12 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 14 đề thi Học kì 1 Toán 8 có đáp án - Đề 1

Câu 1:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: $5 x - x y + y^{2} - 5 y$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Nhóm hạng tử, đặt hạng tử chung, hằng đẳng thức...

Cách giải:

$5 x - x y + y^{2} - 5 y = x (5 - y) - y (5 - y) = (x - y) (5 - y)$ .

Câu 2:

Tính nhanh giá trị của biểu thức: $x^{2} + 2 x + 1 - y^{2}$ với $x = 84; y = 15$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Nhóm hạng tử, đặt hạng tử chung, hằng đẳng thức...

Cách giải:

. $x^{2} + 2 x + 1 - y^{2} = {(x + 1)}^{2} - y^{2} = (x + 1 - y) (x + 1 + y)$

Thay $x = 84; y = 15$ vào biểu thức ta được:

$(x + 1 - y) (x + 1 + y) = (84 + 1 - 15) (84 + 1 + 15)$

$= 70.100 = 7000$ .

Câu 3:

Tìm x biết: ${(3 x - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2}$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng tính chất của phép chia hết.

Cách giải:

${(3 x - 1)}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(3 x - 1)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 0 \\ \Leftrightarrow (3 x - 1 - x + 1) (3 x - 1 + x - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow 2 x (4 x - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = 0 \\ 4 x - 2 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \frac{1}{2} \end{array} . \end{array}$

Vậy $x = 0$ hoặc $x = \frac{1}{2}$ .

Câu 4:

Tìm m để đa thức

B = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 m

chia hết cho đa thức

C = x - 2

.

Xem đáp án

Phương pháp:

Phân tích đa thức thành nhân tử, sử dụng tính chất của phép chia hết.

Cách giải:

$B = x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2 m$

$\begin{array}{l} = x^{3} - 2 x^{2} - x^{2} + 2 x + 3 x - 6 + 6 - 2 m \\ = x^{2} (x - 2) - x (x - 2) + 3 (x - 2) + 6 - 2 m \\ = (x - 2) (x^{2} - x + 3) + 6 - 2 m . \end{array}$

Để đa thức B chia hết cho đa thức $C = x - 2$ thì $6 - 2 m = 0 \Leftrightarrow m = 3$ .

Vậy $m = 3$ .

Câu 5:

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Chứng tỏ rằng $P = \frac{3}{x + 5}$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Áp dụng linh hoạt các kĩ năng để rút gọn biểu thức, sau đó tính giá trị biểu thức.

Phần c sử dụng phương pháp ước số

Cách giải:

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$

Chứng tỏ rằng: $P = \frac{3}{x + 5}$ .

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$

$\begin{array}{l} = [\frac{2 (x - 4)}{(x + 4) (x - 4)} + \frac{x + 20}{(x + 4) (x - 4)}] . (\frac{x - 4}{x + 5}) \\ = \frac{3 x + 12}{(x + 4) (x - 4)} . (\frac{x - 4}{x + 5}) \\ = \frac{3 (x + 4)}{(x + 4) (x - 4)} . (\frac{x - 4}{x + 5}) \\ = \frac{3}{x + 5} . \end{array}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Câu 6:

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tính giá trị của biểu thức P, với x thỏa mãn $x^{2} + 4 x = 0$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Áp dụng linh hoạt các kĩ năng để rút gọn biểu thức, sau đó tính giá trị biểu thức.

Phần c sử dụng phương pháp ước số

Cách giải:

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tính giá trị của biểu thức P, với x thỏa mãn $x^{2} + 4 x = 0$ .

Điều kiện: $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Ta có: $x^{2} + 4 x = 0 \Leftrightarrow x (x + 4) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x + 4 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 (t m) \\ x = - 4 (k t m) \end{array} .$

Thay $x = 0$ thì $P = \frac{3}{5}$ .

Câu 7:

Cho biểu thức $P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên.

Xem đáp án

Phương pháp:

Áp dụng linh hoạt các kĩ năng để rút gọn biểu thức, sau đó tính giá trị biểu thức.

Phần c sử dụng phương pháp ước số

Cách giải:

$P = (\frac{2}{x + 4} + \frac{x + 20}{x^{2} - 16}) . (\frac{x - 4}{x + 5})$ với $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên.

Điều kiện: $x \neq \pm 4, x \neq - 5$ .

Ta có: $P = \frac{3}{x + 5} \in ℤ \Leftrightarrow 3 ⋮ (x + 5)$ hay $(x + 5) \in U (3)$

Mà $U (3) = \{\pm 1; \pm 3\}$ . Ta có bảng giá trị:

	-3	-1	1	3
	-8	-6	-4 (loại)	-2

Vậy $x \in \{- 8; - 6; - 2\}$ thì P nhận giá trị nguyên.

Câu 8:

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Chứng minh tứ giác MBCN là hình bình hành.

