leftrightarrow a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3} = - 3 a^{2} b c . (- b c)$

$\Leftrightarrow a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3} = 3 a^{2} b^{2} c^{2}$

Mà $a, b, c \neq 0$ nên ta có

$a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3} = 3 a^{2} b^{2} c^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3} b^{3} + a^{3} c^{3} + b^{3} c^{3}}{a^{3} b^{3} c^{3}} = \frac{3 a^{2} b^{2} c^{2}}{a^{3} b^{3} c^{3}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c} (d p c m)$