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình bình hành, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông, chứng minh tam giác bằng nhau và tính chất trọng tâm của tam giác.

Cách giải:

Tứ giác BMNC có: $M N ∥ B C$ , $C N ∥ B M$ nên MNBC là hình bình hành. (dhnb)

Câu 9:

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Chứng minh $B N ⊥ A N$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình bình hành, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông, chứng minh tam giác bằng nhau và tính chất trọng tâm của tam giác.

Cách giải:

Vì BMNC là hình bình hành (cmt) nên $M N = B C$ .

Lại có: $B C = \frac{1}{2} A B \Rightarrow M N = \frac{1}{2} A B$ .

Tam giác có đường trung tuyến NM bằng nửa cạnh đối AB nên tam giác ABN vuông tại N, hay AN vuông góc với BN (đpcm).

Câu 10:

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Gọi D là giao điểm của MN với AC, E là giao điểm của MC với BN, F là giao điểm của ED với AN. Chứng minh $D E = D F$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình bình hành, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông, chứng minh tam giác bằng nhau và tính chất trọng tâm của tam giác.

Cách giải:

Tứ giác AMCN có $C N ∥ A M, C N = A M (= B M)$

$\Rightarrow A M C N$ là hình bình hành (dhnb)

$\Rightarrow D C = D A, C M ∥ N A$ . (tính chất)

Xét $Δ A B C$ có:

M là trung điểm của AB

$M D ∥ B C (M x ∥ C D)$

$\Rightarrow D$ là trung điểm của AC (định lý đảo).

$\Rightarrow A D = D C .$

Xét $Δ A D F$ và $Δ C D E$ có:

$D A = D C$ (cmt)

$∠ A D F = ∠ C D E$ (hai góc đối đỉnh)

$∠ D A F = ∠ D C E$ (hai góc so le trong)

\Rightarrow Δ A D F = Δ C D E

(g – c – g)

\Rightarrow D E = D F

(đpcm).

Câu 11:

Cho tam giác ABC có $A B = 2 B C$ , từ trung điểm M của AB kẻ tia Mx song song BC, từ C kẻ tia Cy song song AB sao cho Mx cắt Cy tại N.

Gọi G là giao điểm của AE với MN. Chứng minh B, G, F thẳng hàng.

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng dấu hiệu nhận biết và tính chất của hình bình hành, dấu hiệu nhận biết tam giác vuông, chứng minh tam giác bằng nhau và tính chất trọng tâm của tam giác.

Cách giải:

Ta có: $Δ A D F = Δ C D E$ (cmt) $\Rightarrow A F = E C$ .

Mà $C M = A N$ (AMCN là hình bình hành) và $C E = \frac{1}{2} C M \Rightarrow A F = \frac{1}{2} A N$ .

Vậy F là trung điểm AN.

Xét tam giác ABN có G là giao của hai đường trung tuyến AE và NM nên G là trọng tâm của tam giác ABN.

$\Rightarrow$ BG đi qua trung điểm F của AN B, G, F thẳng hàng.

Câu 12:

Cho các số x, y, z dương thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

$M = \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có: $\begin{array}{l} \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{49}{16} x^{2} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{16} . \frac{49}{16}} = \frac{14}{16} \\ \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{49}{16} y^{2} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{4} . \frac{49}{16}} = \frac{7}{4} \\ \frac{1}{z^{2}} + \frac{49}{16} z^{2} \geq 2 \sqrt{1. \frac{49}{16}} = \frac{7}{2} \end{array}$

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

$\begin{array}{l} \frac{1}{16 x^{2}} + \frac{49}{16} x^{2} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{49}{16} y^{2} + \frac{1}{z^{2}} + \frac{49}{16} z^{2} \geq \frac{14}{16} + \frac{7}{4} + \frac{7}{2} \\ \Leftrightarrow (\frac{1}{16 x^{2}} + \frac{1}{4 y^{2}} + \frac{1}{z^{2}}) + \frac{49}{16} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq \frac{49}{8} \\ \Leftrightarrow M + \frac{49}{16} \geq \frac{49}{8} \\ \Leftrightarrow M \geq \frac{49}{16} . \end{array}$

Dấu “=” xảy ra . $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ \frac{1}{4 x} = \frac{7 x}{4} \\ \frac{1}{2 y} = \frac{7 y}{4} \\ \frac{1}{z} = \frac{7 z}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 \\ 7 x^{2} = 1 \\ 7 y^{2} = 2 \\ 7 z^{2} = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{\sqrt{7}}{7} \\ y = \frac{\sqrt{14}}{7} \\ z = \frac{2 \sqrt{7}}{7} \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là $\frac{49}{16}$ khi $(x; y; z) = (\frac{\sqrt{7}}{7}; \frac{\sqrt{14}}{7}; \frac{2 \sqrt{7}}{7})$ .